2026年浙江省杭州中考专题复习十六：最值问题研究 （函数中最值问题）

2026年浙江省杭州中考专题复习： 最值问题研究（函数中最值问题） 1.在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． （1）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． （2）求证：． 【答案】 【小问1详解】 解：点在该函数的图象上，理由如下： 当时，， 则点在该函数的图象上； 【小问2详解】 解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是， ∴，， ∴， ∵为常数， ∴， ∴． 2.已知二次函数， （1）若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． （2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 【答案】 【小问1详解】 解：①由题意，得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为：； ∵时，，函数的最小值为， ∴， 解得：， ∴的最大值为； 【小问2详解】 解：∵当时，取值范围是， ∴当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大， ∵二次函数图象经过，两点，且， ∴， 解得：或； 故或． 3.二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①，；② （2）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 4.已知二次函数y=x²-2mx+m+1 ( 1 ) 当m=2 时 ①求二次函数图象与x 轴的交点坐标； ②若点(a,y,),(b,y₂)是二次函数图象上的点，且a+b-4,求y₁+y₂的最小值。 (2)若点C(a+1,p)和 D(2m-a,q)在二次函数图像上，且点C 在对称轴的左侧， 求证：p<q-1。 【答案】(1)①m=2 时，y=x²-4x+3 。 当 y=0 时 ，x²-4x+3=0 解得x₁=1,x₂=3, 所以二次函数与x 轴两交点为(1,0)和(3,0) ②因为若点(a,y₁),(b,y₂) 是二次函数图象上的点 所以y₁=a²-4a+3,y₂=b²-4b+3, 又因为a+b=4 所以y₂=(4-a)²-4(4-a)+3, 所以y1+y₂=a²-4a+3+(4-a)²-4(4-a)+3 化简得y1+y₂=2(a-2)²-2, 所以y1+y₂ 最小值为-2 (2)因为点 C(a+1,p) 和D(2m-a,q) 也在二次函数图像上 所以p=(a+1)²-2m(a+1)+m+1,q=(2m-a)²-2m(2m-a)+m+1 所以p-q=(a+1)²-2m(a+1)+m+1-(2m-a)²+2m(2m-a)-m-1 化简得p-q=2(a-m)+1 因为且点 C 在对称轴的左侧，二次函数对称轴为x=m 所以a+1<m, 推得a-m<-1, 所以2(a-m)+1<-1 即p-q<-1, 所以求证p<q-1 5.在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax²+bx+2(a,b 是常数，a≠0) (1)若a=2 时，图象经过点(1,1),求二次函数的表达式 (2)写出一组a,b 的值、使函数y=ax²+bx+2 的图象与x 轴只有一个公共点，并求此二次函数图象的顶点坐标. (3)已知二次函数y=ax²+bx+2 的图象和直线y=ax+4b 都经过点(2,m), 求证：a2+b2≥. 【答案】解:(1)把a=2代入得,y=2x²+bx+2, ∵当x=-1时,y=1, ∴1=2-b+2, ∴b=3, ∴二次函数的表达式为y=2x²+3x+2; (2)令y=0,则ax²+bx+2=0, 当Δ=0时,则b²-8a=0, ∴b²=8a, ∴若a=2,b=4时,函数y=ax²+bx+2的图象与x轴只有一个公共点, ∴此时函数为y=2x²+4x+2=2(x+1)², ∴此函数的顶点坐标为(-1,0); (3)∵二次函数y=ax²+bx+2的图象和直线y=ax+4b都经过点(2,m), ∴4a+2b+2=2a+4b,∴2a+2=2b,∴b=a+1, ∴a²+b²=a²+(a+1)²=2a²+2a+1=2(a+)²+ ∴a2+b²≥ 6.已知二次函数． （1）当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 【答案】（1）①；② （2）或． 【小问1详解】 ①解：∵二次函的图象过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②解：∵和都是二次函数图象上的点， ，， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴的最小值是； 【小问2详解】 ∵ ∴对称轴为直线 ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向上 ∵当时，二次函数有最小值， ①当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得，不符合题意，舍去； ②当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）； ③当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得； 综上所述，实数k值为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 7. 在平面直角坐标系中，设二次函数是常数， 若时，图象经过点，求二次函数的表达式. 写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标. 已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证： 【答案】解：把代入得，， 当时，， ， ， 二次函数的关系式为； 解：令，则， 当时，则， ， 若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点， 此时函数为， 此函数的顶点坐标为； 证明：二次函数的图象和直线都经过点， ， ， ， ，   8.在平面直角坐标系中，点和在抛物线 （常数)上． （1）求抛物线的对称轴． （2）求证： （3）取，将线段沿水平方向平移得到线，若线段与抛物线有交点，求点的横坐标x的取值范围． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）点横坐标的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 证明：∵点和在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 当时，则点， 由（1）得抛物线的对称轴为直线， ∴点为抛物线顶点坐标， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式， 设线段向右平移个单位， ∴， 联立得：， 整理得：， ∴， ∴， ∴平移后的解析式为， 当时，， ∴， 即此时的横坐标为， 当线段向左移动个单位时，即向左移个单位， 此时，的横坐标为， 综上，点横坐标的取值范围为． 9.已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式． （3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：． 【解答】（1）解：将y＝a（x﹣1）（x+2）展开得y＝a（x2+x﹣2）＝ax2+ax﹣2a， ∴根据顶点坐标公式，， ∴顶点坐标为（，）； （2）解：函数图象向上平移3个单位长度后，函数表达式变为y＝ax2+ax﹣2a+3， ∵平移后的函数经过（0，﹣3），把x＝0，y＝﹣3代入y＝ax2+ax﹣2a+3， ∴﹣3＝﹣2a+3，解得a＝3， ∴原二次函数表达式为y＝3（x﹣1）（x+2）＝3x2+3x﹣6； （3）证明∵A（x1，m）和（x2，n）在y＝ax2+ax﹣2a上，且x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，m＜n， ∴a（﹣1﹣a）2+a（﹣1﹣a）﹣2a＜a（2a）2+a×2a﹣2a， 化简得a3+a2﹣2a＜4a3+2a2﹣2a， 移项得3a3+a2＞0， ∵a＜0， 两边同时除以a得3a2+a＜0，因式分解得a（3a+1）＜0， ∴解得a＜0， 由（1）知二次函数顶点纵坐标为y， ∵a＜0， ∴0， ∵a＜0， 二次函数图象开口向下， ∴y． 5 学科网（北京）股份有限公司 10.已知二次函数y＝x2+2tx+t﹣3（t为常数）的图象经过y＝﹣x2+2x的图象顶点． （1）求t的值． （2）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3的图象经过点（m+1，n+1），求n的最小值． （3）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1，求m的取值范围． 【解答】解：（1）根据y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，可得其顶点坐标为（1，1）， 把（1，1）代入二次函数y＝x2+2tx+t﹣3中，可得1＝1+2t+t﹣3， 解得t＝1． （2）由（1）知t＝1，故二次函数y＝x2+2x﹣2， 又因为y＝x2+2x﹣2图象经过点（m+1，n+1）， ∴n+1＝（m+1）2+2（m+1）﹣2，整理可得n＝m2+4m＝（m+2）2﹣4， 故n是m的二次函数，n的最小值为﹣4． （3）对于二次函数y＝x2+2x﹣2，其对称轴为直线x＝﹣1， 顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 令y＝﹣3，此时可得x2+2x﹣2＝﹣3，解得x1＝x2＝﹣1； 令y＝1，此时可得x2+2x﹣2＝1，解得x1＝﹣3，x2＝1， 画出大致图象如图所示： 由于在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1， 故m的取值范围为﹣1≤m≤1． 11.已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m），m为实数． （1）若m＝1，求该函数图象的对称轴． （2）若该函数图象与y轴交于点（0，n），求证：n≥﹣1． （3）若点A（2m，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，求m的取值范围． 【解答】（1）解：若m＝1，则二次函数为y＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1， ∴该函数图象的对称轴为直线x＝2； （2）证明：x＝0时，y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝m2+2m， ∴抛物线与y轴交于点（0，m2+2m）， ∵该函数图象与y轴交于点（0，n）， ∴n＝m2+2m＝（m+1）2﹣1， ∴n≥﹣1． （3）∵y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）， ∴y1＝（2m﹣m）2﹣2（2m﹣m）＝m2﹣2m， y2＝（﹣2﹣m）2﹣2（﹣2﹣m）＝m2+6m+8， y2＝（6﹣m）2﹣2（6﹣m）＝m2﹣10m+24， ∵y1＜y2＜y3， ∴m2﹣2m＜m2+6m+8＜m2﹣10m+24， 解得﹣1＜m＜1． 12.在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+2mx﹣m+2（m是常数）． （1）若函数图象经过点（0，3），求该函数图象的顶点坐标． （2）若点A（﹣1，y1），B（﹣m+2，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，求m的取值范围． （3）若函数图象经过点（﹣1，p），（1，q），求证：pq≤12． 【解答】（1）解：由条件可知3＝﹣m+2． 解得m＝﹣1． ∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2． ∴函数图象的顶点坐标为（1，2）； （2）解：由条件可知二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝m，则点B（﹣m+2，y2）在对称轴右侧， ∵y1＜y2， ∴存在如下情况： ①当﹣m＜﹣1，即m＞1时，﹣1＜﹣m+2， 解得m＜3， ∴1＜m＜3； ②当﹣m≥﹣1，即m≤1时，﹣m+2﹣（﹣m）＞﹣m﹣（﹣1）， 解得m＞﹣1； ∴﹣1＜m≤1， 综上，m的取值范围为：﹣1＜m＜3； （3）证明：函数y＝x2+2mx﹣m+2的图象经过点（﹣1，p），（1，q）， ∴p＝1﹣2m﹣m+2＝﹣3m+3，q＝1+2m﹣m+2＝m+3． ∴pq＝（﹣3m+3）（m+3）＝﹣3m2﹣6m+9＝﹣3（m+1）2+12． ∴pq≤12． 13.已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+c． （1）若点（h，c）在该二次函数的图象上，求h的值； （2）若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点（﹣2，5），求平移后的二次函数表达式； （3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4． 【解答】（1）解：∵点（h，c）在该二次函数的图象上， ∴h2﹣2h+c＝c， ∴h2﹣2h＝0， 解得h＝0或h＝2； （2）解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， ∴平移后的二次函数表达式为y＝（x+1）2+c+2， ∵平移后的二次函数经过点（﹣2，5）， ∴5＝（﹣2+1）2+c+2， 解得c＝2， ∴平移后的二次函数表达式为y＝（x+1）2+4； （3）证明：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴在﹣1≤x≤2范围内，当x＝﹣1时，y取最大值为m＝3+c，当x＝1时，y取最小值为n＝c﹣1， ∴mn＝（c+3）（c﹣1）＝c2+2c﹣3＝（c+1）2﹣4， ∵（c+1）2≥0， ∴mn≥﹣4． 14.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． （1）当t＝2时，求抛物线的顶点坐标． （2）求证：mn≤0． （3）当2＜x＜3时，都有n＜y＜m，则t的取值范围为t≥2　 ． 【解答】（1）解：当t＝2时，则y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）； （2）证明：∵二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． ∴m＝1+t﹣2＝t﹣1，n＝4﹣2t﹣2＝2﹣2t＝2（1﹣t）， ∴mn＝（t﹣1）•2（1﹣t）＝﹣2（t﹣1）2， ∵（t﹣1）2≥0， ∴﹣2（t﹣1）2≤0，即mn≤0． （3）解：二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象开口向上，对称轴为直线x， ∴点A（﹣1，m）关于对称轴的对称点为（1+t，m）， ∵当2＜x＜3时，都有n＜y＜m， ∴1+t≥3， ∴t≥2， 故答案为：t≥2． 15.已知二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … n m 2 m n … （1）若n＝﹣2时，求此时二次函数的表达式； （2）当x＝0.5时y＞0，求m+n的取值范围； （3）若点（x，y）是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，求mn的最小值． 【解答】解：（1）根据表格数据可设二次函数的表达式为 y＝a（x﹣1）2+2， 把 x＝3，y＝﹣2 代入，得﹣2＝4a+2， 解得 a＝﹣1， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1； （2）把x＝0.5代入 y＝a（x﹣1）2+2 得：， 解得：a＞﹣8． 当x＝2 时，y＝m，则 m＝a+2， 当x＝3 时，y＝n，则 n＝4a+2， ∴m+n＝5a+4＞﹣40+4＝﹣36， ∵a≠0， ∴m+n≠4， ∴m+n的取值范围为：m+n＞﹣36且m+n≠4； （3）∵点（x，y）是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2， ∴a＜0， ∴mn＝（a+2）（4a+2）＝4a2+10a+4＝4（a+）﹣， ∴当 时，mn的最小值为 ， ∵ 在a＜0范围内， ∴mn的最小值为 ． 16.已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），图象经过点（﹣1，m），（1，n），（3，p）． （1）当m＝﹣2时． ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大； （2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 【解答】解：（1）①当m＝﹣2时， 将点（﹣1，﹣2）代入函数解析式得， a+2a+1＝﹣2， 解得a＝﹣1． 所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+1． ②因为抛物线的对称轴为直线x＝，且开口向下， 所以当x＜1时，y随x的增大而增大． 故一个符合条件的x的取值范围是：x＜1． 证明：（2）因为抛物线的对称轴为直线x＝， 又因为1﹣（﹣1）＝3﹣1， 所以点（﹣1，m）和点（3，p）关于抛物线的对称轴对称， 则m＝p． 又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数， 所以m和p都是非正数，n是正数， 则， 解得． 所以a． 17.已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a，b为常数，且a≠0）． （1）若抛物线只经过点A（﹣1，﹣4），B（3，0），C（0，2）中的两点，求抛物线的解析式； （2）若点M（m，n）为（1）中抛物线上一点，且0≤m≤2，求n的取值范围； （3）若抛物线与直线y＝ax+3b都经过点（2，k），求证：a2﹣4b≥8． 【解答】（1）解：由题意，令x＝0，则y＝﹣6． ∴抛物线与y轴交于点（0，﹣6）． ∴抛物线不过点C（0，2）． ∴抛物线经过点A（﹣1，﹣4），B（3，0）． ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6． （2）解：由（1）抛物线为y＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣． ∴当x＝时，y取最小值为﹣． 点M（m，n）为（1）中抛物线上一点，且0≤m≤2， ∴当m＝0时，n＝﹣6；当m＝时，n＝﹣；当m＝2时，n＝﹣4， ∴当0≤m≤2时，﹣≤n≤﹣4． （3）证明：由题意，∵抛物线与直线y＝ax+3b都经过点（2，k）， ∴2a+3b＝k，且4a+2b﹣6＝k． ∴b＝2a﹣6． ∴a2﹣4b＝a2﹣4（2a﹣6） ＝a2﹣8a+24 ＝（a﹣4）2+8． ∵对于任意的a都有（a﹣4）2≥0， ∴a2﹣4b＝（a﹣4）2+8≥8． 18.已知，二次函数y＝x2+4mx+2m﹣3（m为常数）． （1）若m＝1，判断点P（﹣1，﹣4）是否在此函数的图象上； （2）若此函数图象经过点（m2，2m﹣3），求m的值； （3）若此函数图象经过点M（a，c），N（2m﹣4+a，c），求证：． 【解答】（1）解：若m＝1，则二次函数为y＝x2+4x﹣1， 当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣1＝﹣4， ∴点P（﹣1，﹣4）在此函数的图象上； （2）解：∵此函数图象经过点（m2，2m﹣3）， ∴2m﹣3＝m4+4m3+2m﹣3， ∴m4+4m3＝0， 解得m＝0或m＝﹣4． （3）证明：∵此函数图象经过点M（a，c），N（2m﹣4+a，c）， ∴，即a+m﹣2＝﹣2m， ∴a＝2﹣3m， ∴N（﹣2﹣m，c）， ∴c＝（﹣2﹣m）2+4m（﹣2﹣m）+2m﹣3＝﹣3m2﹣2m+1＝﹣3（m）2， ∴c． 19.已知二次函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 【答案】（1）①；②证明过程详见解析； （2） 【小问1详解】 解：①∵， ∴该函数解析式为． ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为； ②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题可知，，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州中考专题复习： 最值问题研究（函数中最值问题） 1.在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． （1）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． （2）求证：． 2.已知二次函数， （1）若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． （2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 3.二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 4.已知二次函数y=x²-2mx+m+1 ( 1 ) 当m=2 时 ①求二次函数图象与x 轴的交点坐标； ②若点(a,y,),(b,y₂)是二次函数图象上的点，且a+b-4,求y₁+y₂的最小值。 (2)若点C(a+1,p)和 D(2m-a,q)在二次函数图像上，且点C 在对称轴的左侧， 求证：p<q-1。 5.在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax²+bx+2(a,b 是常数，a≠0) (1)若a=2 时，图象经过点(1,1),求二次函数的表达式 (2)写出一组a,b 的值、使函数y=ax²+bx+2 的图象与x 轴只有一个公共点，并求此二次函数图象的顶点坐标. (3)已知二次函数y=ax²+bx+2 的图象和直线y=ax+4b 都经过点(2,m), 求证：a2+b2≥. 6.已知二次函数． （1）当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 7. 在平面直角坐标系中，设二次函数是常数， 若时，图象经过点，求二次函数的表达式. 写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标. 已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证： 8.在平面直角坐标系中，点和在抛物线 （常数)上． （1）求抛物线的对称轴． （2）求证： （3）取，将线段沿水平方向平移得到线，若线段与抛物线有交点，求点的横坐标x的取值范围． 9.已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式． （3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：． 10.已知二次函数y＝x2+2tx+t﹣3（t为常数）的图象经过y＝﹣x2+2x的图象顶点． （1）求t的值． （2）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3的图象经过点（m+1，n+1），求n的最小值． （3）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1，求m的取值范围． 11.已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m），m为实数． （1）若m＝1，求该函数图象的对称轴． （2）若该函数图象与y轴交于点（0，n），求证：n≥﹣1． （3）若点A（2m，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，求m的取值范围． 12.在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+2mx﹣m+2（m是常数）． （1）若函数图象经过点（0，3），求该函数图象的顶点坐标． （2）若点A（﹣1，y1），B（﹣m+2，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，求m的取值范围． （3）若函数图象经过点（﹣1，p），（1，q），求证：pq≤12． 13.已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+c． （1）若点（h，c）在该二次函数的图象上，求h的值； （2）若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点（﹣2，5），求平移后的二次函数表达式； （3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4． 14.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． （1）当t＝2时，求抛物线的顶点坐标． （2）求证：mn≤0． （3）当2＜x＜3时，都有n＜y＜m，则t的取值范围为 　 ． 15.已知二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … n m 2 m n … （1）若n＝﹣2时，求此时二次函数的表达式； （2）当x＝0.5时y＞0，求m+n的取值范围； （3）若点（x，y）是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，求mn的最小值． 16.已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），图象经过点（﹣1，m），（1，n），（3，p）． （1）当m＝﹣2时． ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大； （2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 17.已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a，b为常数，且a≠0）． （1）若抛物线只经过点A（﹣1，﹣4），B（3，0），C（0，2）中的两点，求抛物线的解析式； （2）若点M（m，n）为（1）中抛物线上一点，且0≤m≤2，求n的取值范围； （3）若抛物线与直线y＝ax+3b都经过点（2，k），求证：a2﹣4b≥8． 18.已知，二次函数y＝x2+4mx+2m﹣3（m为常数）． （1）若m＝1，判断点P（﹣1，﹣4）是否在此函数的图象上； （2）若此函数图象经过点（m2，2m﹣3），求m的值； （3）若此函数图象经过点M（a，c），N（2m﹣4+a，c），求证：． 19.已知二次函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $