8.6.3　平面与平面垂直【六大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

8.6.3　平面与平面垂直 【考点梳理】 · 考点一、面面垂直的判定 · 考点二、证明面面垂直 · 考点三：面面垂直性质的应用 · 考点四、二面角的求法 · 考点五、已知二面角的大小求线段距离或长度 · 考点六：面面垂直的综合问题 【知识梳理】 知识点01、二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 　　　　 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点02、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 知识点03、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 知识点04、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 【题型归纳】 题型一、面面垂直的判定 【典例1】．（25-26高一下·全国）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【变式1】．（25-26高三上·天津·月考）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（25-26高二上·山西朔州·月考）设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m∥，m∥，则∥    ②若⊥，⊥，则⊥ ③若m⊥，m⊥，则∥    ④若m∥，n⊥，则m∥n 其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二、证明面面垂直 【典例2】．（25-26高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【变式1】．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 【变式2】．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. 求证：平面平面； 题型三：面面垂直性质的应用 【典例3】．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【变式1】．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【变式2】．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 题型四、二面角的求法 【典例4】．（2026高一下·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【变式2】．（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 题型五、已知二面角的大小求线段距离或长度 【典例5】．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【变式1】．（25-26高三上·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求线段的长． 【变式2】．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 题型六：面面垂直的综合问题 【典例6】．（23-24高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【变式1】．（2026高一下·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且． (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； (3)求三棱锥的体积． 【变式2】．（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南·月考）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 2（25-26高一下·全国·课后作业）已知长方体，在平面上任取一点M，作于E（与不重合），则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知平面平面，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）二面角是（   ） A．两平面相交所成的角 B．一个平面绕该平面的一条直线旋转所成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．从一个平面内一条直线出发的一个半平面与该平面所组成的图形 5．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·北京丰台·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 8．（25-26高二上·山东·期中）在矩形中，，，将沿对角线折起，使得点到达点的位置，若二面角的大小为，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏无锡·月考）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则⊥ B．若，，则 C．若，m，，则 D．若，，则m与所成的角和n与所成的角相等 10．（2025高三·全国·专题练习）在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 11．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 12．（20-21高三上·湖南长沙·月考）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积不变 三、填空题 13．（2026·福建福州·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______. 14．（2026高一·全国·专题练习）如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 15．（25-26高一下·全国·单元测试）设正三角形的边长为，平面，，则到平面的距离为__________． 16．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 四、解答题 17．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 18．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，证明：； 19．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 20．（25-26高三上·湖南常德·月考）如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 21．（25-26高二上·贵州遵义·月考）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.3　平面与平面垂直 【考点梳理】 · 考点一、面面垂直的判定 · 考点二、证明面面垂直 · 考点三：面面垂直性质的应用 · 考点四、二面角的求法 · 考点五、已知二面角的大小求线段距离或长度 · 考点六：面面垂直的综合问题 【知识梳理】 知识点01、二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 　　　　 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点02、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 知识点03、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 知识点04、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 【题型归纳】 题型一、面面垂直的判定 【典例1】．（25-26高一下·全国）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系进行判定. 【详解】在A选项中，若，，根据位置关系可得或，故A错误， 在B选项中，若，，则或， 又，所以，故B正确， 在C选项中，若，，，， 根据面面平行的判定定理，因为缺少是相交直线的条件， 不能推出，故C错误， 在D选项中，若，，， 两个平行平面内的直线可能异面，不一定平行， 所以或异面，故D错误. 【变式1】．（25-26高三上·天津·月考）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线、平面位置关系的判定及性质定理逐项分析即可. 【详解】对于①，由，得平面中存在直线与直线n平行，所以，有可能平行，所以①错误； 对于②，由平面平行的性质可判断②正确； 对于③，若，，则，因为，所以，所以③正确； 对于④，若，，所以，又，所以，所以④错误； 对于⑤，若，，则，又，所以，所以⑤正确. 故正确的个数是3. 故选：C. 【变式2】．（25-26高二上·山西朔州·月考）设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m∥，m∥，则∥    ②若⊥，⊥，则⊥ ③若m⊥，m⊥，则∥    ④若m∥，n⊥，则m∥n 其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】对①，若m∥，m∥，则与平行或相交，①错误； 对②，若⊥，⊥，则与平行或相交，②错误； 对③，若m⊥，m⊥，则∥成立，③正确； 对④，若m∥，n⊥，则m⊥n，④错误； 故选：A. 题型二、证明面面垂直 【典例2】．（25-26高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【变式1】．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】记为中点，由题意可证，结合，可证平面，进而利用面面垂直的判定定理可证平面平面. 【详解】四边形为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，记为中点，所以. 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，所以，， 因为，所以. 又，平面， 所以平面． 平面，所以平面平面. 【变式2】．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. 求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】由，，根据线面垂直的判定定理证出平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． 题型三：面面垂直性质的应用 【典例3】．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 【变式1】．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直的判定定理及性质可得，由面面垂直的性质及线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 【变式2】．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，又平面平面，可得平面，从而，同理，根据线面垂直的判定定理可得结论； （2）取为的中点，由平面得，则，可证得，所以，进而可得，证得平面，所以，从而平面，进而可得结论． 【详解】（1）因为，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面． 又平面，所以， 同理可得平面，又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，      由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，则， 所以，所以． 又，所以，所以， 因为，所以， 又平面，又平面，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． 题型四、二面角的求法 【典例4】．（2026高一下·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 【答案】60° 【分析】过点作于，连接，由条件证明是的中点，求得，利用三垂线定理证明，即得是二面角的平面角，借助于，即可求得其大小. 【详解】如图，过点作于，连接， 在正三棱柱中，平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得，所以是二面角的平面角， 因为，所以是的中点，所以是的中位线， 所以，在中，， 所以，即二面角的大小为60°． 【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由线面垂直的性质得，结合已知及线面垂直判定定理证得平面，再由面面垂直的判定定理推出平面平面； （2）先确定为二面角的平面角，再在中结合用勾股定理求出，最后利用正弦的定义求得二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：平面，平面， ，又且． 平面．又平面平面平面． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在Rt中，，，． 即二面角的正弦值为． 【变式2】．（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 题型五、已知二面角的大小求线段距离或长度 【典例5】．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面． （2）取中点，连接，证得平面，得到，进而证得平面，得到，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 【变式1】．（25-26高三上·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）取中点，连接，可得是二面角的大小的平面角，从而求得线段的长. 【详解】（1）    取中点，连结，三角形中，为中点， 所以，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面. （2）取中点，连接，， ，，所以四边形为矩形， 所以，， 所以，又因为，则， 所以，即. 因为平面平面， 所以， 所以是二面角的大小的平面角，则. 所以. 【变式2】．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据勾股定理得出，进而应用平面平面BCD的性质定理证明线面垂直； （2）先根据线面平行性质定理得出，结合边长关系得出比例关系； （3）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再结合边长关系得出，最后应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 题型六：面面垂直的综合问题 【典例6】．（23-24高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）要证明线面平行，转化为平行四边形，证明线线平行； （2）要证明面面垂直，根据线线，线面垂直关系的转化，转化为证明平面； （3）根据垂直关系，由二面角的大小转化为线线角，从而确定四棱锥的高，确定体积. 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则 【变式1】．（2026高一下·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且． (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）过作于，连接，利用三垂线定理证明，即得是二面角的平面角，借助于即可求得二面角的大小； （3）过作于，利用平面证明平面平面，再由面面垂直的性质可得平面，即得为点到平面的距离，利用棱锥体积公式计算即得. 【详解】（1）因为，且， 所以四边形是平行四边形，可得． 又平面平面，所以直线平面. （2）过作于，连接， 因为平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得， 所以是二面角的平面角． 因为，所以是的中点， 得到是三角形的中位线，所以． 在中，， 所以，即二面角的大小为. （3）过作于，因为平面， 平面，所以平面平面， 因为，平面平面， 所以平面，即为点到平面的距离． 因为正三角形中，， 故三棱锥的体积． 【变式2】．（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，E是线段上靠近点C的三等分点． (2)． 【分析】（1）设交于点F，可证，因此只要，就有，进而可得平面； （2）先证，平面，得，计算，从而证明，得出为二面角的平面角，然后由余弦定理计算． 【详解】（1）存在．如图所示： 连接，，设交于点F， ，且， ． 取的三等分点，使，连接，，，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南·月考）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】对于A. 若，，则与平行或异面，故A错误； 对于B. 若，，，则，故，故B正确； 对于C. 若，，则或，故C错误； 对于D. 若，又，根据面面垂直的判定，即有， 若，由于，，则，过任作一个面，使其和相交于直线， 根据线面平行的性质定理，，又则，结合，即，故D错误.. 2（25-26高一下·全国·课后作业）已知长方体，在平面上任取一点M，作于E（与不重合），则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】易知平面，由面面垂直的性质可得结论． 【详解】 平面，，即平面，平面， 又平面平面ABCD，平面平面，， 平面ABCD． 故选：A． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知平面平面，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的定义可得. 【详解】若，则根据面面垂直的性质定理，可得； 若，则由，可得. 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）二面角是（   ） A．两平面相交所成的角 B．一个平面绕该平面的一条直线旋转所成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．从一个平面内一条直线出发的一个半平面与该平面所组成的图形 【答案】C 【分析】根据二面角的定义判断即可. 【详解】由二面角的定义可知：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 故选：C 5．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 6．（24-25高一下·北京丰台·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据各项中线面、面面的位置关系，结合线面、面面垂直，线面、面面平行的性质和判定及空间想象判断各项的正误. 【详解】A：由，则平行、异面、相交均可能，错， B：由，则或，错， C：由，结合线面垂直、面面平行的性质有，对， D：由，要使，根据面面平行的判定定理，条件还需相交，错. 故选：C 7．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果. 【详解】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 8．（25-26高二上·山东·期中）在矩形中，，，将沿对角线折起，使得点到达点的位置，若二面角的大小为，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据折叠前矩形的性质，结合二面角的定义，利用余弦定理和直角三角形的边角关系可求的长度. 【详解】矩形中，过点作于点，过点作于点，并延长交于点. 所以. 因为，，所以. 所以. 所以. 所以，所以是的中点. 所以，. 如图，将沿对角线折起，使得点到达点的位置. 因为，所以为二面角的平面角，所以. 中，，所以，所以. 因为，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 所以. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏无锡·月考）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则⊥ B．若，，则 C．若，m，，则 D．若，，则m与所成的角和n与所成的角相等 【答案】ABD 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项. 【详解】A.，，则，又，则存在，，所以，A正确； B.，，则，故B正确； C. 当，可以存在，m，，则C不正确； D. 时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等， 又，,则m与所成的角和n与所成的角相等，D正确. 故选：ABD. 10．（2025高三·全国·专题练习）在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】BD 【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误； 由题得，，， 所以，所以，B正确； 因为平面，平面，， 且在平面与平面的交线上，与不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，且，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，D正确． 故选：BD. 11．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 【答案】ABC 【分析】利用正方体的结构特征，结合平面基本事实、线面垂直的判定推理判断AB；利用线面角及面面角的几何法求解判断CD. 【详解】在正方体中，连接，由为的中点，得是的中点， 对于A，，平面，而，则平面， 而平面，平面，且平面平面， 所以，即，，三点共线，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，所以，同理， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，连接，令交点为，连接，由选项B，同理平面， 则是直线与平面所成的角， 所以，所以， 因此直线与平面所成角为，C正确； 对于D，由选项B得，则是平面和平面夹角， 而平面，则，，D错误. 故选：ABC 12．（20-21高三上·湖南长沙·月考）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积不变 【答案】ABD 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A，由面面平行的性质定理可判断B，由线面垂直的性质定理可判断C，由线面平行的性质及棱锥的体积公式可判断D． 【详解】正方体中由平面，平面，可得， 又，是平面内两相交直线，从而得平面， 平面，因此有， 同理，， ∴平面，又平面，∴平面平面，A正确； 正方体中与平行且相等，则是平行四边形，，平面，平面， ∴平面，同理平面，，都在平面内， ∴平面平面，平面，∴平面，B正确； 与A选项同理可证平面，当是与交点时，平面， ，异面直线与所成角为，C错误； 由 B选项，知平面，∴到平面的距离不变，因此三棱锥体积不变，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 13．（2026·福建福州·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______. 【答案】 【分析】作，垂足为，则为的中点，根据二面角的定义得到为二面角的平面角，设， 由的面积建立的等式得到的值，从而得到圆锥的高的值，底面圆的半径的值，求出圆的面积，利用圆锥的体积公式求出体积. 【详解】如图，作，垂足为，则为的中点， ，，为二面角的平面角， 二面角为，， 在等腰三角形中，， 设，则，， 则， ， 的面积等于，解得， 则，， 圆的面积为， 圆锥的体积为. 故答案为：. 14．（2026高一·全国·专题练习）如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】过点作，使，连接，则是异面直线和所成的角或其补角，再结合几何关系，利用余弦定理求解即可． 【详解】过点作，使，连接， 则是异面直线和所成的角或其补角， 过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 在中，，由，得，， 所以，又，则， 由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为． 15．（25-26高一下·全国·单元测试）设正三角形的边长为，平面，，则到平面的距离为__________． 【答案】 【分析】根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理和性质定理，结合三棱锥体积的等积性进行求解即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，，则， 因为平面，平面， 所以，又因为平面， 所以平面，又因为平面，平面， 所以平面平面，. 在平面内过作，垂足为，则平面． 由， 则， 由勾股定理可得：， ， 所以． 故答案为： 16．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【答案】/ 【分析】 根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 四、解答题 17．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 由（1）可得，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 18．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证平面，再利用线面平行的性质定理证明，进而得证； （2）过点作于点，利用面面垂直的性质定理即证平面，再利用线面垂直的判定定理得平面，进而得证. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，； （2）如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. 19．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）过作于，利用面面垂直的判定性质，结合点到平面距离的意义求解. （3）由（2）中信息，确定两个平面的夹角，再利用直角三角形边角关系求解. 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 过作于，连接，由平面， 得平面，而平面，于是平面平面， 过在平面内作于，而平面平面，因此平面， 长即为点D到平面的距离，，， ，在中，，则， 所以点D到平面的距离. （3）由（2）得，则是平面与平面DBC的夹角， ， 所以平面与平面DBC的夹角的余弦值为. 20．（25-26高三上·湖南常德·月考）如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，结合面面垂直性质定理即可求解； （2）由（1）得到平面，进而可求证； （3）由等体积即可求解； 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，， ， 即三棱锥的体积为. 21．（25-26高二上·贵州遵义·月考）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取棱的中点，连接，先证明平面，再由线面垂直的定义即可得到； （2）先得到是二面角的平面角，再由余弦定理求解即可； （3）设，直线与平面所成的角为，先得到，利用换元法设，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）取棱的中点，连接， 因为，且是线段的中点，所以， 因为，且是线段的中点，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以； （2）连接. 因为，且是棱的中点，所以， 因为，且是棱的中点，所以， 则是二面角的平角， 因为，且是棱的中点，所以， 因为，所以， 因为，且，所以. 在中，由余弦定理可得： ， 即二面角的余弦值为. （3）设， 在中，，， 则， 故， 作，垂足为，则， 由（1）知平面，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，即点到平面的距离为， 因为是棱的中点，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成的角为， 则， 设，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $