2026年浙江省杭州市中考数学专题复习：几何图形与二次函数图像综合

**基本信息** 聚焦几何动态问题与二次函数的深度融合，通过14道典型题构建“图形性质-函数建模-图象分析”的逻辑链条，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何与函数综合|1例+13变式|动态几何（动点/变换）结合函数图象，考查面积/长度与变量关系|几何图形性质→变量关系建立→二次函数表达式及图象特征分析，体现从直观到抽象的推理过程|

2026年浙江省杭州中考专题复习：几何图形与二次函数综合的专题复习 【例】如图1，正方形ABCD的四个顶点在正八边形的四条边上，A为MN边上一点（不与M，N重合），八边形对角线PQ交正方形一组对边于点E，F，设AM＝x，四边形AEFD的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，最低点为H（a，1），则下列关于a，b的关系式正确的是（　　） A．b﹣a2＝1 B．b+a2＝4 C．b﹣2a2＝1 D．b+2a2＝4 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 2.冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（ ） A. 着陆坡的水平宽度米 B. 点的坐标为 C. D. 当的最大值为10米时， 3.如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 4.如图1，将沿斜边上的中线CM裁开，使沿射线AB方向平移，记作，当它与重叠部分为五边形时，设平移距离为x，该五边形面积为y．时，图2为函数部分图象，抛物线经过原点，最高点为，且经过点，．下列说法正确的是（） A. 点在函数图象上 B. C. D. 自变量x的取值范围为 5.如图1，在矩形中，点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，其中关于的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 6.如图1，四边形，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度匀速运动到点．同时，点从点沿着线段向终点做匀速运动，它们同时到达终点．连结，，，设运动时间为（秒），的面积为，关于的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（ ） A. B. 点在该函数图象上C. 最大时， D. 当时， 7.通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，4海里处.船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，为y，y关于x的函数图象如图2所示与y轴交于点，最低点，且经过则下列选项正确的是(    ) A. 的面积是 B. C. 点在该函数图象上 D. 8.如图1，在矩形中，点在边上，连接.点、都以的速度同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿线段运动到点时停止.连接.设点的运动时间为秒，的面积为，两点运动的过程中，与的函数关系如图2所示，则下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③当时，；④当在线段上，且平分时，. A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图1，在矩形中，P为边上一点，连结，将矩形沿折叠，记与矩形重叠部分的面积为S，设的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（ ） A. 当，S为关于x的一次函数 B. ， C. 当，S为关于x的二次函数 D. 图象过点 10.如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 11.如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 12.如图1，在中，，，.动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，则下列正确的是（ ） A. B. 时，为直角三角形 C. D. 时，面积最大 13.如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为； ②A，B两点间的距离为；③点P的运动速度为； ④的度数为．以上说法正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州中考专题复习：几何图形与二次函数综合的专题复习 【例】如图1，正方形ABCD的四个顶点在正八边形的四条边上，A为MN边上一点（不与M，N重合），八边形对角线PQ交正方形一组对边于点E，F，设AM＝x，四边形AEFD的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，最低点为H（a，1），则下列关于a，b的关系式正确的是（　　） A．b﹣a2＝1 B．b+a2＝4 C．b﹣2a2＝1 D．b+2a2＝4 【答案】A 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求得AC＝BC＝2，然后分0＜x≤和＜x≤2两种情况解答即可． 【详解】解：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2 ∴AC×BC＝4， ∴AC＝BC＝2， 当0＜x≤时，y＝x2； 当＜x≤2时，设ED交AB于M，EF交AB于N，如图： ∵CD＝x， ∴AD＝2﹣x， 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝45°， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠MDA＝∠MDC＝90°， ∴△AMD为等腰直角三角形， ∴DM＝2﹣x， ∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2， ∴S△EMN＝ ＝2， ∴ ＝﹣x2+4x﹣4， ∴当＜x≤2时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有A符合题意． 故选：A． 2.冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（ ） A. 着陆坡的水平宽度米 B. 点的坐标为 C. D. 当的最大值为10米时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出，，解三角函数得到以及求出，即选项A和选项B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，化简得到，即可得到选项C正确；设着陆坡所在直线的表达式为，求出一次函数解析式，得到，化简得，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，根据的最大值为10米，得到，即可得到选项D错误． 【详解】解：， ， 故， 解得，， 在中，， ， ， 米，故A错误； 在中，， ， 米，故，故B错误； 抛物线的函数表达式为， 将代入， 故， 化简得， ，故C正确； 设 设着陆坡所在直线表达式为， 将代入， ， 解得，， ， ， ， 则， ， 对于二次函数，其对称轴为， 当时，有最大值，将代入， 即， ∵的最大值为10米， 即， 解得，故D错误； 3.如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，结合菱形的性质得，，，进一步判定，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，则和，结合图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，解得、和，利用勾股定理求得为，即可得到点E的信息；当点Q在线段运动时，同理可得，，，和，则，利用勾股定理求得，代入点即可． 【详解】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图， ∵菱形中，， ∴，，，， ∴为等边三角形． 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动， 由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则， 那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合， 当点Q在线段运动时， ∴，，， ∴，解得，， 则， 那么，为 ， 当时即为图2的点E，， 当时，， 当点Q在线段运动时， 同理可得，，， ∴，， 则， 那么，为 ， 当时，， 故选∶B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长． 4.如图1，将沿斜边上的中线CM裁开，使沿射线AB方向平移，记作，当它与重叠部分为五边形时，设平移距离为x，该五边形面积为y．时，图2为函数部分图象，抛物线经过原点，最高点为，且经过点，．下列说法正确的是（） A. 点在函数图象上 B. C. D. 自变量x的取值范围为 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，再利用求出解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， 设， 为沿斜边上的中线， ， 平移距离为， ，， 由题意得：，， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， , ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， , ， 最高点为， ， ， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 点在函数图象上， A选项的结论正确； 抛物线的对称轴为直线，，， ， B选项的结论不正确， 又最高点为，， ，自变量的取值范围为， C，D选项的结论不正确． 5.如图1，在矩形中，点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，其中关于的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论：当点运动到点处或点运动到点处或点运动到点处时，点与点重合或路程，利用直角三角形的性质和垂线的性质易证得，进而得到，据此列方程求解即可． 【详解】解：由图2得，当点运动到点处时，为4，即为4，故选项A正确； 如图，当点运动到点处时，路程为8，即为8， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故选项B正确； 当点运动到点处时，点与点重合，此时， 故选项C正确； 当路程时，如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点不在该函数图象上， 故选项D错误． 6.如图1，四边形，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度匀速运动到点．同时，点从点沿着线段向终点做匀速运动，它们同时到达终点．连结，，，设运动时间为（秒），的面积为，关于的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（ ） A. B. 点在该函数图象上 C. 最大时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，梯形，等边三角形的判定，动点问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数最值，解决本题的关键是综合运用所学知识能力．根据已知条件，进行严格缜密的推理与计算即可判断． 【详解】解：如图， 过点作，交于点， 则， ， ， 是等边三角形 ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形为等腰梯形． ， 即点，点运动路程相等， 又它们同时到达终点， 点，点速度相等． 由图象可知，当时，点到达点， 又， ，，． ． 故A错误； 设点到的距离为， 根据含30度角的直角三角形的性质可得，， 此时，， 即图中曲线与线段的交点坐标为， 直线过点和， 利用待定系数法求出直线的解析式为：， 当时，， 点不在该函数图象上， 故B错误； 当点在边上时， 设点到的距离为， 此时， 根据含30度角的直角三角形的性质可得，， 此时，， 当时，有最大值， 此时，，， 根据含30度角的直角三角形的性质可得，点到的距离为， ， 故C正确； 当时， ， ， 解得，或， 故D错误； 综上，C选项正确． 故选：C． 7.通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，4海里处.船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，为y，y关于x的函数图象如图2所示与y轴交于点，最低点，且经过则下列选项正确的是(    ) A. 的面积是 B. C. 点在该函数图象上 D. 【答案】C  【解析】解：如图1，过B点作于点D，，， 图2中图形的最低点， ，， 在中，， ， 即， 故选项B错误； 的面积， 故选项A错误； 图象经过， ，， 在中，，， ， 即， 故选项D错误， 如图3，当时，， 在中，， ， 即点在该函数图象上， 故选项C正确，符合题意， 故选： 8.如图1，在矩形中，点在边上，连接.点、都以的速度同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿线段运动到点时停止.连接.设点的运动时间为秒，的面积为，两点运动的过程中，与的函数关系如图2所示，则下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③当时，； ④当在线段上，且平分时，. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 9.如图1，在矩形中，P为边上一点，连结，将矩形沿折叠，记与矩形重叠部分的面积为S，设的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（ ） A. 当，S为关于x的一次函数 B. ， C. 当，S为关于x的二次函数 D. 图象过点 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分点在矩形内部和外部两种情况讨论，根据重叠部分的面积为S，列出关系式，逐一判断即可． 【详解】解：根据题意：， 当点在矩形内部时（包含边界）， 则重叠部分的面积为， 的长为定值， 此时，S为关于x的一次函数； 由函数图象可得：当时，点刚好落在边上， ∴当，S为关于x的一次函数；故A选项说法正确； 如图，当时， 此时，与重合，则， ， 此时，四边形是矩形， ， 此时，四边形是正方形， ∴， 此时，， ∴， 当点在矩形外部时， 如图，过点P作于点H，设交于点G，则四边形是矩形， ， ∴， 设，则， 在中，，即， ， 则重叠部分的面积为， 此时，S不是关于x的二次函数；则当，S不是关于x的二次函数；故C选项说法错误； 由函数图象可得：当时，点P与点D重合， 此时，， ∴，故选项B说法正确； 当时，， ∴图象过点，故选项D说法正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的折叠问题、函数图象，勾股定理、三角形全等的判定与性质，灵活运用知识点、运用数形结合与分类讨论是解题的关键． 10.如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，连接，作，则，证明，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，当时，，此时为直径， ∴圆的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴； 故选D． 11.如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得的长度为，可得；画出时的图形，计算的面积即可；根据题意可得当时，的面积最大；画出时的图形，计算和的面积即可． 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 12.如图1，在中，，，.动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，则下列正确的是（ ） A. B. 时，为直角三角形 C. D. 时，面积最大 【答案】C 【解析】 【分析】观察图像可知，当时，点P与点B重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出m的值为8，故A选项错误；根据图像当时，此时，，过P点作于D点，根据面积公式求得，证明，列出比例式求得，进而可得 ，故C选项正确；当时，可得，， ， ．由列出比例式求得，，则可得，．由勾股定理的逆定理可得不是直角三角形，故B选项错误；求出S与t的关系式为，则可得当时，，故D选项错误． 本题考查动点的函数图像，相似三角形的判定和性质，从函数图像中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：观察图像可知，当时，点P与点B重合， ∵动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发， ∴， ∵， ∴， 故A选项错误； 由图像可知，当时，此时，， 过P点作于D点，如图，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴P点是的中点， ∴， ∴， 故C选项正确； 当时，，， ， ， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴不是直角三角形， 故B选项错误； 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴， 当时，， 故D选项错误． 故选：C． 13.如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为； ②A，B两点间的距离为；③点P的运动速度为； ④的度数为．以上说法正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是动点图象问题，由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定①、②、③，最后根据可对④进行判断． 【详解】解：由题图②得，当时，，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故①正确，不符合题意； 当时，点P到达点B处，此时， ∴A、B两点间的距离为，故②正确，不符合题意； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故③正确，不符合题意； 当点P运动到点B时，，即， ∴是等边三角形， ∴，故④错误，符合题意． 综上，正确的说法是①②③． 故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $