重难专题02 刷透独立性检验的七大必刷题型（含参数逆求、统计概率综合等题型，专项训练）高二数学人教A版选择性必修第三册

重难专题02 概率分布解答题的七大必刷题型 (含参数逆求、统计概率综合等题型) 题型一 2×2列联表构建与χ²计算基础直答 1．（2026陕西安康三模）某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表． 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 60 小时／天 10 合计 100 (1)试估计全校学生中视力不良的学生人数； (2)补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2．（25-26高三上辽宁期末）某兴趣小组对校内学生对中国象棋的兴趣程度进行问卷调查，调查结果如下： 非常感兴趣 比较感兴趣 不感兴趣 男生 100 60 40 女生 50 50 100 用频率估计概率. (1)随机抽取一名男生，求他对中国象棋比较感兴趣的概率； (2)将非常感兴趣与比较感兴趣统称为感兴趣.根据小概率值的独立性检验，分析学生对中国象棋的兴趣程度是否与学生性别有关. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 题型二 临界值判断与图形直观分析 1.（25-26高三上江苏镇江开学考试）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 2.（2026天津一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 3．（25-26高三上湖南长沙月考）（多选题）下列结论错误的是（    ） A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B．已知随机变量，随机变量，则 C．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（） D．由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断独立 4．（2026广东汕头一模）某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3) 请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 题型三 统计抽样与图表数据综合应用 1．（25-26高三上四川广安开学考试）在新高考中，采用“3+1+2”模式.某校为了了解学生的选科情况，从高二年级的2000名学生（其中男生1100人，女生900人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查. 选物理 选历史 合计 男生 90 女生 30 合计 (1)已知抽取的名学生中含男生110人，求的值； (2)在（1）的情况下对抽取到的名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查，得到下列2×2列联表.请将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为选科与性别有关?并解释得到的结论. 参考公式：. 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 2.（2026黑龙江哈尔滨一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（2026安徽滁州二模）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； (2)将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”； 网购人群类别 性别 合计 男 女 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 (3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望. 附：. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 题型四 独立性检验与概率联动计算 1．（24-25高三下广西开学考试）据统计，某地一特色饭店年月份共有个网上点餐订单，好评率为.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店月份共有个网上点餐订单，其中好评订单有个. (1)根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店月份订单的好评与服务改进有关； 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 (2)若从月、月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取个订单分析顾客的意见，再从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，求其中恰好有个订单为好评订单的概率. 附：. 2.（2025海南模拟预测）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． (1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ (2)根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 3.（25-26高三上江西南昌期末）为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 题型五 检验结论规范表述与实际解读 1．（2025甘肃金昌二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（    ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 2．（25-26高三上安徽浙江月考）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表：                   身高   性别 低于 不低于 合计 男 9 91 100 女 90 10 100 合计 99 101 200 (1)在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？ (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，解释所得结论的实际含义． 附 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 题型六 参数逆求与多分类列联表拓展 1．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图的列联表中，定义，易知越大越有利于结论“与有关系”.若当值大于常数时，有的把握认为与有关系，那么的值为（    ） (已知，其中，) 总计 总计 A． B． C． D． 2.（2024广西贺州一模）随着近年来的生活质量提高，饮食结构改变，生活压力增加，中青年人也逐渐成为动脉粥样硬化性心血管疾病的高危人群．血脂异常是的重要危险因素之一，有效控制血脂异常，对防治具有重要意义．某公司计划研究一种新的降脂单抗药物，药物研发时，需要对志愿者进行药效实验．该公司统计了800名不同年龄的志愿者达到预期效果所需的疗程数，得到如下频数分布表： 1次 40 50 50 90 次 100 60 100 50 次 61 75 55 43 10次以上 7 7 5 7 把年龄在内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，疗程数低于5次的为效果明显，不低于5次的为效果不明显． (1)补全下面的列联表． 效果 年龄 合计 青年 中年 效果不明显 效果明显 合计 (2)判断以35岁为分界点，根据小概率值的独立性检验，能否认为治疗效果与年龄有关． 参考公式：． 附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 3．（2026山东泰安二模）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 附，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（25-26高三下上海宝山期中）为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表： (1)调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值； (2)当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人. ①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率； ②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值. 男生 女生 合计 了解 不了解 合计 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 题型七 统计概率综合压轴解答 1．（2025河北模拟预测）在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式．近日该平台发现新上平台的商品经常收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品的只有青年和中老年（年龄>44）两类购买者，从所有购买商品的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100人，给商品打分分）并提出建议，分数统计如下表格(假设各组数据在对应的区间内均匀分布)： 给商品打分区间 青年购买者 5 35 45 15 中老年购买者 35 40 20 5 (1)请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点值为代表）； (2)若购买者打分在区间内为“满意顾客”，其他为“不满意顾客”． ①根据表格数据，将频率视为概率，从商品的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件“该购买者为青年购买者”，事件“该购买者为满意顾客”，计算的估计值； ②请利用表格数据补充完整下列列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据小概率值的独立性检验，能否认为对商品是否满意与购买者群体有关． 满意顾客 不满意顾客 合计 青年购买者 100 中老年购买者 100 合计 200 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2．（2025贵州铜仁模拟预测）近日，一部名为“体彩公益金助力‘村’赛出乡村振兴新气象”的视频在网络上广泛传播，引起了大众的热烈反响.这部视频以贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村为肯景，生动展现了台盘村从一个默默无闻的小村庄到因“村”而声名鹊起的历程，揭示了体育精神与乡村振兴的紧密联系.现有一支“村”球队，其中球员甲是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，球员甲是否上场时该球队的胜负情况如下表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 1 未上场 8 合计 5 42 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，能否认为球队的胜负与球员甲的出场有关联； (2)由于队员的不同，球员甲主打的位置会进行调整，且球员甲每场比赛只主打前锋､中锋､后卫中的一个位置根据以往的数据统计，球员甲上场时，担任的角色为前锋､中锋､后卫的概率分别为，相应球队赢球的概率分别为. （i）当球员甲上场参加比赛时，判断球员甲主打哪个位置球队赢球的概率更大，并说明理由； （ii）当球员甲上场参加比赛时，在球队赢了该场比赛的条件下，求甲是前锋的概率. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3.（2025山东泰安模拟预测）2025年4月24日是第十个中国航天日. 十年来，中国航天事业蒸蒸日上，中国人在太空的印记不断被刷新. 某校部分学生十分关注中国航天的发展，若将累计关注中国航天发展的消息达到次及以上者称为“航天达人”，未达到次者称为“非航天达人”. 现从该校随机抽取人进行分析，得到数据如表所示： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 女 合计 (1)补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中女“航天达人”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)为进一步提高学生对航天事业的关注度，该学校组织了“航天知识竞赛”活动，竞赛共设置道题目， 其中道题目是小明能答对的， 规定每位参赛者从道题中随机抽取道作答，则要使小明恰好答对道题目的概率最大，那么取多少？ 附： 4.（2025辽宁朝阳模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． 性别活动 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①当时，求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为，求． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题02 概率分布解答题的七大必刷题型 (含参数逆求、统计概率综合等题型) 题型一 2×2列联表构建与χ²计算基础直答 1．（2026陕西安康三模）某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表． 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 60 小时／天 10 合计 100 (1)试估计全校学生中视力不良的学生人数； (2)补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)1050 (2) 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 25 60 小时／天 30 10 40 合计 65 35 100 认为学生的视力健康与课外阅读时间无关． 【解析】（1）由题可得课外阅读时间小时／天的学生中视力不良的有人，       所以估计全校学生中视力不良的学生人数为3000. （2）补全列联表： 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 25 60 小时／天 30 10 40 合计 65 35 100 零假设为：学生的视力健康与课外阅读时间无关，       .930＜，       所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为学生的视力健康与课外阅读时间无关． 2．（25-26高三上辽宁期末）某兴趣小组对校内学生对中国象棋的兴趣程度进行问卷调查，调查结果如下： 非常感兴趣 比较感兴趣 不感兴趣 男生 100 60 40 女生 50 50 100 用频率估计概率. (1)随机抽取一名男生，求他对中国象棋比较感兴趣的概率； (2)将非常感兴趣与比较感兴趣统称为感兴趣.根据小概率值的独立性检验，分析学生对中国象棋的兴趣程度是否与学生性别有关. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)与学生性别有关 【解析】（1）注意到， （比较感兴趣的男生）， 故. （2）可得如下列联表： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 160 40 200 女生 100 100 200 合计 260 140 400 零假设为：学生对中国象棋的兴趣程度与学生性别无关， ， 不成立， 于是根据小概率值的独立性检验，学生对中国象棋的兴趣程度与学生性别有关. 题型二 临界值判断与图形直观分析 1.（25-26高三上江苏镇江开学考试）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知观测值，所以对照题中的附表可作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过的结论. 故选：B 2.（2026天津一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【解析】对A：，故新能源车主有人，故A错误； 对B：购买燃油车的人数为， 购买新能源车的人数为， 则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误； 对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 3．（25-26高三上湖南长沙月考）（多选题）下列结论错误的是（    ） A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B．已知随机变量，随机变量，则 C．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（） D．由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断独立 【答案】BCD 【解析】对于A选项，在回归模型中，决定系数越接近1，说明回归模型对数据的拟合效果越好，越大（越接近1），则回归拟合的效果越好，该选项正确； 对于B选项，，， 所以，故B错误； 对于C选项，若列联表中所有数据都缩小为原来的，则的值变为原来的，所以结论可能会发生改变，故C错误； 对于D选项，由可得出“零假设与独立”不成立，所以有的把握说有关，故D错误． 故选：BCD 4．（2026广东汕头一模）某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【答案】(1)有关联，女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． (2)无关联，实际含义见解析 (3)不一致，原因见解析 【解析】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生， 而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生， 故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联， 实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. （3）（1）与（2）的结论不一致， A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠； B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本， 样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 题型三 统计抽样与图表数据综合应用 1．（25-26高三上四川广安开学考试）在新高考中，采用“3+1+2”模式.某校为了了解学生的选科情况，从高二年级的2000名学生（其中男生1100人，女生900人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查. 选物理 选历史 合计 男生 90 女生 30 合计 (1)已知抽取的名学生中含男生110人，求的值； (2)在（1）的情况下对抽取到的名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查，得到下列2×2列联表.请将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为选科与性别有关?并解释得到的结论. 参考公式：. 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1) (2)列联表见解析；没有99%的把握认为选科与性别有关. 【解析】（1）由题意得，解得（人）. （2）列联表： 选物理 选历史 合计 男生 90 20 110 女生 60 30 90 合计 150 50 200 因为 ∴没有99%的把握认为选科与性别有关. 2.（2026黑龙江哈尔滨一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，下四分位数 (2)有关 【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计；频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 （2）零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001， 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 3．（2026安徽滁州二模）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； (2)将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”； 网购人群类别 性别 合计 男 女 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 (3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望. 附：. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)17.5 (2)表格见解析，有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”. (3) 【解析】（1）解：依题意，因为， 而， 所以中位数位于内，所以中位数为. （2）解：依题意，消费金额不少于20千元的频率为， 所以网购迷人数为，非网购迷的人数为. 所以补全列联表如下. 网购人群类别 性别 合计 男 女 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60 40 100 所以. 因为，所以有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”. （3）（3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ， . ， ， . 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以的数学期望 . 题型四 独立性检验与概率联动计算 1．（24-25高三下广西开学考试）据统计，某地一特色饭店年月份共有个网上点餐订单，好评率为.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店月份共有个网上点餐订单，其中好评订单有个. (1)根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店月份订单的好评与服务改进有关； 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 (2)若从月、月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取个订单分析顾客的意见，再从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，求其中恰好有个订单为好评订单的概率. 附：. 【答案】(1)答案见解析，有关 (2) 【解析】（1）月份的订单中，好评订单有个， 非好评订单有个. 月份的订单中，非好评订单有个. 故补全的列联表如下表所示： 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 零假设：该饭店月份订单的好评与服务改进无关. ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即该饭店9月份订单的好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过. （2）利用分层随机抽样的方法抽取个订单，则好评订单应抽取个， 非好评订单应抽取个. 设“从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，其中恰好有个订单为好评订单”为事件， 则. 所以事件恰好有个订单为好评订单的概率为. 2.（2025海南模拟预测）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． (1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ (2)根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为旅客满意程度与车站编号有关联； (2)分布列见解析，. 【解析】（1））补充列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为旅客满意程度与车站编号有关联. （2）由题的可能取值为8，10，12，14， 则；； ；， 所以的分布列为 8 10 12 14 所以． 3.（25-26高三上江西南昌期末）为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 【答案】(1)有关 (2) 【解析】（1）假设 ：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联； 经计算因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立， 即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001； （2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”， 则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”， 则， 所以， 所以 故该学生坚持自主刷题的概率为. 题型五 检验结论规范表述与实际解读 1．（2025甘肃金昌二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（    ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【解析】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 2．（25-26高三上安徽浙江月考）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表：                   身高   性别 低于 不低于 合计 男 9 91 100 女 90 10 100 合计 99 101 200 (1)在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？ (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，解释所得结论的实际含义． 附 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联．实际意义见解析 【解析】（1）设两名学生身高均不低于的事件为， 由古典概率计算公式得 （2）零假设为：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 则， 根据的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联． 所得结论的实际含义是：在犯错误的概率不超过0.001的前提下， 认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联， 即男生身高不低于170cm的比例远高于女生，女生身高低于170cm的比例远高于男生. 题型六 参数逆求与多分类列联表拓展 1．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图的列联表中，定义，易知越大越有利于结论“与有关系”.若当值大于常数时，有的把握认为与有关系，那么的值为（    ） (已知，其中，) 总计 总计 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当有的把握认为与有关系，则，故， 此时临界条件为，此时对应的刚好为， 即此时,即， 故，则， 故， 故选：A 2.（2024广西贺州一模）随着近年来的生活质量提高，饮食结构改变，生活压力增加，中青年人也逐渐成为动脉粥样硬化性心血管疾病的高危人群．血脂异常是的重要危险因素之一，有效控制血脂异常，对防治具有重要意义．某公司计划研究一种新的降脂单抗药物，药物研发时，需要对志愿者进行药效实验．该公司统计了800名不同年龄的志愿者达到预期效果所需的疗程数，得到如下频数分布表： 1次 40 50 50 90 次 100 60 100 50 次 61 75 55 43 10次以上 7 7 5 7 把年龄在内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，疗程数低于5次的为效果明显，不低于5次的为效果不明显． (1)补全下面的列联表． 效果 年龄 合计 青年 中年 效果不明显 效果明显 合计 (2)判断以35岁为分界点，根据小概率值的独立性检验，能否认为治疗效果与年龄有关． 参考公式：． 附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)能认为 【解析】（1）由题意，效果不明显的青年有人， 效果明显的青年有， 效果不明显的中年有， 效果明显的中年有， 故列联表如下： 效果 年龄 合计 青年 中年 效果不明显 效果明显 合计 （2）， 所以根据小概率值的独立性检验，能认为治疗效果与年龄有关． 3．（2026山东泰安二模）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 附，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)人 (2)小时 (3)根据小概率值的独立性检验，能认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联 【解析】（1）因为抽取的100人中日均运动时间不足1小时的人数占比为， 所以该校2000名学生中日均运动时间不足1小时人数约为人； （2）该校名学生日均运动时间的平均数约为 ， 所以该校高三学生日均运动时间的平均数为小时； （3）作出列联表如表所示 日均运动时间 合计 男 25 30 55 女 35 10 45 合计 60 40 100 零假设：“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 4．（25-26高三下上海宝山期中）为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表： (1)调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值； (2)当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人. ①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率； ②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值. 男生 女生 合计 了解 不了解 合计 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）被调查的男女生人数均为，其中男生中不了解的有，则了解的有， 其中女生中了解的有，则不了解的有， 则可得列联表如下所示： 男生 女生 合计 了解 不了解 合计 因， 由题意，可知，又，可得； （2）①当时，了解中华优秀传统文化的男生有人，女生有人， 则采用分层抽样时，在男生中抽取人，女生中抽取人， 再从这10人中随机抽取3人进行第二次调查， 记“至少有2名女生被抽到”为事件A，“抽到男生”为事件B， 则； ②根据题意可知这人中有4人是了解中华优秀传统文化的女生， 随机抽取2人，随机变量的取值为， ， 则， 依题意，由，解得， 所以的最大值为. 题型七 统计概率综合压轴解答 1．（2025河北模拟预测）在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式．近日该平台发现新上平台的商品经常收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品的只有青年和中老年（年龄>44）两类购买者，从所有购买商品的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100人，给商品打分分）并提出建议，分数统计如下表格(假设各组数据在对应的区间内均匀分布)： 给商品打分区间 青年购买者 5 35 45 15 中老年购买者 35 40 20 5 (1)请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点值为代表）； (2)若购买者打分在区间内为“满意顾客”，其他为“不满意顾客”． ①根据表格数据，将频率视为概率，从商品的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件“该购买者为青年购买者”，事件“该购买者为满意顾客”，计算的估计值； ②请利用表格数据补充完整下列列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据小概率值的独立性检验，能否认为对商品是否满意与购买者群体有关． 满意顾客 不满意顾客 合计 青年购买者 100 中老年购买者 100 合计 200 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)平均数6.6，中位数4.125 (2)①；②表格见解析，认为对商品是否满意与购买者群体有关 【解析】（1）由表格数据可知青年购买者打分的平均数 ． 由数据可知中老年购买者打分在区间内的频率为，故其中位数满足：，解得． （2）“假设各组数据在对应的区间内均匀分布”， ①由题意知， ． 因此． ②由表格数据知“满意的青年购买者”的人数为（人），“不满意的青年购买者”的人数为70人；“满意的中老年购买者”的人数为（人），“不满意的中老年购买者”的人数为88人，故补充完整的列联表如下： 满意顾客 不满意顾客 合计 青年购买者 30 70 100 中老年购买者 12 88 100 合计 42 158 200 零假设为：对商品是否满意与购买者群体无关． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为对商品是否满意与购买者群体有关，此判断犯错误的概率不超过0.01． 2．（2025贵州铜仁模拟预测）近日，一部名为“体彩公益金助力‘村’赛出乡村振兴新气象”的视频在网络上广泛传播，引起了大众的热烈反响.这部视频以贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村为肯景，生动展现了台盘村从一个默默无闻的小村庄到因“村”而声名鹊起的历程，揭示了体育精神与乡村振兴的紧密联系.现有一支“村”球队，其中球员甲是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，球员甲是否上场时该球队的胜负情况如下表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 1 未上场 8 合计 5 42 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，能否认为球队的胜负与球员甲的出场有关联； (2)由于队员的不同，球员甲主打的位置会进行调整，且球员甲每场比赛只主打前锋､中锋､后卫中的一个位置根据以往的数据统计，球员甲上场时，担任的角色为前锋､中锋､后卫的概率分别为，相应球队赢球的概率分别为. （i）当球员甲上场参加比赛时，判断球员甲主打哪个位置球队赢球的概率更大，并说明理由； （ii）当球员甲上场参加比赛时，在球队赢了该场比赛的条件下，求甲是前锋的概率. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为球队的胜负与球员甲的上场有关联 (2)（i）球员甲上场主打后卫参加比赛时，球队赢球的概率最大，理由见解析；（ii） 【解析】（1）解：根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 29 1 30 未上场 8 4 12 合计 37 5 42 零假设：球队的胜负与球员甲的上场无关 此时， 注意到，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为球队的胜负与球员甲的上场有关联，由此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）（i）设事件A：甲球员上场打前锋；事件：甲球员上场打中锋； 事件：甲球员上场打后卫，事件球队赢球， 则， ， 所以当球员甲上场主打前锋参加比赛时，球队赢球的概率： ， 当球员甲上场主打中锋参加比赛时，球队赢球的概率： ， 当球员甲上场主打后卫参加比赛时，球队赢球的概率： ， 因为， 所以球员甲上场主打后卫参加比赛时，球队赢球的概率最大； （ii）由（i）知当球员甲上场参加比赛时，球队赢球的概率 ， 当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员甲是前锋的概率为. 3.（2025山东泰安模拟预测）2025年4月24日是第十个中国航天日. 十年来，中国航天事业蒸蒸日上，中国人在太空的印记不断被刷新. 某校部分学生十分关注中国航天的发展，若将累计关注中国航天发展的消息达到次及以上者称为“航天达人”，未达到次者称为“非航天达人”. 现从该校随机抽取人进行分析，得到数据如表所示： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 女 合计 (1)补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中女“航天达人”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)为进一步提高学生对航天事业的关注度，该学校组织了“航天知识竞赛”活动，竞赛共设置道题目， 其中道题目是小明能答对的， 规定每位参赛者从道题中随机抽取道作答，则要使小明恰好答对道题目的概率最大，那么取多少？ 附： 【答案】(1)列联表见解析，认为“航天达人”与性别无关 (2)分布列见解析，1 (3) 【解析】（1）补全列联表如下表： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 零假设：假设“航天达人”与性别无关，根据表中的数据计算得到，     查表可知，    所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，因此“航天达人”与性别无关； （2）抽取的男航天达人有人，女航天达人有人， 所有可能取值为：. 则，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 的数学期望为. （3）从道题目中取道题，恰有道小明会做的题目概率， 设， 当时，， ， 当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，小明答对道题目的可能性最大. 4.（2025辽宁朝阳模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． 性别活动 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①当时，求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为，求． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，能； (2)①；②. 【解析】（1）由，得报名参加答题活动人数为， 由，得报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为， 又，由样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 因此. ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意，，，当时，则， 因为，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，又，且， 则数列是各项均为1的常数列，即， 于是，解得. 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $