高中数学单元测试——第六章平面向量及其应用（较易版01）

高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量及其应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 2．（本题5分）已知平面向量，若，则（   ） A．1 B．-2 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示与向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，所以， 解得. 故选：D. 3．（本题5分）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 4．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【答案】B 【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案 【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 5．（本题5分）已知向量满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，进而利用投影向量的定义求得在上的投影向量． 【详解】因为，因为，所以，所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 6．（本题5分）在中，点D在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量基本定理得到答案. 【详解】. 故选：A 7．（本题5分）在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据三角形的面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 因为的角平分线为，则， 由，则， 代入数据可得，化简可得， 解得. 故选：B 8．（本题5分）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）已知任意的非零平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用数量积的定义及运算律，逐项判断即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，为非零向量，，B正确； 对于C，是与共线的向量，是与共线的向量，而无任何关系，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 10．（本题6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用平面向量数量积的定义，判断夹角的范围即可判断A选项；对于B选项，利用正弦定理进行边化角处理，化简可得到角的关系；对于C选项，利用正弦定理进行角花边处理，再利用余弦定理求得；对于D，利用角的正切值在的正负关系，直接得出结果. 【详解】对于A选项： ，则，故A选项正确； 对于B选项：， 由正弦定理可得， 则，即，故，则，故B错误； 对于C选项： 由正弦定理可得，，即， 解得 ，，故C正确； 对于D选项： 、、三个必有一个为负值 又，，，故D正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】BCD 【分析】根据数量积的运算律可得，结合正六边形的几何性质，即可求解. 【详解】如图，设圆心为，取的中点，连接，，，，    根据题意可知，是边长为的正三角形，易得， ， 根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值， 此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值，此时 综上，. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，，若，，三点共线，则________． 【答案】 【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 13．（本题5分）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______．    【答案】2 【分析】画出图形，利用余弦定理建立方程求解即可. 【详解】如图，假设小艇与轮船在点相遇，      由题意得，，． 由余弦定理得，得， 解得或4．故的最小值为2． 故答案为：2 14．（本题5分）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由得，根据正弦定理、余弦定理化简可得的外接圆半径为，根据向量数量积几何意义可知当点与点重合时，有最小值. 【详解】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时，，. 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知向量，满足，． (1)若，的夹角为，求； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出 ，再按照数量积的公式计算即可 （1）根据得到，计算出，再根据 即可 【详解】（1），所以， 所以 （2）因为，所以， 所以，所以 ， 令 所以， 因为，所以 故与的夹角为． 16．（本题15分）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证； （2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 又因为与共线，且有公共点, 所以三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得， 所以， 即实数的值为或. 17．（本题15分）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和两角差的余弦公式即可求解； （2）根据条件得出，然后利用正弦定理和勾股定理，同角三角比的关系和二倍角公式即可得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，所以. 因为，所以. （2）如图，因为，所以，所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由正弦定理得， 因为， 所以，所以， 所以. 因为，所以，即. 在中，. 所以， 所以 . 18．（本题17分）如图，在平面凸四边形ABCD中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），AB=2，BC=5，CD=6． (1)若，，求AD； (2)已知AD=3，记四边形ABCD的面积为S． ①求的最大值； ②若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（直接写结果，不需要过程） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）结合余弦定理列方程，化简求得. （2）①先求得的表达式，结合余弦定理列方程，化简求得的最大值. ②通过研究的范围来求得的取值范围，从而求得的取值范围. 【详解】（1）， ， ∴， ∴或（舍）. （2）①， ． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由，得， ∴当时，取得最大值. ②. 由①知：，则需研究的范围． 当增大时，增大，从而B随之增大， 所以，当A，B，C趋于共线时，趋于，其中钝角满足， 当减小时，减小，从而B随之减小， 所以，当A，B，D趋于共线时，趋于，其中锐角满足， ， 令，则在上递增，在上递减 并且 ，. 19．（本题17分）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)①，②7 (3)9 【分析】（1）根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解. （2）①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解. （3）直接利用（2）的结论，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； （2）①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 （3）由,，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 高中数学单元测试 第六章平面向量及其应用（较易版01） 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.(本题5分)PO+OM-PM=() A.2MO B.2P0 C.2MP D.O 2.(本题5分)已知平面向量a=(1,2),b=(m,-l若a-1(a+,则m=() A.1 B.-2 C.2 D.±2 3.(本题5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C所对的边，若 B=60°，b=√5，c=√5，则C=() A.45° B.135° C.45°或135° D.120° 4.（本题5分)下列说法中正确的是() A.两个单位向量一定相等 B.物理学中的重力是向量 C.若a1b,b/1,则ā1 D.长度相等的两个向量必相等 5.(本题5分)已知向量a,6满足a=1,=2,a1(a-),则a在上的投影向量为() A. B. c D.-b 6.(本题5分)在ABC中，点D在边AC上，且CD=2DA,则BD=() A.背8c+号BmB.BC+8iC.号8c+ 3 D.4BC-IBA 3 3 7.（本题5分)在ABC中，AB=2,AC=L,∠BAC=T ∠BAC的角平分线交BC于D,则 AD=() A.3 3 B.25 C.5 D.4V3 3 3 8.(本题5分)如图，在△ABC中，己知AB=2,AC=5,∠BAC=60°，BC、AC边上的两 条中线AM、BN相交于点P,则∠MPN的余弦值为() 试卷第1页，共3页 B.3 C.4v93 D. 4V91 2 93 91 二、多选题 9.（本题6分)已知任意的非零平面向量ā，五，C,则下列说法正确的是() A.0.a=0 B.a6=0sa16 C.(a.b).c=a(b.c) D. (a+-(d- 10.(本题6分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件能判断△ ABC是钝角三角形的有() A.AB·BC>0 B.b2 sin2 C+c2 sin2 B=2bccos Bcos C C.a-b=sinc D.tand+tanB+tanC <0 c+b sinA+sinB 11.（本题6分)如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的 半径为1，AB是圆的一条动直径，P为正六边形边上的动点，则PA.PB的可能取值为() A.9 B.11 C.13 D.15 三、填空题 12.(本题5分)已知向量AB=(2,2),AC=(-1,k-3),若A,B,C三点共线，则k= 13.(本题5分)如图，某港口0要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在 小艇出发时，轮船位于港口0北偏西30°方向且与该港口相距20 nmile的A处，并以l5 nmile /h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以5√7 n mile/.h的航行速度匀 速行驶，经过h与轮船相遇，则t的最小值为· 试卷第1页，共3页 命学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 30 l4.(本题5分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(sinA,sinC-sinB), 元=(a-3c,b+c,且m⊥n,b=2,则AB.AC的最小值为 四、解答题 15.(本题13分)已知向量a,乃满足a=(1,-,=1. 0若a,万的夹角为号求a5: (2)若(a-b)1b,求a与的夹角. 16.(本题15分)设ā，b是不共线的两个向量， (1)若0A=2ā-6,0B=3a+6,0C=a-36,求证：A,B,C三点共线； (2)若8a+kb与ka+4b共线，求实数k的值 17.(本题15分)在ABc中，角4.C所对的边分别为aac,且asnB=bco4- (1)求角A; (②)若BC=2CD且AB·AD=0,求cosB-∠ACB)的值 18.(本题17分)如图，在平面凸四边形ABCD中（凸四边形指没有角度数大于180的四边 形)，AB=2,BC=5,CD=6. 0若∠B=号wD名求D: (2)己知AD=3,记四边形ABCD的面积为S. ①求S的最大值； 试卷第1页，共3页 ②若对于常数入，不等式S≥2恒成立，求实数λ的取值范围.（直接写结果，不需要过程） 19.(本题17分)设平面内两个非零向量m,的夹角为日，定义一种运算“⑧”： m⑧元=msin0.试求解下列问题： ()已知向量a,6满足a=(2,1,=2,ab=4,求a⑧6的值： (2)①若ā=(x,y),b=(x2,y2),用坐标x1,片，x3,表示a⑧b: ②在平面直角坐标系中，已知点A2,1),B(-1,2),C(0,4),求AB⑧BC的值； (3)己知向量a= 12 ,6=2,-1） 求a⑧b的最小值， cosa sina （sina'cosaa∈0， 2 试卷第1页，共3页