江苏省无锡市江阴市六校2025-2026学年度第二学期期中联考试卷高二数学

nullnull 2025-2026学年度第二学期期中联考试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． A． B． C． D． 2．已知函数，则 A． B． C． D． 3．学生要从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为 A．种 B．种 C．种 D．种 4．函数的极小值为 A． B． C． D． 5．已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为 A． B． C． D． 6．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为 A． B． C． D． 7．小明等三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“三人去的景点不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则概率的值为 A． B． C． D． 8．设，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若随机变量X服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则 A． B． C． D． 10．若，，则 A． B． C． D． 11．已知函数，则 A．当时，的图象关于点成中心对称 B．当时，零点个数是3 C．当时， D．若函数在有最大值，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数为 ▲ ． 13．定义域为的二次函数满足：①为奇函数；②对任意的，，若，都有．写出一个满足条件的函数 ▲ ． 14．甲和乙两个箱子中各装有大小相同的10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，那么从甲箱子中随机摸出个球；如果点数为1，2，3，4，那么从乙箱子中随机摸出个球.若，摸到红球的概率为 ▲ ；若，至少摸到一个红球的概率为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） A、B等6人排成一排，用数字作答下列问题． （1）A、B两人不排在一起，有几种排法； （2）A、B两人必须排在一起，有几种排法； （3）A不在排头，B不在排尾，有几种排法． ▲ ▲ ▲ 16．（15分） 在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128． （1）求出展开式中所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项． ▲ ▲ ▲ 17．（15分） 已知函数的极小值点为． （1）求的值； （2）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； （3）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． ▲ ▲ ▲ 18．（17分） 一个猜谜语活动中有A和B两道谜语，小明猜对谜语A的概率为，猜对获得奖金10元，猜对谜语B的概率为，猜对获得奖金20元，猜不出不给奖金，小明是否猜对两道谜语相互独立. （1）设事件“两道谜语中小明恰好猜对一道”，求事件M发生的概率； （2）如果按照如下规则猜迷：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道． （i）若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢； （ii）在（i）顺序下，小明可以花元，在答两道题之前均会获得提示机会，提示后小明猜对两道谜语的概率均会提高个百分点()，问、满足什么关系，小明才值得购买提示（购买后收益期望大于购买前）． ▲ ▲ ▲ 19．（17分） 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明:． ▲ ▲ ▲ 数学试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴市2026年春学期六校高二期中考试 数学参考答案 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 10．AC 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． （仅有二次项且二次项系数为正即可） 14． ； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）将A、B插入到其余4人所形成的5个空中，； 4分 （2）将A、B两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排， 因此，有； 8分 （3）分以下两种情况讨论： ①若A在排尾，则剩下的5人全排列，故有种排法； 10分 ②若A不在排尾，则A有4个位置可选，B有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有种排法 12分 综上所述，共有种不同的排法种数． 13分 16．解：（1）由题意知：，即 2分 所以 4分 当时所有的有理项为， 即， 5分 ， 6分 ， 7分 8分 （2）设展开式中第项的系数最大， 则 10分 所以 12分 所以，， 13分 故系数最大项为 ． 15分 17．解：（1）由题意得， 1分 ∵极小值点为，∴，解得 2分 检验，当，在上单调递减，在上单调递增，符合题意． 4分 （2）由题意当， ， 所以切点为，切线斜率为， 切线方程为，即． 6分 与二次曲线联立得，， 只有一个公共点，所以． 9分 （用导数求二次函数切线方程同样3分） （3）由题意得在上有变号零点 11分 即在上有变号零点 ∵，∴在上有零点 13分 所以 15分 18．解：（1）根据题意，得 3分 （2）（i）设小明先猜迷语A得到的奖金为X元，则X的可能取值为0，10，30， 可得，，， 所以X的分布列为 X 0 10 30 P ． 6分 设小明先猜谜语B得到的奖金为Y元，则Y的可能取值为0，20，30， 可得，，， 所以Y的分布列为 Y 0 20 30 P 9分 因为，所以小明应该先猜谜语 10分 （ii）设小明购买提示后先猜迷语A得到的奖金为Z元（不含支出元）， 则Z的可能取值为0，10，30， 可得， ， ， 14分 所以 所以小明最终获得元， 16分 若要值得购买则即． 17分 19．解：（1）根据题意， 1分 时，在上单调递增 2分 时， 在上单调递增；在上单调递减 4分 （2）解法1：在上恒成立， 又∵，∴等价于上恒成立， 6分 设， 上恒成立，∴在单调递增 所以， 即当，， 要使在上恒成立，只需在上递减， 8分 由（1）得满足题意． 10分 解法2：设 设 6分 ①当时在恒成立，单调递增单调递增 ，满足题意 8分 ②当时，在使得，在单调递减 ，在单调递减 ，不符合足题意 综上得满足题意． 10分 （3）证明： 当， 故只需证 13分 由（2）得在取等 在单调递减，在单调递增 15分 综上，两处取等条件不同时成立 所以，原命题成立． 17分 （用导数同样4分） 学科网（北京）股份有限公司 $