高中数学单元测试——第六章平面向量及其应用（适中版01）

命学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 高中数学单元测试 第六章平面向量及其应用（适中版01 ) 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.(本题5分)Pō+OM-PM=() A.2MO B.2P0 C.2MP D.G 2.(本题5分)已知向量a=(2,1,b=(12),若a1a-b),则=() A. B C.-1 D.3 3.(本题5分)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=工 6'a=V2, b=2,则B=(). A胃 B.或2n c. 或3n 3 3 D.4 4 4.(本题5分)下列关于平面向量的说法正确的是() A.若a,b是共线的单位向量，则a= B.若a=b, 则d= C.若a≠b,则a,b不是共线向量 D.若a/b,b11c,则a11c 5.(本题5分)已知向量a,6满足d=2,=1,a+2=4,则a在6方向上的投影向量是() A.2b B.2a C.4b D.4a 6.(本题5分)已知O为ABC的外心，且AO=AB+(1-元)AC.若向量BA在向量BC上 的投影向量为uBC,其中u∈ 34 5'5 则cos ZA0C的取值范围为() A. 13 10'20 B [a 「13 C.20'10 p. 13 55 5分)记ABC的内角1B.C的对边分别为a6c,面积头 a2+c2-b=6c,c=l,则b=() 5 试卷第1页，共3页 A.5 c D.② 3 8.(本题5分)在空间中，若三个非零向量0M,0N,0T满足0M⊥ON,0N⊥0T,0T⊥OM, 则△MNT的形状一定是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 二、多选题 9.(本题6分)下列运算正确的是() A.（-3)2a=-6a B.2a+b)-(2i-a=3a c.(a+2b)-(2b+a=0 D.23a-b=6a-2b 10.(本题6分)在ABC中，下列结论正确的是() A.若sin2A=sin2B,则ABC为等腰三角形 B.若sinB=cosA,则ABC是直角三角形 C.若sin2A+sin2B<sin2C,则ABC是钝角三角形 C D.若0sA0sBC,则4BC是等边三角形 cos 2 11.(本题6分)已知P(2,0),A(cosa,sina,B(cosB,sinB),A,B两点不重合，则() A.PA-PB的最大值为2 B.PA+PB的最大值为2 C.若PA=PB,PA-PB最大值为V5 D.若PA=PB,PA+PB最大值为4 三、填空题 12.(本题5分)设平面向量ā=(x,1),b=(4,2),若ā，b不能组成平面上的一个基底，则 x= 13.(本题5分)如图，某港口0要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在 小艇出发时，轮船位于港口0北偏西30°方向且与该港口相距20 amile的A处，并以15 amile 试卷第1页，共3页 命学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 /h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以5√7 n mile/h的航行速度匀 速行驶，经过h与轮船相遇，则t的最小值为 14.(本题5分)如图，在等腰ABC中，底边BC=2,D,E是腰AC上的两个动点，且 BD+BE=xBA+yBC,则当：+9取得最小值时，BC(BD+BE到的值为 x y B 四、解答题 15.(本题13分)已知点A1,0,B(0,2),C(2,1 ()求AB+AC; (2)求cos∠BAC. 16.(本题15分)设ā，b是不共线的两个向量 (1)若0A=2a-6,0B=3ā+6,0C=a-3b,求证：A,B,C三点共线： (②)若8a+kb与ka+4b共线，求实数k的值 17.(本题15分)记ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 cos2 B+cos2 C=2cos2 4. (1)求证： ①2 becos A=a2; 试卷第1页，共3页 ②2、1 1 tan A tan B'tan C (2)求角A的最大值 18.(本题17分)某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域 建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域S,S分别种植牡丹，芍药，将区 域S2设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知CAB=90°，AC=200m,AB=200√5m ,M,N在BC上且∠MAN=30°. M 9) S2 S3 B (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积 的最小值。 19.(本题17分)对于平面向量a=(xy)(k=1,2,…,定义“变换”： ak+1=F。ak=(xcosθ-y4sin0,x4sin0+yCOS0),(0<0<π 0若向量云=2小，0-子求4： 2)求证：a=: (3)已知OA=(xy),0B=(x2),0i=E(OA,0B=E,(OB),求证：AB=AB 试卷第1页，共3页 高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量及其应用（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 2．（本题5分）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】若，则， 因此可得，解得. 故选：D 3．（本题5分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以， 所以或. 故选：D 4．（本题5分）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 5．（本题5分）已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用向量数量积的运算律求出，再根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】因， 由可得， 则在方向上的投影向量是. 故选：A. 6．（本题5分）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，过作的垂线，由在上的投影向量为，求得，又由，得到，结合，即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点， 过作的垂线，垂足为， 因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 又因为，所以， 因为，所以，即的取值范围为． 故选：D.    7．（本题5分）记的内角的对边分别为，面积为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得到，故，由三角形面积公式得到，由余弦定理求出答案. 【详解】因为，所以，所以， 则，由，得， 由余弦定理可得，，所以， 故选：B. 8．（本题5分）在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据已知条件推出，得为锐角．同理可得也为锐角．由此可得答案. 【详解】， ， , 所以，即知为锐角． 同理可知也为锐角． 故为锐角三角形． 故选：． 二、多选题 9．（本题6分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的加减和数乘运算，即可得出结论. 【详解】由题意， A项，，A正确. B项，，B正确. C项，，C错误. D项，，D正确. 故选：ABD. 10．（本题6分）在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是钝角三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】CD 【分析】 由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D. 【详解】 对于A，中，若，则有或， 当时，，为等腰三角形； 当时，，为直角三角形， 故A选项不正确， 对于B，中，若，则或， 即或，因此不一定是直角三角形，故B选项不正确； 对于C，中，若，则根据正弦定理得， 余弦定理得，则为钝角，是钝角三角形，故C选项正确； 对于D，中，若，则，即， 由，得， 所以，，是等边三角形，故D选项正确． 故选：CD． 11．（本题6分）已知，，，A，B两点不重合，则（    ） A．的最大值为2 B．的最大值为2 C．若，最大值为 D．若，最大值为4 【答案】AD 【分析】A选项，由几何意义可得A，B为单位圆上任意两点，从而得到；B选项，取中点，得到，数形结合得到，进而求出；C选项，；D选项，分两种情况，得到. 【详解】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点，，，A正确；    B选项，设D为的中点，则， 由于A，B两点不重合，所以，则，故B错误； C选项，当P，A，B共线时，，故C错误； D选项，当P，A，B共线时，若坐标分别为与或与时， 两点重合，此时， 若坐标不同时为与时，此时⊥，则，    故，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________； 【答案】2 【分析】由向量不能组成基底得向量共线，进而可得. 【详解】因为不能组成平面上的一个基底，所以，得，解得. 故答案为：2. 13．（本题5分）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______．    【答案】2 【分析】画出图形，利用余弦定理建立方程求解即可. 【详解】如图，假设小艇与轮船在点相遇，      由题意得，，． 由余弦定理得，得， 解得或4．故的最小值为2． 故答案为：2 14．（本题5分）如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为______．    【答案】 【分析】根据条件，利用三点共线的条件，得到，再结合条件，利用基本不等式，可得，从而可得，利用数量积的几何意义，即可求解. 【详解】因为是腰上的两个动点，则，， 所以，又， 则，得到，所以， 当且仅当，即，所以， 则， 又是等腰三角形，且底边，取中点，连接，则，且， 所以，    故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知点，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，然后再求其模； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可. 【详解】（1）因为点，，， 所以， 所以 所以 （2）因为，， 所以. 16．（本题15分）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证； （2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 又因为与共线，且有公共点, 所以三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得， 所以， 即实数的值为或. 17．（本题15分）记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求证： ①； ②； (2)求角的最大值． 【答案】(1)① 证明见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）先化简原等式，然后由正弦定理得到，然后根据余弦定理进行化简即可.（ii）由（i）的结果利用正弦定理化简即可证明. （2）先根据余弦定理列出的表达式，然后利用基本不等式结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）（i）由，得， 所以，由正弦定理得，     由余弦定理得， 所以． （ii）由，得，     所以，     所以． （2）由（1）（i）的结论可得 ，在（1）（i）的证明中，已证得 ， 由基本不等式可得 ，故 ，即 （当且仅当时取等号）， 所以 ， 因为，所以角的最大值为. 18．（本题17分）某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 【答案】(1) (2)当时人工湖的面积最小，最小值为 【分析】（1）使用勾股定理得到，使用余弦定理得到，进一步得到，，然后得出，最后得出结果； （2）假设，得到，然后利用正弦定理得到，表示，然后计算判断即可. 【详解】（1）因为∠CAB=90°，AC=200m，， 所以BC=400m，， 所以，， 所以AN=200m， 则为等腰三角形，， 所以，则， 得，，则MN=100m， 所以护栏的长度为． （2）设计使得时人工湖面积最小．（或设计，或都可） 法1：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即， 解得， 所以人工湖的面积 ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 法2：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即 解得， ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 19．（本题17分）对于平面向量，定义“变换”：， (1)若向量，，求； (2)求证：； (3)已知，，，，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）根据定义，直接代入公式，即可求解； （2）计算得，，，再展开计算，即可证明； （3）根据定义，可得向量，，再结合向量的减法运算，可求得向量，，根据向量的模的公式计算，即可得证. 【详解】（1）因为向量，， 所以； （2）因为向量，， 所以， 所以； （3）因为，，，， 则， ， 故，所以， ， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $