专题12 列联表与独立性检验 重点热门专题训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

列联表与独立性检验12 检测限时：120分钟 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•南关区校级期末）某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为7m（m∈N+）人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．零假设为H0：喜欢短视频和性别无关，若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为喜欢短视频和性别有关，则m的最小值为（　　） 附：，其中n＝a+b+c+d． α 0.05 0.01 xα 3.841 6.635 A．14 B．16 C．18 D．20 2．（2026•天津模拟）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到χ2＝16． 车型与地区 下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（　　） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据α＝0.001的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据α＝0.001的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 3．（2026•辽宁模拟）统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示． α＝P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得χ2＝6.224，则（　　） A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为A与B有关 B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为A与B有关 C．有95%的把握认为A与B有关 D．有99%的把握认为A与B有关 4．（2026•崇明区校级模拟）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：，其中n＝a+b+c+d． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（　　） A．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 5．（2025秋•齐齐哈尔月考）某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 m 女生 总计 m 若通过计算，可得根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数m的最小值为（　　） 附：，n＝a+b+c+d． α 0.05 0.01 0.005 0.001 xn 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 6．（2025秋•河南期末）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的2×2列联表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 第3步，提出零假设．零假设H0：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 第4步，计算．计算得到， 第5步：判断．根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 附：，n＝a+b+c+d． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（　　） A．根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C．有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D．学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 7．（2025秋•樊城区校级期末）为了了解疾病A是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：则认为疾病A与性别有关的把握约为（　　） 患疾病A 不患疾病A 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计 30 20 50 P（X2≥k） 0.05 0.01 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 A．95% B．99% C．99.5% D．99.9% 8．（2026春•龙凤区校级同步）某中草药主要是通过清热解毒、宣肺理气来调理机体的气机和阴阳平衡，从而改善症状，可以达到减轻病情、缓解症状、缩短病程的作用．为了了解该中草药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据： 患流感 未患流感 服用药 3 17 未服用药 9 11 若由此认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过（　　） A．0.05 B．0.1 C．0.01 D．0.005 9．（2025春•和平区期末）某单位对员工是否愿意被外派与年龄的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则χ2的值可能为（　　） 附表： P（χ2≥χα） 0.05 0.01 0.001 χα 3.841 6.635 10.828 A．3.206 B．6.561 C．7.879 D．11.028 10．（2025春•思明区校级期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值α＝0.1的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（　　）人． 附表： α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，n＝a+b+c+d． A．20 B．30 C．35 D．40 二．多选题（共4小题） （多选）11．（2026•乾县校级模拟）为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（　　） 性别 物理学科 喜爱 不喜爱 男 60 40 女 20 80 附表 α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B．女生中喜爱物理学科的频率为 C．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 （多选）12．（2026•荆州模拟）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（　　） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a+b+c+d；x0.05＝3.841 A．依据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 （多选）13．（2026•丹东模拟）在独立性检验中，显著水平α以及对应的分位数k如下： α＝P（χ2≥k） 0.1 0.01 k 2.706 6.635 某社团就喜欢长跑与学生性别的关系进行了一个随机调查，根据男女生人数以及男女生是否喜欢长跑的人数，计算得χ2≈7.8，则（　　） A．有99%的把握认为喜欢长跑与性别有关 B．“喜欢长跑”与“是女生”独立的概率不小于99% C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为是否喜欢长跑与性别无关 D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立 （多选）14．（2026春•大连校级月考）下列说法正确的是（　　） A．两点分布中，时，方差最大 B．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到χ2＝8.612，依据α＝0.001的独立性检验（χ20.001＝10.828），可判断X与Y独立 三．填空题（共4小题） 15．（2025春•福建月考）随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*） 支持 不支持 男生 70﹣m 10+m 女生 50+m 30﹣m 若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 　 　 ． 附：，其中n＝a+b+c+d． α 0.050 0.010 0.005 0.001 x0 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（2025•长宁区二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断 　 　 原假设H0．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．） 17．（2025春•甘肃期末）某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表： 去海南旅游 去厦门旅游 合计 老年人 2m 3m 5m 中年人 3m 2m 5m 合计 5m 5m 10m 若依据小概率值α＝0.01的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数m的最小值为　 　 ． 参考公式：． α 0.05 0.01 0.001 χα 3.841 6.635 10.828 18．（2025春•山东期中）为了调查A，B两个地区的观众是否喜欢娱乐节目M，某电视台随机调查了A，B两个地区的2x名观众，已知从A，B两个地区随机调查的人数相同，A地区喜欢娱乐节目M的人数占A地区参与调查的总人数的，B地区喜欢娱乐节目M的人数占B地区参与调查的总人数的，若根据独立性检验认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则所有x构成的集合为 　 　 ． 附表：，其中n＝a+b+c+d． α 0.050 0.010 xα 3.841 6.635 四．解答题（共6小题） 19．（2026•拉萨模拟）某公司的生产车间有3台核心加工设备，分别为成型机（记为设备A）、调试机（记为设备B）、测试机（记为设备C），三台设备各自独立工作，设同时发生故障的设备数为随机变量X． （1）若三台设备同时运行，每台设备发生故障的概率均为0.05，求“至少有1台设备发生故障的条件下，恰好有1台设备发生故障”的概率；（结果保留三位有效数字） （2）为验证设备A与设备B的工作独立性，该公司随机抽取了200次设备运行记录，得到如下2×2列联表（单位：次）： 设备A 设备B 合计 故障 正常 故障 30 70 100 正常 60 40 100 合计 90 110 200 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析设备A的故障与设备B的故障是否有关． 附：χ2， P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20．（2026•张家口一模）某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？ 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． 参考数据： α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21．（2026春•金凤区校级月考）媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与性格外向有关，随机抽取了100名性格外向的和100名性格内向的居民，抽查结果用等高条形图表示如图： （1）填写完整如下2×2列联表： 喜欢节目A 不喜欢节目A 合计 性格外向 性格内向 合计 （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢娱乐节目A与性格外向有关？ 参考公式及数据： P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001 K2 3.841 6.635 10.828 22．（2026•辽宁模拟）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一个月内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表． 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：χ2，其中n＝a+b+c+d． α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 23．（2026•保定一模）某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁～60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的2×2列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中n＝a+b+c+d． α 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； （2）依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； （3）该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 24．（2025秋•十堰月考）某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（A型与B型）对果实品质的影响．农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 A型 62 38 100 B型 45 55 100 合计 107 93 200 （1）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； （2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（kg）为X，通过测试得到使用无土栽培时X的分布列为： X 1 1.5 2 P 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时X的分布列为： X 0.8 1.2 1.6 P 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于3kg的概率． 附：，其中n＝a+b+c+d． α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B B C C A C A 二．多选题（共4小题） 题号 11 12 13 14 答案 AC BCD AD ABD 一．选择题（共10小题） 1．【答案】A 【分析】先根据已知数据填写2×2列联表，再计算χ2的值，并列不等式求解即可． 【解答】解：根据题意，作出2×2列联表如下： 性别 是否喜欢短视频 合计 喜欢短视频 不喜欢短视频 男生 4m 3m 7m 女生 3m 4m 7m 合计 7m 7m 14m 若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为喜欢短视频和性别有关， 则χ23.841， 解得m＞13.4435， 因为m∈N+，所以m的最小值为14． 故选：A． 2．【答案】C 【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数可得B；利用独立性检验定义可得C、D． 【解答】解：20×0.6＝12，故新能源车主有12人，故A错误； 购买新能源车的人数为200×0.4＝80，购买燃油车的人数为200×0.6＝120， 所以购买燃油车的人数比新能源车的多120﹣80＝40人，故B错误； 依据α＝0.001的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由χ2＝16＞10.828，故此推断犯错误的概率不大于0.001，故C正确、D错误． 故选：C． 3．【答案】C 【分析】根据独立性检验的应用判断选项． 【解答】解：因为χ2＝6.224，所以3.841＜χ2＜6.635， 则有95%的把握认为A与B有关， 即在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为A与B有关． 故选：C． 4．【答案】B 【分析】根据独立性检验的基本思想，结合已知计算得χ2≈4.7619，逐项进行分析即可求解． 【解答】解：零假设为H0：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 根据题意可知，， A，若α＝0.1，因为χ2＞2.706，故有充分的证据推断H0不成立，故A错误； B，若α＝0.05，因为χ2＞3.841，故有充分的证据推断H0不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率有差异，故B正确； C，若α＝0.01，因为χ2＜6.635，故没有充分的证据推断H0不成立，故C错误； D，若α＝0.005，因为χ2＜7.879，故没有充分的证据推断H0不成立，故D错误． 故选：B． 5．【答案】B 【分析】完成列联表，计算χ2≥7.879，即可求出正整数m的最小值． 【解答】解：补全后的联表如下： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 m 女生 m 总计 m m 2m 则χ27.879，解得m≥98.4875． 又m为正整数，且是5的倍数，可得m的最小值为100． 故选：B． 6．【答案】C 【分析】列出新的列联表，计算χ2后比较即可． 【解答】解：将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后的数据代入卡方公式： ，其中n＝880，a＝330，b＝100，c＝380，d＝70， 所以， 8.37＞6.635＝x0.01， 所以认为“学生的数学成绩是否优秀与学校有关”，且有99%的把握， 故AB错误， 且推断犯错误的概率不超过0.01，不是0.001，故D错误． 故选：C． 7．【答案】C 【分析】根据所给的列联表数据计算χ2，将其与临界值表进行比较，即可得到答案． 【解答】解：根据所给的列联表数据计算χ2， 则， 故有（1﹣0.005）×100%＝99.5%的把握认为疾病A与性别有关． 故选：C． 8．【答案】A 【分析】计算K2的值，再与临界值比较即可． 【解答】解：由题意知，3.841， 由临界值表可知，认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过0.05． 故选：A． 9．【答案】C 【分析】根据独立性检验的性质可得6.635≤χ2＜10.828，进而判断各个选项即可． 【解答】解：因为得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01， 所以6.635≤χ2＜10.828． 故选：C． 10．【答案】A 【分析】设总人数为2m，根据给定条件，求出χ2的观测值并建立不等式，进而求出m的最小整数值得解． 【解答】解：设总人数为2m，则男生选学生物学的人数为，女生选学生物学的人数为， 则2×2列联表为： 男生 女生 合计 选生物学 不选生物学 合计 m m 2m 因此， 即且m为5的倍数， 故m＝30，所以男生最少有30人． 故选：A． 二．多选题（共4小题） 11．【答案】AC 【分析】根据列联表，结合古典概型的概率公式，即可判断A，B；计算χ2的值，根据独立性检验的基本思想，即可判断C，D． 【解答】解：对于A，根据题干数据可得喜爱物理学科的学生中，男生的频率为，A正确； 对于B，女生共有100名，喜爱物理的女生有20名， 故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误； 对于C，D，， 故依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关， 即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误． 故选：AC． 12．【答案】BCD 【分析】根据独立性检验的性质即可求解． 【解答】解：零假设为H0：参加社会实践活动与性别无关联， ， 依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故A选项错误； 从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为，故B选项正确； 记事件A表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则， 记事件B表示抽到的学生是男生，， ∴，故C选项正确； 按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人， 则7人中有男生人，有女生人， 从这7人中抽取2人有种取法，全为女生的取法有， ∴从这7人中抽取2人全为女生的概率为， ∴从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为，故D选项正确． 故选：BCD． 13．【答案】AD 【分析】根据独立性检验相关知识可解． 【解答】解：根据题意，零假设H0＝“喜欢长跑与学生性别无关”， 经计算χ2≈7.8＞6.635， 则在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立， 则有99%的把握认为喜欢长跑与性别有关，故AD正确，BC错误． 故选：AD． 14．【答案】ABD 【分析】结合两点分布的方差即可判断A；结合平均数的概念即可判断B；结合独立性检验的概念即可判断C、D． 【解答】解：对于选项A：两点分布的方差公式为D（X）＝p（1﹣p）（其中p为成功概率）， 将其视为关于p的二次函数f（p）＝﹣p2+p，开口向下，顶点在处， 此时方差最大值为，故选项A正确； 对于选项B：10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查， 设查得次品数为X，则X服从超几何分布， 其中N＝10（产品总数），M＝3（次品数），n＝2（抽取的产品数）， 根据超几何分布的均值公式，可得，故选项B正确； 对于选项C：根据独立性检验的统计量χ2的计算公式为（其中n＝a+b+c+d为样本量），若所有数据扩大10倍， 则新数据为a′＝10a，b′＝10b，c′＝10c，d′＝10d，n′＝10n， 代入公式得：， 所以统计量的值变为原来的10倍，结论会改变，故选项C错误； 对于选项D：已知χ2＝8.612，χ20.001＝10.828，因为χ2＝8.612＜χ20.001＝10.828， 所以依据α＝0.001的独立性检验，可判断X与Y独立，故选项D正确． 故选：ABD． 三．填空题（共4小题） 15．【答案】66． 【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可． 【解答】解：因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”， 所以， 即（m﹣10）2≥28.8075， 因为函数y＝（m﹣10）2在10≤m≤20时单调递增， 且m∈N*，（15﹣10）2＜28.8075，（16﹣10）2≥28.8075， 所以m的最小值为16， 所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50+16＝66． 故答案为：66． 16．【答案】拒绝． 【分析】根据独立性检验的性质求解． 【解答】解：由题意可知，χ2≈3.468＞2.707， 所以可推断拒绝原假设H0． 故答案为：拒绝． 17．【答案】17． 【分析】根据题意列出不等式χ2≥6.635，求解即可得出结论． 【解答】解：由题意知，χ2m≥6.635，解得m≥16.5875， 所以正整数m的最小值为17． 故答案为：17． 18．【答案】{45，50，55，60，65}． 【分析】求出χ2的观测值，利用给定信息，结合独立性检验列出不等式求解即得． 【解答】解：2×2列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 A地区 x B地区 x 合计 2x ， 由题可得：，解得40.3≤x＜69.7，又x是5的倍数， 则x可以取的值为45，50，55，60，65，所以x构成的集合为{45，50，55，60，65}． 故答案为：{45，50，55，60，65}． 四．解答题（共6小题） 19．【答案】（1）0.949； （2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验知，设备A的故障与设备B的故障有关． 【分析】（1）记“至少有1台设备发生故障”为事件A，“恰好有1台设备发生故障”为事件B，计算P（A）、P（B）和P（AB），再求P（B|A）； （2）零假设：设备A的故障与设备B的故障没有关系，根据2×2列联表计算χ2，对照附表得出结论． 【解答】解：（1）记“至少有1台设备发生故障”为事件A，记“恰好有1台设备发生故障”为事件B， 由题意知，每台设备发生故障的概率为0.05，不发生故障的概率为0.95， 所以P（A）＝1﹣0.953＝1﹣0.857375＝0.142625， P（B）0.05×0.952＝3×0.05×0.9025＝0.135375， 因为事件B包含于A中，所以P（AB）＝P（B）， 所以至少有1台设备发生故障的条件下，恰好有1台设备发生故障的概率为： P（B|A）0.949； （2）零假设：设备A的故障与设备B的故障没有关系， 根据2×2列联表，计算χ218.182＞10.828， 所以有充分的理由判断假设不成立， 即根据小概率值α＝0.001的独立性检验知，设备A的故障与设备B的故障有关． 20．【答案】（1） 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 （2）有关． 【分析】（1）结合题目数据列出联表即可求解； （2）结合独立性检验的定义即可求解． 【解答】解：（1）由题目数据可得联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 （2）零假设H0为：该校学生喜欢足球与性别无关， 而， 依据α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立， 即认为该校学生喜欢足球与性别有关． 21．【答案】（1）2×2列联表如下： 喜欢节目A 不喜欢节目A 合计 性格外向 80 20 100 性格内向 50 50 100 合计 130 70 200 （2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢娱乐节目A与性格外向有关． 【分析】（1）根据题意，填写2×2列联表即可； （2）零假设H0：是否喜爱娱乐节目与性格外向无关，由已知数据计算K2，对照附表得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下： 喜欢节目A 不喜欢节目A 合计 性格外向 80 20 100 性格内向 50 50 100 合计 130 70 200 （2）零假设H0：是否喜爱娱乐节目与性格外向无关，由已知数据，得： K219.780＞10.828． 根据α＝0.001的概率对应值，有充分的理由判断假设不成立， 即在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢娱乐节目A与性格外向有关． 22．【答案】（1）能； （2）． 【分析】（1）根据2×2列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可； （2）利用条件概率公式求解． 【解答】解：（1）零假设H0：该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄无关， 则χ27.179＞6.635， 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； （2）设事件A表示“抽中喜欢使用AI技术的教师”，事件B表示“抽中年龄超过45岁的教师”， 所以P（A），P（AB）， 所以P（B|A）， 即在抽中喜欢使用AI技术的教师的条件下，此人年龄超过45岁的概率为． 23．【答案】（1）m＝45，v＝35，u＝60，s＝70，t＝50； （2）认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联； （3）． 【分析】（1）利用列联表中行和、列和与总数之间的关系，通过简单的加减法运算求出m，v，s，t，u的值． （2）根据第（1）问求出的数据，代入卡方公式计算χ2的观测值，并与给定的临界值进行比较，从而判断两个分类变量是否有关联． （3）先求出高频锻炼组和低频锻炼组人数，然后根据分层抽样求出每组应抽取的人数，然后计算抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 【解答】解：（1）由列联表数据关系可知，m＝60﹣15＝45，u＝120﹣60＝60，v＝60﹣25＝35，s＝45+25＝70，t＝15+35＝50，综上，m＝45，v＝35，u＝60，s＝70，t＝50． （2）零假设H0：市民体育锻炼频次与体质达标无关联． 10.828， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断H0不成立， 因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联． （3）体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人， 则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人． 从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件总数有种， 设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况． 则． 24．【答案】（1）有关联； （2）0.28． 【分析】（1）利用给定列联表中数据求出χ2的观测值，再与临界值比对即可得解． （2）由给定的分布列，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解． 【解答】解：（1）零假设为H0：番茄果实糖度达标与灌溉类型无关联， 则， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立， 即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联； （2）令使用无土栽培的单株番茄产量为X1，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为X2， 抽到的2株番茄总产量为Y，则Y＝X1+X2， 则P（Y＞3）＝P（X1＝1.5）P（X2＝1.6）+P（X1＝2）P（X2＝1.2）+P（X1＝2）P（X2＝1.6） ＝0.5×0.2+0.3×0.4+0.3×0.2＝0.28， 所以抽到的2株番茄总产量大于3kg的概率为0.28． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $