专题03 探索全等三角形（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

专题03 探索全等三角形（六大题型） 【题型1 判定全等角形（SSS）】.........................................................................................1 【题型2 三机型稳定性及应用】...........................................................................................3 【题型3 判定全等角形（SAS）】.........................................................................................4 【题型4 判定全等角形（ASA）】..........................................................................................6 【题型5 判定全等角形（AAS）】..........................................................................................8 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和】.............................................................10 【题型1 判定全等角形（SSS）】 1．如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 2．如图，点、、、在同一条直线上，点、在直线的异侧，，，．求证：． 3．已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 4．如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，且与相交于点． (1)连接，证明：； (2)证明：． 5．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 6．如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【题型2 三机型稳定性及应用】 7．下列图形中具有稳定性的是（      ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 8．自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 9．双人漫步机（如图）是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 10．每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 【题型3 判定全等角形（SAS）】 11．如图，，，．求证：． 12．如图，在和中，，，．求证：． 13．如图，点B在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图所示，，，． (1)求证：； (2)若，， 则 　　． 15．如图，点是的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型4 判定全等角形（ASA）】 16．如图，，，求证：． 17．如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，在中，过点作于点，过点作于点，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 19．如图，为测量河流两岸，两点之间的距离，过点作，取的中点，再过点作，使点，，在同一条直线上，连接． (1)求证：； (2)若测得，，求，两点之间的距离． 20．如图，在中，，D、E、F分别在、、上，且，，问：和是否相等？并说明理由． 21．如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型5 判定全等角形（AAS）】 22．已知：如图，，求证：． 23．如图，点E、F在上，，，．求证： (1)； (2)． 24．已知：在中，于点D，于点E，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 25．如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：． (2)若，求的长． 26．如图，点C，A，D 在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 27．如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 28．小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作，垂足为，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图2中的、、、在同一平面上），过点作，垂足为，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 29．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 30．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 31．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      32．如图，在的正方形网格中，求______度． 33．在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 1．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，用尺规作“一个角等于已知角”的过程中，作出的依据是（   ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 2．小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 4．如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 6．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 7．如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 探索全等三角形（六大题型） 【题型1 判定全等角形（SSS）】.........................................................................................1 【题型2 三机型稳定性及应用】...........................................................................................5 【题型3 判定全等角形（SAS）】.........................................................................................7 【题型4 判定全等角形（ASA）】..........................................................................................10 【题型5 判定全等角形（AAS）】..........................................................................................15 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和】.............................................................21 【题型1 判定全等角形（SSS）】 1．如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的“边边边”判定定理，通过等式性质得出是解题的关键． 与全等，由，依据等式性质两边加上可得，利用“边边边”判定定理即可证明． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∴． 2．如图，点、、、在同一条直线上，点、在直线的异侧，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用证明即可． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ． 3．已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据“”即可证明； （2）根据得出，据此得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴． 4．如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，且与相交于点． (1)连接，证明：； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）连接，利用即可证明． （2）利用全等三角形的性质得出， 再证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】（1）证明：连接， 在和中 ， ； （2）证明： ， 在和中， ， ， 5．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意得出，进而根据证明． 【详解】证明：， ，即， 在和中， 6．如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据证明即可； （2）由（1）可知则，证明，得到，进而可证 【详解】（1）证明： ， 即． 在和中， ； （2）解：．理由如下： 由（1）可知 ． 在和中， ， ， 即， ． 【题型2 三机型稳定性及应用】 7．下列图形中具有稳定性的是（      ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 【答案】A 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，而正方形，长方形，平行四边形都是四边形， 故只有直角三角形具有稳定性． 8．自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示即可求解． 【详解】解：自行车支架一般都会采用如图的设计，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B ． 9．双人漫步机（如图）是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，准确理解三角形稳定性是解题的关键．根据题意，结合选项进行判断即可． 【详解】解：对于A选项：三角形的稳定性是指三角形具有稳固、坚定、耐压的特点，当三角形三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定下来，不会变形．双人漫步机中的三角形支架正是利用了三角形的稳定性，使其结构更加牢固． 对于B选项：两点之间，线段最短是指连接两点的所有线中，线段是最短的，它一般用于解决最短路径等问题，与双人漫步机三角形支架的原理不相关． 对于C选项：两点确定一条直线是指经过两点有且只有一条直线，它主要用于确定直线的位置等问题，与双人漫步机三角形支架的原理不相关． 对于D选项：垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它主要用于求点到直线的距离等问题，与双人漫步机三角形支架的原理不相关． 故选：A． 10．每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的特性，熟练掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键； 运用三角形稳定性这一知识来解释篝火架设计原理． 【详解】解：三角形具有稳定性：三角形的三条边长度确定后，它的大小和形状就不会改变． 故答案为：三角形的稳定性 ． 【题型3 判定全等角形（SAS）】 11．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 12．如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键； 先通过角度的和差关系得到，再通过即可证得三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 13．如图，点B在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）解：， ． ∵点B在线段上， ． 14．如图所示，，，． (1)求证：； (2)若，， 则 　　． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，点是的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题查看了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，由平行得到，然后证明即可； （2）首先由全等得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明： 点是的中点     ∵     在和中， ； （2）           ． 【题型4 判定全等角形（ASA）】 16．如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质，证得． 【详解】证明：在和中， ． 17．如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据题意可证，由此即可求解； （2）根据线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． （2）解：由（1）知， 又, ， ． 18．如图，在中，过点作于点，过点作于点，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．如图，为测量河流两岸，两点之间的距离，过点作，取的中点，再过点作，使点，，在同一条直线上，连接． (1)求证：； (2)若测得，，求，两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据垂直的定义得到，根据点是的中点得到，进而根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到即可求出，两点之间的距离． 【详解】（1）证明：，， ， 点是的中点， ． 在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ∴． ， ． 则，两点之间的距离为． 20．如图，在中，，D、E、F分别在、、上，且，，问：和是否相等？并说明理由． 【答案】相等，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，掌握相关知识是解题的关键．先证明，再利用证明即可得到． 【详解】，， 21．如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 【题型5 判定全等角形（AAS）】 22．已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先证出，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 23．如图，点E、F在上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行线的性质，利用“”证明全等即可； （2）利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：，， ，， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可知，， ． 24．已知：在中，于点D，于点E，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用“”证明即可； （2）利用全等三角形的性质得到，由求得，进而可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴． 25．如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 26．如图，点C，A，D 在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得．由得到，即可求解的度数． 【详解】（1）证明：， ， ，， ； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 27．如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行线的性质是解题的关键； （1）由平行线的性质可得，然后根据“”可判定三角形全等； （2）由可得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 28．小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作，垂足为，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图2中的、、、在同一平面上），过点作，垂足为，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度关系证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质求解． （1）利用垂直的性质和角的和差关系，证明； （2）证明，利用全等三角形的性质得出对应边相等，进而求出的长． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 在中，， ； （2）由题意得，， 在和中， ，， ， ， ， ， ． 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 29．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 30．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 31．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      【答案】135 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 32．如图，在的正方形网格中，求______度． 【答案】45 【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【详解】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征． 33．在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 1．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，用尺规作“一个角等于已知角”的过程中，作出的依据是（   ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定．根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是边边边． 故选：A． 2．小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】A 【分析】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：A、带①②去，符合判定，能得到一块完全一样的三角形玻璃； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃． 故选：A． 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】根据题意，得到两个三角形对应的三条边相等，从而判定，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，、、， ， 则， 即射线是的角平分线， 依据的数学基本事实是“三边分别相等的两个三角形全等”． 4．如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 根据判断三角形全等可得结论． 【详解】解：，， ， 在△和△中， ， ， ． 故选：C． 5．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 6．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明 ， ，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 7．如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $