专题7 异面直线夹角,线面角，二面角【12个核心题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

该高中数学讲义围绕“异面直线夹角、线面角、二面角”构建知识体系，通过知识框架图梳理定义、范围及求法，用方法步骤表呈现平移法、垂线法等关键技巧，清晰展现空间角知识的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，如“中位线求线线角”“等体积法求线面角”等基础题型与“线面角范围问题”压轴题结合，培养空间观念与推理能力。典型例题配巩固练习，助力学生掌握转化思想，教师可据此实施精准分层教学，提升复习效率。

专题7 异面直线夹角,线面角，二面角 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 异面直线的夹角 知识点分析 线线角主要是求异面直线所成角 1. 线线角的定义：范围： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) 2. 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3. 可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 【题型1】利用中位线求线线角 基础知识 核心知识 异面直线夹角定义：过空间任一点作两条异面直线的平行线两相交直线所成的锐角或直角即为异面直线的夹角范围为 核心思想：将异面直线平移为相交直线转化为平面角求解 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·江苏南京·期中）在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 补形平移法求线线角 基础知识 知识梳理 适用场景：几何体中存在中点、中位线可通过取中点构造平行线将异面直线夹角转化为三角形内角 原理：三角形中位线平行且等于底边的一半可直接平移异面直线构造含夹角的三角形 方法技巧 1取两条异面直线上相关线段的中点连接中点得到中位线 2中位线与对应底边平行因此中位线的夹角即为原异面直线的夹角 3构造出三角形后用余弦定理或勾股定理计算夹角的三角函数值 4若三角形为特殊三角形（如等边、等腰直角）可直接读出角度 典型例题 【例题1】（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，直线与所成的角为_____________，直线与所成的角为_____________． 【巩固练习2】（25-26高二上·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型3】 平移加构造中位线求异面直线夹角 基础知识 知识梳理 适用场景：几何体结构不完整或异面直线分散直接平移困难时 原理：将几何体补形成正方体、长方体或直棱柱等规则几何体利用平行棱平移异面直线使其相交 方法技巧 1补形：将原几何体补为规则几何体（如墙角三棱锥补成长方体） 2平移：利用规则几何体的平行棱找到异面直线的平行线使其相交 3构造三角形：连接交点与相关顶点形成含夹角的三角形 4计算：利用余弦定理计算夹角取锐角/直角即为异面直线夹角 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东汕尾·期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 模块二 线面角 知识点分析 1. 线面角的定义：一条直线与一个平面所成的角，是指这条直线与它在平面上的射影所成的锐角或直角。特别地，如果直线与平面垂直，那么它们之间的线面角就是直角90°；如果直线与平面平行或在平面内，那么可以认为它们之间的线面角是0°. 2. 垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足H； （2）连结交点B与垂足H，BH为斜线AB在面上的投影；投影BH与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BH与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，，作于H，∠ABH即为所求 3. 公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线AB在面外的一点A到面的距离h，利用三角形的正弦公式进行求解, 公式为： 【题型4】作垂线法求线面角（定义法） 基础知识 知识梳理 适用场景：几何体中易找到直线上一点到平面的垂线 原理：过直线上一点作平面的垂线垂足与直线和平面交点的连线即为射影直线与射影的夹角就是线面角 方法技巧 1找交点：确定直线与平面的交点 2作垂线：过直线上一点作平面的垂线垂足为 3连射影：连接则即为线面角 4计算：在中利用三角函数求解角度 典型例题 【例题1】（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 【巩固练习2】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【题型5】 等体积法求线面角（转化法） 基础知识 知识梳理 适用场景：直线上一点到平面的垂线难以直接作出但可通过体积法求点到平面的距离 原理：利用三棱锥体积相等求出直线上一点到平面的距离再结合直线长度求线面角 方法技巧 1取直线上一点求点到平面的距离（用等体积法） 2设直线与平面交于线段的长度为 3线面角满足 4反求即为所求线面角 典型例题 【例题1】（25-26高一下·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·福建厦门·期中）（本题不可用建系方法做，否则不得分）如图，多面体是由直三棱柱截去一部分后而成，是的中点，且，. (1)若为的中点，在上，且，证明：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【巩固练习2】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【题型6】 已知线面角求其它量 基础知识 知识梳理 适用场景：已知线面角的大小反求几何体中的边长、高、参数等 原理：线面角的三角函数值与点到平面的距离、线段长度直接相关可建立方程求解 方法技巧 1设线面角为利用（为点到平面距离为线段长度）建立关系 2注意线面角的范围确保求出的角度为锐角/直角 3验证解的合理性排除不符合几何关系的参数值 典型例题 【例题1】（2026·新疆·模拟预测）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，，，点为线段上一点，且平面. (1)若平面，求证：点是的中点； (2)若直线与平面所成角的大小为，求. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·北京·开学考试）在四棱锥中，分别为的中点，平面，.    (1)若平面，求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求的长. 【巩固练习2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【题型7】 线面角的范围问题（压轴题型） 基础知识 知识梳理 适用场景：含动点、参数的线面角问题求角度的取值范围 原理：线面角随动点位置变化而改变需找到角度的最大值和最小值确定范围 典型例题 【例题1】（25-26高一下·福建三明·期中）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 【巩固练习2】（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 模块三 二面角 知识点分析 1. 二面角与面面角的区别 二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角 二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围 面面角：两个平面的夹角，范围 2. 求二面角常用方法介绍 一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 已知AB⊥β，过垂直B作l的垂线OB， ∠AOB即为二面角，且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若平面α存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则平面α与平面β的夹角等于直线AC与AB的夹角 六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶） 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值 即 将从边之比面积之比，从一维到二维，多角度求出两三角形面积，最后求解 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 【现学现练】（多种解法）如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是所在棱上的中点. （1）求平面APQ与平面ABCD夹角的余弦值;（2）补全截面APQ 【答案】 方法1：投影面积法 方法2：转换成线线夹角 简证：在平面AA1CC1A中，作CH⊥BM，易知CH⊥平面APQ，而CC1⊥平面ABCD，故，由相似可以算出CH的长 方法3：定义法—取中点 简证：平面APQ与平面ABCD的夹角转化为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角，此时PQ为交线 此时2个图形的对称轴垂直交线，故取交线的中点，∠A1MA即所求 方法4：找出交线，再作2次交线（平行线）垂线 简证：M为PQ中点，易知l为两平面交线，过AH⊥l，AC⊥l，故面面角的平面角为∠MAC 方法5：转换为线面角——只做1次交线的垂线 简证：易知平面APQ与平面ABCD的夹角即为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角 而A1M⊥交线PQ，此时平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角等价于A1M与平面APQ的夹角 作A1G⊥平面APQ，连接MG，通过等体积法求出A1G，即可 （2）如图 【题型8】 定义法求二面角 基础知识 知识梳理 适用场景：二面角的棱明显且易在棱上找到合适的点作平面角 原理：直接根据定义在棱上取一点分别在两个面内作棱的垂线两垂线的夹角即为二面角的平面角 方法技巧 1取棱上一点在两个半平面内分别作棱的垂线、 2即为二面角的平面角 3构造三角形利用余弦定理或勾股定理计算角度 4若为特殊三角形（如直角、等边）可直接读出角度 典型例题 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 【巩固练习2】（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【题型9】三垂线法求二面角（核心题型） 基础知识 知识梳理 适用场景：已知一个面内一点到另一个面的垂线可利用三垂线定理作平面角 原理：过一个面内一点作另一个面的垂线再作棱的垂线连接垂足利用三垂线定理得到二面角的平面角 方法技巧 1过面内一点作面的垂线垂足为 2过作棱的垂线垂足为连接 3由三垂线定理棱故即为二面角的平面角 4在中计算的三角函数值求解角度 典型例题 【例题1】（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·云南昭通·二模）如图，在四棱锥中， (1)求证：平面 平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【巩固练习2】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【题型10】 投影面积法求二面角 基础知识 知识梳理 适用场景：一个面内的图形在另一个面内的投影易求常用于无棱二面角 原理：设面内的图形面积为它在面内的投影面积为则二面角满足 方法技巧 1确定二面角的两个面在其中一个面内取一个易求面积的多边形 2求该多边形在另一个面内的投影多边形计算其面积 3代入公式求出二面角的余弦值 4结合图形判断二面角是锐角还是钝角确定角度 典型例题 【例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）在正方体中，，，求二面角的余弦值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二·全国·课堂例题）已知正方体的棱长为1，求二面角的余弦值． 【巩固练习2】（24-25高三·全国·三轮复习）正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值. 【题型11】 由二面角求其他量 基础知识 知识梳理 适用场景：已知二面角的大小反求几何体中的边长、高、参数等 原理：二面角的三角函数值与两个面内的垂线、投影面积等相关可建立方程求解 方法技巧 1利用定义法：设二面角的平面角为在平面角的直角三角形中列方程求边长 2利用投影面积法：由结合已知面积求未知边长 3利用向量法：设两个平面的法向量由法向量夹角公式列方程求解参数 4验证几何合理性确保解符合二面角的实际范围 典型例题 【例题1】（2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·四川成都·三模）如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为． ①求的长； ②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面． 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，，点E是SD上的点，且．若二面角的大小为，求的值． 【题型12】 求二面角的取值范围（压轴题型） 典型例题 【例题1】（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 【巩固练习2】（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 课后过关检测 1．（25-26高二上·上海·期中）如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.    2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．    (1)是否可能是的垂心，请说明理由 (2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小． (3)求直线与平面所成角的余弦值． 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在棱长为2的正四面体中，是的重心，是的中点.延长到，使得. (1)证明：平面. (2)证明：. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 8．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 9．（24-25高一下·山东淄博·期末）如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，，， (1)证明：平面； (2)证明：平面，并求与平面所成的角的正弦值； (3)若，求三棱锥的体积. 10．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，已知三棱台的体积为，，，点为的中点，.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正切值. 11．（25-26高二上·云南文山·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面，M是PD的中点． (1)求证：平面PCD； (2)求侧面PBC与底面夹角的正切值． 12．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）如图，在正三棱柱中，为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值. 13．（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值. 14．（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 15．（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 16．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，． (1)若，平面平面，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的长度． $专题7 异面直线夹角,线面角，二面角 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 异面直线的夹角 知识点分析 线线角主要是求异面直线所成角 1. 线线角的定义：范围： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) 2. 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3. 可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 【题型1】利用中位线求线线角 基础知识 核心知识 异面直线夹角定义：过空间任一点作两条异面直线的平行线两相交直线所成的锐角或直角即为异面直线的夹角范围为 核心思想：将异面直线平移为相交直线转化为平面角求解 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·江苏南京·期中）在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 【答案】 【详解】由已知得此三棱锥为正四面体，不妨设棱长为2，记中点为F， 因为点E是棱的中点，根据三角形中位线性质可知， 所以与夹角的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值. 在中，，，由余弦定理． 所以异面直线和所成角的余弦值为.    巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【巩固练习2】（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 【题型2】 补形平移法求线线角 基础知识 知识梳理 适用场景：几何体中存在中点、中位线可通过取中点构造平行线将异面直线夹角转化为三角形内角 原理：三角形中位线平行且等于底边的一半可直接平移异面直线构造含夹角的三角形 方法技巧 1取两条异面直线上相关线段的中点连接中点得到中位线 2中位线与对应底边平行因此中位线的夹角即为原异面直线的夹角 3构造出三角形后用余弦定理或勾股定理计算夹角的三角函数值 4若三角形为特殊三角形（如等边、等腰直角）可直接读出角度 典型例题 【例题1】（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，直线与所成的角为_____________，直线与所成的角为_____________． 【答案】 【分析】将异面直线的夹角合理转化，再利用正方体性质与等边三角形性质求解角度即可. 【详解】如图，连接，，作出符合题意的图形， 因为，所以就是异面直线与所成的角． 因为，所以直线与所成的角为， 由正方体性质得四边形是平行四边形，则， 可得与所成的角即直线与所成的角， 又由勾股定理得， 则为正三角形，可得直线与所成的角为， 即直线与所成的角为． 故答案为：； 【巩固练习2】（25-26高二上·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 【题型3】 平移加构造中位线求异面直线夹角 基础知识 知识梳理 适用场景：几何体结构不完整或异面直线分散直接平移困难时 原理：将几何体补形成正方体、长方体或直棱柱等规则几何体利用平行棱平移异面直线使其相交 方法技巧 1补形：将原几何体补为规则几何体（如墙角三棱锥补成长方体） 2平移：利用规则几何体的平行棱找到异面直线的平行线使其相交 3构造三角形：连接交点与相关顶点形成含夹角的三角形 4计算：利用余弦定理计算夹角取锐角/直角即为异面直线夹角 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东汕尾·期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中位线将与平移到一个平面内，然后求线段长，求其夹角或其补角. 【详解】设正三棱柱中，，则， 取中点，中点，中点，连接、、， 如图， ，且， ，且， (或其补角)就是异面直线与所成的角. 在中，，， ， 故. 同理，在 中，，， ， 故. 过作于，连接， ，故是中点， 所以，又， 所以 在中： ，，， 所以是等腰三角形，且. 所以与所成的角为其补角. 故选：B. 【巩固练习2】（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A 模块二 线面角 知识点分析 1. 线面角的定义：一条直线与一个平面所成的角，是指这条直线与它在平面上的射影所成的锐角或直角。特别地，如果直线与平面垂直，那么它们之间的线面角就是直角90°；如果直线与平面平行或在平面内，那么可以认为它们之间的线面角是0°. 2. 垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足H； （2）连结交点B与垂足H，BH为斜线AB在面上的投影；投影BH与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BH与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，，作于H，∠ABH即为所求 3. 公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线AB在面外的一点A到面的距离h，利用三角形的正弦公式进行求解, 公式为： 【题型4】作垂线法求线面角（定义法） 基础知识 知识梳理 适用场景：几何体中易找到直线上一点到平面的垂线 原理：过直线上一点作平面的垂线垂足与直线和平面交点的连线即为射影直线与射影的夹角就是线面角 方法技巧 1找交点：确定直线与平面的交点 2作垂线：过直线上一点作平面的垂线垂足为 3连射影：连接则即为线面角 4计算：在中利用三角函数求解角度 典型例题 【例题1】（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证； （2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角. 【详解】（1） 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. （2） 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 【巩固练习2】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 【题型5】 等体积法求线面角（转化法） 基础知识 知识梳理 适用场景：直线上一点到平面的垂线难以直接作出但可通过体积法求点到平面的距离 原理：利用三棱锥体积相等求出直线上一点到平面的距离再结合直线长度求线面角 方法技巧 1取直线上一点求点到平面的距离（用等体积法） 2设直线与平面交于线段的长度为 3线面角满足 4反求即为所求线面角 典型例题 【例题1】（25-26高一下·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【详解】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·福建厦门·期中）（本题不可用建系方法做，否则不得分）如图，多面体是由直三棱柱截去一部分后而成，是的中点，且，. (1)若为的中点，在上，且，证明：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在直三棱柱中，取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）方法一：利用等体积法求出点到平面的距离，并求出的长，设直线与平面所成角为，则，即可得解； 方法二：证明出平面，可知为直线与平面所成角，求出的长，即可求出的正弦值. 【详解】（1）在直三棱柱中，取的中点，连接， 因为为的中点，所以是梯形的中位线，所以且， 因为是的中点，所以，则， 因为且，，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故直线平面. （2）方法一（等体积法）连接， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 因为，所以，且为等腰直角三角形， 所以，易知，所以，且， 由余弦定理可得， 所以，即，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面. 因为且，所以四边形为平行四边形，则， 所以平面，则， 因为平面，所以， 故， 设点到面的距离为，则， 即，解得， 设直线与平面所成角为， 因为平面，平面，所以， 因为，故， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为. 方法二（垂线法） 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面. 因为且，所以四边形为平行四边形，则， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 因为，所以，且为等腰直角三角形， 所以，易知，所以，且， 由余弦定理可得， 所以，即， 因为，、平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为平面，平面，所以， 因为，故， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为. 【巩固练习2】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求证为线段的中点，利用线面平行的判定定理即可； （2）设点到平面的距离为，利用等体积计算，最后求即可. 【详解】（1）连接， 因，，则，则， 又，，则， 则，即为线段的中点， 因为中点，则为的中位线，则， 因平面，平面，则平面； （2）设点到平面的距离为， 因，，则， 由（1）可知，则，即， 因，则，则， 因底面，平面，则， 因，则， 因， 则，即， 又底面，，则底面， 又底面，则，则， 则与平面所成角的正弦值为.    【题型6】 已知线面角求其它量 基础知识 知识梳理 适用场景：已知线面角的大小反求几何体中的边长、高、参数等 原理：线面角的三角函数值与点到平面的距离、线段长度直接相关可建立方程求解 方法技巧 1设线面角为利用（为点到平面距离为线段长度）建立关系 2注意线面角的范围确保求出的角度为锐角/直角 3验证解的合理性排除不符合几何关系的参数值 典型例题 【例题1】（2026·新疆·模拟预测）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，，，点为线段上一点，且平面. (1)若平面，求证：点是的中点； (2)若直线与平面所成角的大小为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，结合中位线性质即可得证； （2）根据线面夹角定义，结合等体积法，即可求得结果. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 在矩形中，点为线段的中点， 点是的中点. （2）平面， 为直线与平面所成的角， ， 又平面，， 故为等腰直角三角形， . 在中，，，， ， 且， . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·北京·开学考试）在四棱锥中，分别为的中点，平面，.    (1)若平面，求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件得到，利用线面平行的性质得到，即可证明结果； （2）过作面于，连接，则为直线与平面所成的角，从而有，得到，设，根据条件得到，再利用等体积法，即可求解. 【详解】（1）因为平面，又面，所以， 又，，面， 所以面，又面， 所以， 又平面，面，面面，所以， 故，又是的中点， 所以. （2）过作面于，连接， 则为直线与平面所成的角，所以， 又，所以， 设，由（1）知，所以， 又平面，面，所以，又为中点， 所以，又，所以， 得到，又，所以，得到， 又，由， 得到，整理得到， 所以.    【巩固练习2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面平面即可证明平面. （2）设，先利用已知条件结合等体积法求出点F到平面的距离，则可由与平面所成角的正弦值求出，进而得解. 【详解】（1）如图，连接、、、、， 由直棱柱性质且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； 又由直棱柱性质有且，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. （2）因为， 所以，，， 设，则，所以， 由（1）可知点F到平面的距离是一个定值，将其设为， 由直棱柱性质平面，平面，故， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， ， 又，所以. 所以与平面所成角的正弦值为即， 所以即，故. 【题型7】 线面角的范围问题（压轴题型） 基础知识 知识梳理 适用场景：含动点、参数的线面角问题求角度的取值范围 原理：线面角随动点位置变化而改变需找到角度的最大值和最小值确定范围 典型例题 【例题1】（25-26高一下·福建三明·期中）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：取中点F，证明四边形ADEF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；证法二：取BC中点F，先证明，，然后利用线面平行的判定定理证明 平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证； （2）根据线面角的定义，先确定即为角，再通过等体积法求出，即可利用重要不等式求出的最小值，再根据即可求出的最大值. 【详解】（1）证法一：如下图所示，取中点F，连接EF，FA， E是的中点， EF为的中位线， 且， 又 且， 且， 四边形ADEF为平行四边形， . 又 平面，平面， 平面；    证法二：如下图所示，取BC中点F，连接EF，DF， D是的中点，DF为中位线， ， 又 平面，平面， 平面. 在三棱柱中， 且， 四边形为平行四边形， ， 又 平面，平面， 平面. ，平面DEF，平面平面， 又 平面DEF， 平面；    （2）如下图所示，连接， 是直三棱柱， 平面， 平面， . ，,平面， 平面， 就是在平面内的射影， 即为与平面所成的角. ， ， （当且仅当时等号成立）. 在中， . 故的最大值为.    【巩固练习2】（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 【答案】(1) (2)点E在线段AD上靠近点D的四等分点处，最大角的正弦值， 【分析】（1）由求距离； （2）设直线与平面所成的角为，则，当时最大. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，， ，， ， 设点D到平面PBC的距离为， 由得，解得． 故点D到平面PBC的距离为． （2）设直线与平面所成的角为， ∵，平面，不在平面内，∴， ∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离． 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使PE最小，此时． 由题意可知：，，平面，且， ，， 在中，， ， 由面积相等， 即，解得：， ，点E在线段AD上靠近点D的四等分点处． 即点E在线段AD上靠近点D的四等分点处时，直线与平面所成的角最大， 最大角的正弦值是，此时. 模块三 二面角 知识点分析 1. 二面角与面面角的区别 二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角 二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围 面面角：两个平面的夹角，范围 2. 求二面角常用方法介绍 一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 已知AB⊥β，过垂直B作l的垂线OB， ∠AOB即为二面角，且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若平面α存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则平面α与平面β的夹角等于直线AC与AB的夹角 六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶） 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值 即 将从边之比面积之比，从一维到二维，多角度求出两三角形面积，最后求解 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 【现学现练】（多种解法）如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是所在棱上的中点. （1）求平面APQ与平面ABCD夹角的余弦值;（2）补全截面APQ 【答案】 方法1：投影面积法 方法2：转换成线线夹角 简证：在平面AA1CC1A中，作CH⊥BM，易知CH⊥平面APQ，而CC1⊥平面ABCD，故，由相似可以算出CH的长 方法3：定义法—取中点 简证：平面APQ与平面ABCD的夹角转化为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角，此时PQ为交线 此时2个图形的对称轴垂直交线，故取交线的中点，∠A1MA即所求 方法4：找出交线，再作2次交线（平行线）垂线 简证：M为PQ中点，易知l为两平面交线，过AH⊥l，AC⊥l，故面面角的平面角为∠MAC 方法5：转换为线面角——只做1次交线的垂线 简证：易知平面APQ与平面ABCD的夹角即为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角 而A1M⊥交线PQ，此时平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角等价于A1M与平面APQ的夹角 作A1G⊥平面APQ，连接MG，通过等体积法求出A1G，即可 （2）如图 【题型8】 定义法求二面角 基础知识 知识梳理 适用场景：二面角的棱明显且易在棱上找到合适的点作平面角 原理：直接根据定义在棱上取一点分别在两个面内作棱的垂线两垂线的夹角即为二面角的平面角 方法技巧 1取棱上一点在两个半平面内分别作棱的垂线、 2即为二面角的平面角 3构造三角形利用余弦定理或勾股定理计算角度 4若为特殊三角形（如直角、等边）可直接读出角度 典型例题 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小． 【答案】60° 【分析】由二面角的定义即可求解. 【详解】如图，，平移到，使得， 则四边形为矩形， 所以为二面角的平面角， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，所以，    所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）由（1）知 ，又，所以 就是二面角 的平面角，由几何关系求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 . 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角. 设 ，因为 ，所以 . 在 中，根据勾股定理 . 根据正弦函数的定义，. 所以二面角 的平面角的正弦值为. 【巩固练习2】（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. （2）根据平面，得到即为二面角的平面角，再在中，求的正弦. 【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以 . 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 【题型9】三垂线法求二面角（核心题型） 基础知识 知识梳理 适用场景：已知一个面内一点到另一个面的垂线可利用三垂线定理作平面角 原理：过一个面内一点作另一个面的垂线再作棱的垂线连接垂足利用三垂线定理得到二面角的平面角 方法技巧 1过面内一点作面的垂线垂足为 2过作棱的垂线垂足为连接 3由三垂线定理棱故即为二面角的平面角 4在中计算的三角函数值求解角度 典型例题 【例题1】（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值. 【详解】（1）由平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）由（1）知平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由平面，则， 由且，则， 所以，即为等腰三角形，又为等边三角形， 取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，， 所以，故， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·云南昭通·二模）如图，在四棱锥中， (1)求证：平面 平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点为，根据等腰三角形性质可得；根据勾股定理，证明；进而通过证明面，再证面面； （2）过作垂足为，过作垂足为，连接，先证即为所求平面与平面的夹角，再结合几何关系求得长度，即可求得结果. 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故面，又面，故面面. （2）因为，故为上靠近的三等分点， 过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面， 则，又，面，故面，又面，故； 又面面，，面面， 故即为平面与平面的夹角； 在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 【巩固练习2】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 【题型10】 投影面积法求二面角 基础知识 知识梳理 适用场景：一个面内的图形在另一个面内的投影易求常用于无棱二面角 原理：设面内的图形面积为它在面内的投影面积为则二面角满足 方法技巧 1确定二面角的两个面在其中一个面内取一个易求面积的多边形 2求该多边形在另一个面内的投影多边形计算其面积 3代入公式求出二面角的余弦值 4结合图形判断二面角是锐角还是钝角确定角度 典型例题 【例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）在正方体中，，，求二面角的余弦值. 【答案】 【分析】设二面角为，根据求二面角的余弦. 【详解】由题意可知平面BCE，故在平面BCE内的投影面积是. 在中，，， 所以 . 又. 设二面角为，由射影面积法可知二面角的余弦值. 所以二面角的余弦为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二·全国·课堂例题）已知正方体的棱长为1，求二面角的余弦值． 【答案】 【详解】为在平面内的射影，利用面积射影法可求出结果. 【分析】设二面角的平面角为， 因为平面，所以为在平面内的射影， 因为，所以， 又， 所以， 所以二面角的余弦值为. 【巩固练习2】（24-25高三·全国·三轮复习）正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】 【分析】利用射影面与原平面的面积比求二面角的余弦值即可. 【详解】设正方体的边长为2，则； 在中，，，， 利用余弦定理， 则； 则. 【题型11】 由二面角求其他量 基础知识 知识梳理 适用场景：已知二面角的大小反求几何体中的边长、高、参数等 原理：二面角的三角函数值与两个面内的垂线、投影面积等相关可建立方程求解 方法技巧 1利用定义法：设二面角的平面角为在平面角的直角三角形中列方程求边长 2利用投影面积法：由结合已知面积求未知边长 3利用向量法：设两个平面的法向量由法向量夹角公式列方程求解参数 4验证几何合理性确保解符合二面角的实际范围 典型例题 【例题1】（2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出线面垂直； （2）作出辅助线，得到二面角的平面角，根据正切值得到各边长，求出三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. （2）过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·四川成都·三模）如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为． ①求的长； ②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直，得；再由翻折的不变性，得；结合，根据线面垂直判定定理证得结论； （2）① 由（1）的垂直关系，确定为二面角的平面角；在菱形中求出，翻折后；在中，用余弦定理直接计算； ②先由面面垂直性质确定在底面的射影在上，再通过相似三角形推出为的中点；接着利用中位线分别证明、，从而证得平面平面，最后由面面平行的性质得平面． 【详解】（1） 连接交于点，连接， 因为是菱形，所以，所以，， 因为沿翻折至，所以，且， 又平面，， 所以平面； （2）①由（1）知，，平面，平面， 所以是二面角的平面角，故， 菱形中，，，， 所以在中，， 故，即； ②由（1）知平面，因为平面，所以平面平面， 因为在平面上的射影为，平面平面，所以． 过点作平面的垂线，垂足为，连接并延长交于点，连接， 由①知，，，故，从而，， 因为与相似，所以，故， 所以为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，，点E是SD上的点，且．若二面角的大小为，求的值． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合线面垂直的性质，利用射影面积公式求二面角的方法列式求解. 【详解】 如图，设，连接EO， 由平面，平面，得， 由四边形ABCD是正方形，得，而，平面， 则平面，又点E是上的点，于是在平面内的射影是， 在平面内的射影是，设的面积分别为S和， 设二面角的大小为，则，由， 得，， 则，， 因此，， 则，解得. 【题型12】 求二面角的取值范围（压轴题型） 典型例题 【例题1】（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理可证； （2）取中点，连接，，证明为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解可得； （3）先作出平面与平面的交线，然后作出二面角的平面角，令，，用表示出，然后可得. 【详解】（1）在梯形中， ，，， ，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， ，， ，， ．    （3）当与，都不重合时，令，， 延长交的延长线于，连接， 在平面与平面的交线上， 在平面与平面的交线上， 平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，， 又，平面，， 平面，平面，． 又，平面，， 平面，，． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，整理得， 所以 因为为直角三角形，为斜边上的高，所以， 所以， ，， ， ．    巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形边长性质以及三角形相似可得，再由面面垂直性质证明可证明平面，结合线面角定义即可求得结果； （2）根据线面垂直判定定理可证明平面，结合性质定理可得平面，作出线面角的平面角并得出正切值的表达式，再结合三角函数值域求得，可得结论. （3）根据二面角定义利用线面垂直性质作出二面角的平面角，结合三角函数最值求出正切值的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）连接交于点，如下图所示：    则， 因为，所以，即， 又，所以，可得， 同理易证，所以， 翻折后当平面平面时，平面平面，且， 又平面，所以平面； 可知即为直线与平面所成的角， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）过点作，垂足为，如下图所示：    因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 即即为直线与平面所成的角， 在翻折过程中，设，由（1）可知，， 在中，， 所以， 设，则， 所以，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，又易知，所以， 即直线与平面所成角的最大值为； （3）过作于点，连接，如下图所示：    由（2）知平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以，可得， 结合（2）可得， 在中，, 令，则， 即，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，结合，可知， 因此二面角的最大值为. 【巩固练习2】（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质推理得证. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【详解】（1）由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 又，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以. （2）在中，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过作于， 由（1）知，平面， 在中，， 则，， 所以点到平面的距离为.    （3）在平面内过作于M，作于N，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，则平面， 又平面，则， 又平面，则平面， 又平面，因此， 则即为二面角的平面角， 设，，由（1）得， 则， 在中，由，得， 在中，由，得， 在中，， 因此， 由，得，则， 所以二面角的正切值的取值范围为. 课后过关检测 1．（25-26高二上·上海·期中）如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】取中点，连接，根据已知及异面直线所成角的定义，应用余弦定理求角的大小. 【详解】如图，取中点，连接，又分别是的中点， 所以，则异面直线与所成角为或其补角，    由，则， 又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）作出异面直线与所成角，判断是直角三角形，即可求得答案. 【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理找线线平行，再结合线面平行的判定定理证明即可． （2）先确定线面角的平面角，再通过解直角三角形，利用三角函数定义求解即可． 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为正方形，则点为的中点， 由已知点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）由已知平面，四边形为正方形，且， 又由（1）可知，所以平面，点为垂足， 所以为直角三角形，即为直线与平面所成角的平面角． 因为，，， 所以， 所以，则． 综上，直线与平面所成角的大小为． 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．    (1)是否可能是的垂心，请说明理由 (2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先假设是垂心，得出，结合条件推出，这与已知矛盾，从而可得不是的垂心； （2）由平面，可得为所求的与平面所成角大小，利用解三角形知识计算即得答案. 【详解】（1）如图：假设是的垂心，则：， 又因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，平面， 所以，又因为底面， 所以，又平面， 所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾， 所以不是的垂心. （2）因为平面， 所以为所求的与平面所成角大小， 取中点，连结， 不妨设，则：， 因为平面，所以：， 又因为底面，所以， 所以在三角形中，有， 所以，所以，又， 所以， 所以与平面所成角大小为.    5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小． (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）通过中位线定理证明线线平行，进而证明线面平行； （2）利用平行关系将异面直线所成角转化为共面直线所成角，再通过解三角形求解； （3）利用线面垂直，从而确定线面角，再通过几何法求解. 【详解】（1）证明：连接交于点， 分别为，的中点， ， 平面，且平面， 平面； （2）， 与所成角大小等于与， 为的中点， ，即与所成角的大小为； （3）连接，过作于点， 平面，且平面， ，又且,且两直线在平面内， 平面， 平面， ，又，且，,且两直线在平面内， 平面， 直线与平面所成角大小等于， 正方体的边长为， . 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）点在平面上的射影恰好落在上，推导出，从而平面，进而，由此能证明平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为，结合边长即可计算求解． 【详解】（1）点在平面上的射影恰好落在上， 则平面，平面，所以． 因为四边形是矩形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为， 在矩形中，，， 因为平面，平面，所以 在中，因为，， ，所以， 所以直线与平面所成的角． 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在棱长为2的正四面体中，是的重心，是的中点.延长到，使得. (1)证明：平面. (2)证明：. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证. （2）利用全等三角形性质推理得证. （3）求出PO长，并利用（2）的结论，结合线面角的定义求解. 【详解】（1）连接并延长交于点，连接，， 由是的重心，得是的中点，而是的中点，则， 由平面，平面，得平面， 又是的中点，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，则平面平面， 又平面，所以平面. （2）在正四面体中，，， 则，而， 因此，所以. （3）连接，，由是正三角形的重心，得平面， 则直线与平面所成的角为， 由正四面体的每条棱长为2，得， 则，又，， 于是，由（2）知， 在中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）首先证明，再利用线面平行的判定即可； （2）利用勾股定理的逆定理得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）合理作出辅助线，求出点到平面的距离为，再求出两极限位置的最值即可. 【详解】（1）分别为的中点，． 平面平面平面． （2）如图，连接．易得. ， . 平面平面， 平面. （3）将直三棱柱补成直四棱柱， ，设的中点分别为，，连接， 设与的交点为． ， 四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面． ， 四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面， 由，得，即点到平面的距离为， 当点在的三边上运动时， ， 易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．如图，过作，垂足为。 易得， 则， . 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为． 9．（24-25高一下·山东淄博·期末）如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，，， (1)证明：平面； (2)证明：平面，并求与平面所成的角的正弦值； (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）根据重心的性质可证，再利用线面平行的判定即可证明； （2）根据边长，利用勾股定理可证，，根据线面垂直的判定即可证平面，由线面角的定义可知就是与平面所成的角，接着求正弦值即可； （3）过作交延长线于，先证平面，再证平面，即为三棱锥的高，根据锥体体积公式计算即可. 【详解】（1）证明：设相交于点，相交于点， ，，，的中点分别为，，，， 所以分别为的重心， 所以，，同理可得， 又平面，平面，所以平面. （2）证明：由（1）知分别为的重心， 在中，，，所以， ，， ，，即， 在中，， ，即，又，所以， 又平面， 所以平面， 即平面，所以就是与平面所成的角， ， 即与平面所成的角的正弦值. （3）过作交延长线于， 是中点，，， 又是中点，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，即为三棱锥的高， ，， . 10．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，已知三棱台的体积为，，，点为的中点，.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，利用条件证明，由线线平行即可证明线面平行； （2）设三棱台的高为，利用三棱台的体积求得，由从而推得平面，进而得到即为与平面所成的角，利用余弦定理求出，借助于即可求得答案. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，因， 在中，则M，N分别为，的中点，故. 由棱台的性质知，又，所以， 故四边形为平行四边形，则，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）设三棱台的高为. 由题意，， 则三棱台的体积， 解得，故平面. 连接，则即为与平面所成的角. 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以. 在中，， 所以与平面所成角的正切值为.    11．（25-26高二上·云南文山·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面，M是PD的中点． (1)求证：平面PCD； (2)求侧面PBC与底面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，利用面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）取的中点分别为，利用二面角的定义可证明是侧面与底面的夹角的平面角，再由边长关系计算即可得出结果. 【详解】（1）在正方形中，易知， 又侧面底面，侧面底面，平面ABCD， 所以平面， 又平面，所以， 又是正三角形，是的中点，可得， 又，且平面PCD， 所以平面PCD． （2）取的中点分别为，连接，如下图所示： 则， 又是正三角形，， 显然，且平面，所以平面， 在正方形中，，故平面， 即是侧面与底面的夹角的平面角， 又因为平面，，平面， 又平面，可得， 设正方形ABCD的边长为，则， 则， 故侧面与底面夹角的正切值为. 12．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）如图，在正三棱柱中，为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直判定面面垂直. （2）设二面角，利用可得二面角的余弦，再根据同角三角函数的基本关系求. 【详解】（1）因为为等边三角形，为中点，所以. 又三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）过作，垂足为，连接.如图： 因为，所以，所以， . 所以，， 设二面角 ，则， 所以， 所以. 13．（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质先推知平面，从而，结合题干可得证明； （2）根据二面角的定义用几何法作出来，然后求解. 【详解】（1）由题知，平面平面， 又平面平面，平面，又， 根据面面垂直的性质定理，平面， 又平面，则， 又，平面，， 根据线面垂直的判定定理，平面 （2） 分别取中点，连接， 由中位线性质可知，，又，则； 由于平面，平面，则， 又，且点是边的中点， 则分别为直角三角形斜边上的中线， 则， 又，则， 则是平面与平面夹角. 又， 可求得，， 由中位线可知，则，则， 故二面角的正弦值为 14．（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，通过平行的传递性得到，由题中条件得到四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，由平面和平面，得到在平面上的射影为，利用余弦定理求出，利用同角关系式求，从而得到和，则，代入数值求解，从而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，， 由可得，，所以. 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 15．（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理可证，再结合线面垂直的判定定理可证平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可； （3）根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接.    由（2）知，，又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 16．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，． (1)若，平面平面，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由平面得，，进而根据边角关系证明，进而证明平面，平面，再根据线面垂直性质定理得，即可证明平面，最后根据线面平行性质定理即可证明结论； （2）过点作于，再过点作于，连接，确定即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，进而解方程即可得. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 因为，，，所以， 因为， 所以在中，由余弦定理得，即， 所以，即， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）解：如图所示，过点作于，再过点作于，连接， 因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面 所以平面，平面， ， 又，，平面， 平面， 又平面， ， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 由二面角的余弦值为，即， 所以，． 因为，设，则， 由等面积法可得，， 又， 而为等腰直角三角形，所以， 所以，解得， 所以 $