8.5 空间直线、平面的平行【 九大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

8.5 空间直线、平面的平行 【考点梳理】 · 考点一：判断线面平行 · 考点二：证明线面平行 · 考点三：线面平行的性质 · 考点四：直线与平面平行的性质判断线段比例或点所在位置 · 考点五：判断面面平行 · 考点六：证明面面平行 · 考点七：面面平行证明线线平行 · 考点八：面面平行证明线面、面面平行 · 考点九：空间线面平行的综合问题 【考点梳理】 知识点一：基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 知识点二　空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 推广：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 知识点三　直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 知识点四　直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 知识点五　平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言 知识点六　两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 【题型归纳】 题型一：判断线面平行 【典例1】．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【变式2】．（23-24高二上·辽宁铁岭·期末）下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A． ， ， B． ， C． ， ， ， D． ， ， ， ， ，且 题型二：证明线面平行 【典例2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 【变式1】．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 题型三：线面平行的性质 【典例3】．（24-25高一下·浙江·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B．若两直线a，b都与平面平行，则 C．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 D．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 【变式1】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）下列命题中正确的是（   ） A．如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 B．如果直线和平面满足，那么 C．如果直线和平面满足，那么 D．，，那么 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）若平面平面，直线，点，过点的所有直线中（ ） A．一定不存在与a垂直的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线 题型四：直线与平面平行的性质判断线段比例或点所在位置 【典例4】．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（   ） A． B． C．2 D． 题型五：判断面面平行 【典例5】．（25-26高三上·湖南·期中）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，，则 D．若，则 【变式1】．（2024高一下·全国·专题练习）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式2】．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 题型六：证明面面平行 【典例6】．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面． 【变式1】．（2021高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 【变式2】．（25-26高二上·安徽亳州·期中）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 题型七：面面平行证明线线平行 【典例7】．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式1】．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 【变式2】．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 题型八：面面平行证明线面、面面平行 【典例8】．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点. 求证：存在点N，使得. 【变式2】．（24-25高一下·安徽安庆·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由. 题型九：空间线面平行的综合问题 【典例9】．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【双基达标】 一、单选题 1.（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是所在平面外一点，平面平面，线段分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知表示直线，表示平面，有以下命题： ①相交且都在平面外，，，，，则；②若，，且，则；③若，，，则.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 5．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 6．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 二、多选题 8．（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ） A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一平面 9．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 10．（24-25高一下·青海海南·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．  B．  C． D．   三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是________． ①平面内有两条直线都与平面平行，那么； ②平面内有无数条直线平行于平面，那么； ③若直线与平面和平面都平行，那么； ④平面内所有的直线都与平面平行，那么． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 四、解答题 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 17．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形． (1)求证：平面∥平面； (2)在直线上是否存在点P，使∥平面？ 19．（25-26高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 20．（23-24高一下·广东中山·月考）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求四棱锥的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5 空间直线、平面的平行 【考点梳理】 · 考点一：判断线面平行 · 考点二：证明线面平行 · 考点三：线面平行的性质 · 考点四：直线与平面平行的性质判断线段比例或点所在位置 · 考点五：判断面面平行 · 考点六：证明面面平行 · 考点七：面面平行证明线线平行 · 考点八：面面平行证明线面、面面平行 · 考点九：空间线面平行的综合问题 【考点梳理】 知识点一：基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 知识点二　空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 推广：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 知识点三　直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 知识点四　直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 知识点五　平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言 知识点六　两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 【题型归纳】 题型一：判断线面平行 【典例1】．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理判定①，③，④，应用线面平行判断线线平行判定②. 【详解】①中可能在内，①错误； ②中与可能相交或平行或异面，②错误； ③中也可在内，③错误； ④中与也可能异面，④错误． 故选：A. 【变式1】．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】在A中，由平行公理得；在B中，与相交、平行或异面；在C中，或；在D中，或． 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 【变式2】．（23-24高二上·辽宁铁岭·期末）下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A． ， ， B． ， C． ， ， ， D． ， ， ， ， ，且 【答案】A 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理即可判断；对于B，由 ，，分析出或即可判断；对于C，由条件分析出或即可判断；对于D，由条件分析出或，或直线与平面相交即可判断. 【详解】由 ， ，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 由 ，，可知或，故B错误； 由 ， ， ，，可知或，故C错误； ， ， ， ，，且， 则可能或，或直线 与平面相交，故D错误. 故选：A 题型二：证明线面平行 【典例2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，在线段上取一点，使，在线段上取一点，使，连接，结合已知先证，再由线面平行的判定证明结论. 【详解】连接，在线段上取一点，使， 在线段上取一点，使，连接，，， 则，且， 因为，，，分别为棱，，，的中点. 则，且，，， 所以，， 又，所以，， 所以四边形为平行四边形，同理四边形为平行四边形， 所以，，所以. 因为平面，不包含于平面，所以平面. 【变式1】．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 题型三：线面平行的性质 【典例3】．（24-25高一下·浙江·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B．若两直线a，b都与平面平行，则 C．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 D．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 【答案】D 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，错误； 对于B，若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，错误； 对于C，若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，错误； 对于D，如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，正确. 故选：D 【变式1】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）下列命题中正确的是（   ） A．如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 B．如果直线和平面满足，那么 C．如果直线和平面满足，那么 D．，，那么 【答案】D 【分析】在正方体中取满足条件的线面，举反例排除ABC，对于D，由线面平行判定定理证明，再根据线面平行性质定理证明，由此判断D. 【详解】对于A，在正方体中，设直线为直线，平面为平面， 则，但直线与直线异面，A错误；    对于B，在正方体中，设直线为直线，设直线为直线， 平面为平面， 则，，但直线与直线相交，B错误；    对于C，在正方体中，设直线为直线，设直线为直线， 平面为平面， 则，，但，C错误；    对于D，因为，，， 所以，又，， 所以，又， 所以，    故选：D. 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）若平面平面，直线，点，过点的所有直线中（ ） A．一定不存在与a垂直的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线 【答案】D 【分析】设过点和直线确定平面为，.根据面面平行的性质定理可知有一条与a平行的直线，再根据异面直线垂直的定义即可判断AC；利用反证法即可判断BD. 【详解】显然，设过点和直线确定平面为，. 又，，所以. 由异面直线所成角的定义可知：过点且与直线垂直的直线均与直线垂直，故A错误； 假设平面内过还有一条直线与平行，即，则， 但有公共点，矛盾，因此过有且只有一条直线与a平行，故BC错误，D正确. 故选：D. 题型四：直线与平面平行的性质判断线段比例或点所在位置 【典例4】．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由线面平行的性质得，即有，结合已知得，即可得. 【详解】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A 【变式1】．（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过线线平行得到线面平行，再利用线面平行的性质得到线线平行，进而得到线段成比例，结合是上靠近的三等分点即可求得结果. 【详解】设平面与交于点，连接交于点，连接， 平行六面体中， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥， 又是上靠近的三等分点，∴ ∵平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥，∴ 所以. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】连接交于 ，连接，由线面平行的性质可得，再利用平行线分线段成比例定理列式求解． 【详解】    连接交于 ，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以. 故选：A 题型五：判断面面平行 【典例5】．（25-26高三上·湖南·期中）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】应用面面平行性质判断A，应用线面平行性质定理判断B，应用面面平行判断C，D. 【详解】若，则或异面，故A错误； 若，由线面平行性质定理可知，故B正确； 若，当时，可以相交，故C错误； 若，当时，可以相交，故D错误. 故选：B. 【变式1】．（2024高一下·全国·专题练习）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 【变式2】．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】C 【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 题型六：证明面面平行 【典例6】．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】 连接、，证明平面，再分别证明平面和平面，从而得到平面平面． 【详解】 连接、可知，，，且，平面， 平面，又平面， ． 同理，，平面， 平面． 同理平面 ∴平面平面． 【变式1】．（2021高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面平行，需根据判定定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明平面，平面； （2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥的三个侧面的面积. 【详解】（1）∵、分别为、的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 在中，，， 又，∴， ∵平面，平面，∴平面， 又∵，平面CMN，平面CMN， ∴平面平面PAB． （2）∵平面，平面，平面， 由（1）可知，∴、， ∵，，，， ∴，，， 由（1）可知， 在中，， ∴， 又， 在中，，∴边上的高， ∴， ∴三棱锥的侧面积. 【变式2】．（25-26高二上·安徽亳州·期中）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）分别由线线平行证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可得证； （2）结合图形，依次求得三棱锥的体积和三棱台的体积，即得被夹在平面AMN与平面DBEF之间的几何体的体积，作比计算即得. 【详解】（1）连接,因为M，N，E，F分别是棱，，，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 连接AC，，交MN，EF，BD于G，H，O， 连接AG，OH如图． 易得四边形为矩形，所以，且， 所以四边形是平行四边形，故 又平面，平面，则平面． 又，AG，平面， 所以平面平面． （2）设正方体的棱长为a，则体积为． 三棱锥的体积为 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为． 故平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 题型七：面面平行证明线线平行 【典例7】．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，证得，再根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：构造三角形的中位线，证得平面平面，根据平面，即可证明； （2）先通过三角形中位线证得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 【变式1】．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1) 连接,证明四边形是平行四边形,则易得,结论可得; (2) 连接，证明平面平面，则易得结论. (3)根据线面平行的判断判定得平面，然后由线面平行的性质即可得 【详解】（1）连接，，，， 四边形是平行四边形， 为的中点， 又是的中点，， 又平面平面， 平面． （2）连接， 分别是的中点，， 又平面平面， 平面. 又是的中点，是的中点， 平面平面， 平面． 又在平面内相交于点H，所以平面平面， 又平面， 平面． （3）因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以； 【变式2】．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）证明见详解；（ii） 【分析】（1）连接交于，由三角形中位线可证，进而由线面平行的判定定理可证； （2）（i）由面面平行的性质定理可证；（ii）猜测点H为靠近点P的三等点，在此基础上证明平面平面即可. 【详解】（1）连交于，因为底面为平行四边形， 所以为的中点，而为的中点，所以， 又平面平面； 所以平面； （2）（i）因为平面平面，平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得； （ii）当为的三等点且时，有平面平面，下面证明： 因为为上的点，且，所以在中，，所以， 由（1）知平面，因为平面，所以平面， 由（i）可知，因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，所以. 题型八：面面平行证明线面、面面平行 【典例8】．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立. 【详解】如图，取中点，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点. 求证：存在点N，使得. 【答案】证明见解析 【分析】首先证明平面平面，再结合面面平行的性质定理，就看看证明. 【详解】证明：设平面与交于点， 因为四边形是菱形，所以， 又平面，平面，所以平面. 又，平面，平面，所以平面. 又，平面ADM， 所以平面平面. 又平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以结论成立. 【变式2】．（24-25高一下·安徽安庆·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）在梯形中，，可得面，从而证明线面平行； （2）取中点，连接，，证明平面，从而证明面面平行，得到结论. 【详解】（1）在梯形中，，又面，面， 面，面，面面，， ，. （2）取中点，连接，， ，分别为，的中点， ，平面，平面， 平面， 取的中点，连接，则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面平面， 所以平面，，、平面，平面平面， 是上的动点，平面，平面， 当为中点时，平面. 题型九：空间线面平行的综合问题 【典例9】．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，    又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在侧棱上满足． (2)存在，． 【分析】（1）直线在平面内运动，将平面转化成平面内的限制条件，就可以限制点的位置． （2）构造平面平面，利用面面平行的判定定理可说明点的位置. 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点．    若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结．    由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 【变式2】．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为，证明见解析 【分析】（1）连接并延长，与的延长线交于点，利用相似比证明，然后利用线面平行的判定定理和面面平行的性质定理证明即可. （2）结合平行线比例相等，利用线面平行的判定定理证得平面，由（1）平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，连接并延长，与的延长线交于点， 则平面和平面的交线为. 因为四边形为正方形，所以， 故，所以. 又因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面平面，故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：如图，因为，即， 又，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 【双基达标】 一、单选题 1.（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论. 【详解】对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点， 故直线与直线平行或异面，①错； 对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错； 对于③，若平面平面，直线，则，③对； 对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错. 故选：A. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是所在平面外一点，平面平面，线段分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由面面平行得到，再由相似三角形得到面积比为相似比的平方，即可得到相似比，求解即可． 【详解】由题意可知：平面，得，. 又由等角定理得，故， 根据相似三角形得到面积比为相似比的平方可得： ，即. 故选：D. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知表示直线，表示平面，有以下命题： ①相交且都在平面外，，，，，则；②若，，且，则；③若，，，则.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由面面平行的判定定理与性质即可求解. 【详解】①中，，记与确定的平面为，由题意知：，，则.故①正确； ②③中，与既可平行，也可相交，故均错误，所以只有1个正确命题. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据线面平行的关系直接判断得出. 【详解】如图1，平面即平面，只有1条棱与其平行，所以A错误； 如图2，对于平面，有6条棱与其平行，它们分别为．所以B错误； 如图3，对于平面，有5条棱与其平行，它们分别为．所以C错误； 如图4，平面可由平面绕直线旋转得到，有2条棱与其平行，其余各棱均与其相交，所以D正确. 故选：D． 5．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【分析】根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可. 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 6．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作图，根据线面平行的判定定理可知平面，然后根据线面平行的性质定理可知，可得，判断即可. 【详解】设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图： 因为平面DAM，平面DAM， 所以平面DAM，又平面，平面平面，所以， 因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面， 又平面PDM，平面平面，所以， 所以，因此． 故选：C 7．（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，上靠近点C的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，在正四棱柱中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】 取的中点，上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，如图所示. 在正四棱柱中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知， 又， ∴四边形是平行四边形，∴. ∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在矩形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：C. 二、多选题 8．（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ） A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一平面 【答案】ABD 【分析】两个平面平行，两个平面内的直线可能平行也可能异面. 【详解】由面面平行的判定定理和性质知A，B，D正确； 对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面. 9．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【分析】在正方体中，易得，，结合线面平行的判定即可判断AC；由直线与平面的位置关系可得与平面相交，据此可判断BD． 【详解】在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，． ，， 又平面，平面， 平面，故选项A正确； ，与平面相交， 与平面相交，故选项B错误； ，平面，平面， 平面，故选项C正确； 与平面相交， 平面与平面相交，故选项D错误． 故选：AC． 10．（24-25高一下·青海海南·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则与平行或异面，所以A不正确； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若，根据平行于同一平面的两平面平行，可得，所以C正确； 对于D中，若，则与平行或相交，所以D错误. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】根据线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点，    又因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，A满足题意； 选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意； 选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，，    所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意； 选项D，取的中点为，连接，    因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面，D满足题意； 故选：AD 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是________． ①平面内有两条直线都与平面平行，那么； ②平面内有无数条直线平行于平面，那么； ③若直线与平面和平面都平行，那么； ④平面内所有的直线都与平面平行，那么． 【答案】④ 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图1所示，①、②都不能保证无公共点，故①、②错误； 如图2所示，③中当，时与可能相交，故③错误； 只有④说明，一定无公共点，故④正确． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 【答案】 平行 【详解】因为平面，平面，且，所以， 又，，所以. 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 四、解答题 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 【答案】当为的中点时，平面//平面．理由见解析 【详解】当为的中点时，平面平面．理由如下： 为的中点，为的中点，连接， 易证四边形是平行四边形，则． 平面，平面． 平面． 分别为的中点， ，同理可得平面，又， ∴平面平面． 反之，当不为的中点时，设为中点，则平面平面， 而平面与平面相交，即平面与平面相交，矛盾. 综上，为的中点时，平面平面. 17．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形． (1)求证：平面∥平面； (2)在直线上是否存在点P，使∥平面？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】（1）利用线面平行进而证明面面平行； （2）延长线段构造平行四边形，再通过线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）由四棱柱的性质知，∥， 平面，平面，∥平面． 同理∥平面， ，平面，且， ∴平面∥平面． （2）在直线上存在这样的点P，使∥平面． ∥∥且，∴四边形为平行四边形， ∥．在的延长线上取点P，使，连接， ∥且，∥且， ∴四边形是平行四边形，∥， ∥，平面，平面， ∥平面． 19．（25-26高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接，交于点，证出，即可根据线面平行的判定定理证出平面． 【详解】连接，交于点，连接， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面． 20．（23-24高一下·广东中山·月考）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据面面平行的判定定理，即可证明； （2）根据线面平行的性质，即可证明； （3）根据几何体特征，可求得正四棱锥的高为，再根据锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． （2）因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. （3） 因为四棱锥是正四棱锥， 所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心， 又，所以， 又， 所以四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $