精品解析：　期末复习 导练题 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

2022年下北师大版九年级上册导练（八）期末复习 一、基础练习 1. 已知反比例函数的图像过点，那么下列各点也在该函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程中有两个相等实数根的是 A. B. C. D. 4. 已知，____． 5. 如图，中，，，，D为的中点，则的长为____． 6. 某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到元．设平均每次降价的百分率为，则列出的方程是_______________． 7. 解方程：x2-6x+4=0（用配方法） 8. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，求搭成该几何体的小正方体的最多个数，并在俯视图的每个小正方形上标出小正方体的个数． 9. 某地新建幼儿园因缺教师招聘代课教师，每位报名考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格． （1）若某位考生只能答对E这道题，则他随机抽出一道题，正好抽到E的概率是 ； （2）若某位考生只能答对A、B两题，试求这位考生合格的概率． 二、提升练习 10. 如图，菱形的顶点在直线上，若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 11. 一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同，现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 13. 直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且，则k的值为___． 14. 若α，β是关于x的一元二次方程的两实根，，求m的值． 15. 如图是由两个等腰直角三角形组合的图形，请分别在图1和图2中，仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，作出AD的中点； （2）在图②中，△ABC与△DEF相似比为2:3，BC=2CE，作出BF的垂直平分线． 16. 如图，等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点C在反比例函数的图象上，若交轴于点D，． （1）求反比例函数的解析式； （2）将沿轴正方向平移，使边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，设平移距离为，请直接写出的值． 三、拓展练习 17. 已知正方形的边长为5，点E，F分别在，上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 18. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为_____． 19. 如图，在矩形中，点E在边上，，作的平分线，交于点F．点P为线段上一动点（不与E，F重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为M和N． （1）如图1，求证：； （2）在图1中，若，，当点P在线段上运动时，的值是否会发生变化？如果会，说明变化规律，如果不会，求此的值； （3）设，． ①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，试用含m，n的式子表示与之间的数量关系，并加以证明； ②如图3，当点P在线段的延长线上运动时，请直接用含m，n的式子表示与之间的数量关系．（不要求写证明过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年下北师大版九年级上册导练（八）期末复习 一、基础练习 1. 已知反比例函数的图像过点，那么下列各点也在该函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数经过点（-2，3）求出k的值，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点（-2，3）， ∴k=-2×3=-6． A、∵2×3=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误； B、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误； C、∵1×6=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误； D、∵6×（-1）=-6，∴此点在函数图象上，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的俯视图是． 3. 下列一元二次方程中有两个相等实数根的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分别解出方程对各选项进行逐一计算即可： A、无实数根，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选C． 4. 已知，____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 如图，中，，，，D为的中点，则的长为____． 【答案】5 【解析】 【分析】由勾股定理可得，再由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵D为的中点， ∴． 6. 某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到元．设平均每次降价的百分率为，则列出的方程是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】售价原来的元，平均每次降价的百分率为, ∴第一次降价后的售价为1185（1-）元， ∴第二次降价后的售价为1185（1-）（1-）=元． 故答案为： 7. 解方程：x2-6x+4=0（用配方法） 【答案】x1=+3，x2=-+3． 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】由原方程移项，得x2-6x=-4， 等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2-6x+9=-4+9， 即（x-3）2=5， ∴x=±+3， ∴x1=+3，x2=-+3． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 8. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，求搭成该几何体的小正方体的最多个数，并在俯视图的每个小正方形上标出小正方体的个数． 【答案】搭成该几何体的小正方体最多是7个，标出小正方体的个数见解析 【解析】 【分析】根据几何体的主视图和俯视图分析即可得出结果． 【详解】解：根据题意得 则搭成该几何体的小正方体最多是（个）． 9. 某地新建幼儿园因缺教师招聘代课教师，每位报名考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格． （1）若某位考生只能答对E这道题，则他随机抽出一道题，正好抽到E的概率是 ； （2）若某位考生只能答对A、B两题，试求这位考生合格的概率． 【答案】（1） （2）这位考生合格的概率是 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果，找出符合题意的结果，再由概率公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：若某位考生只能答对E这道题，则他随机抽出一道题，正好抽到E的概率是 【小问2详解】 解：根据题意，可画树状图如下： 从树状图看出，所有可能出现的结果共有20个，其中合格的结果有14个， 故这位考生合格的概率是 ． 二、提升练习 10. 如图，菱形的顶点在直线上，若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由∠MCN=180°，可求出∠BCD的度数，根据菱形的性质可得∠A的度数，再由AB=AD，进而可求出∠ABD的度数． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A=∠BCD，AB=AD． ∵∠1=50°，∠2=20°， ∴∠BCD=180°-50°-20°=110° ∴∠A=110°． ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=（180°－110°）÷2=35°． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形内角和定理的运用以及等腰三角形的判定和性质，熟记菱形的各种性质是解题的关键． 11. 一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同，现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，先列出树状图，找到所有情况及相应情况，求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 总共有6种情况，一红一蓝的有4种， ∴， 故选：C． 12. 如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 13. 直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且，则k的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】因为直线与反比例函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式，所以联立与的方程，可得到交点A、B的坐标表达式．因为A、B两点关于原点对称，所以可设其中一个点的坐标，利用两点间距离公式结合建立关于的方程．因为反比例函数中的正负会影响图象所在象限，但不影响两点间距离的计算，所以求解方程后结合函数性质确定的取值． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的交点、关于原点中心对称，由​， ∴原点到的距离． ∵在直线上， 设， 根据两点间距离公式： ， 解得． 又∵在反比例函数​， ∴． 若，则由， 得． 由于而， 因此方程无实数解， 即直线与反比例函数无交点． 故k必须大于0， 因此仅符合要求． 14. 若α，β是关于x的一元二次方程的两实根，，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵α，β是关于x的一元二次方程的两实根， ∴，， ∵， ∴． 15. 如图是由两个等腰直角三角形组合的图形，请分别在图1和图2中，仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，作出AD的中点； （2）在图②中，△ABC与△DEF相似比为2:3，BC=2CE，作出BF的垂直平分线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）分别延长BA、ED相交于一点，由题意可得四边形为平行四边形，连接对角线得交点F即为所求 （2）分别延长BA、ED相交于一点G，由题意可得△BFG为等腰直角三角形，再由△ABC与△DEF相似比为2:3，BC=2CE，可得BE=EF，即E为BF的中点，故连接GE即可求解 【详解】解：（1）画图如下：分别延长BA、ED相交于一点G，由题意可得 AGCD，ACGD ∴四边形ACDG为平行四边形 ∴连接对角线得交点F即为所求 （2）画图如下：分别延长BA、ED相交于一点G，由题意可得△BFG为等腰直角三角形 ∴BG=FG ∵△ABC与△DEF相似比为2:3，BC=2CE ∴BE=EF，即E为BF的中点 连接GE，则GE所在的直线即为所求 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是作出平行四边形和等腰直角三角形 16. 如图，等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点C在反比例函数的图象上，若交轴于点D，． （1）求反比例函数的解析式； （2）将沿轴正方向平移，使边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，设平移距离为，请直接写出的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和等腰直角三角形中边的关系，结合坐标与图形性质求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出值，即可得到反比例函数解析式； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，得出直线平移后的解析式，与反比例函数解析式联立，根据边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，，即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图，设交轴于点，过点作轴于点． 是等腰直角三角形，点为直角顶点， ， 轴， ， 又， ， ， ∵， ∴， 点B的坐标为， ， ， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点的坐标为， ∴点A和点C关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， ∵、， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 直线沿x轴正方向平移个单位后，直线方程为：， 与反比例函数解析式得， 整理得：， 当直线和反比例函数只有一个交点时，， 解得：​．（沿轴正方向平移，故负值舍去） 三、拓展练习 17. 已知正方形的边长为5，点E，F分别在，上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，证明得出，求出，由勾股定理可得，最后再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为边长为的正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴． 18. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为_____． 【答案】4或8或4 【解析】 【分析】如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心画⊙O交CD于P3．只要证明∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，即可推出FP1＝4，FP2＝8，FP3＝4解决问题． 【详解】如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心画⊙O交CD于P3． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°， ∵BF＝2，BE＝2，AF＝4，AD＝4， ∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝， ∴∠ADF＝∠FEB＝30°， 易知EF＝OF＝OD＝4， ∴△OEF是等边三角形， ∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°， ∴FP1＝4，FP2＝8，FP3＝4， 故答案为4或8或4． 【点睛】本题考查了矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 19. 如图，在矩形中，点E在边上，，作的平分线，交于点F．点P为线段上一动点（不与E，F重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为M和N． （1）如图1，求证：； （2）在图1中，若，，当点P在线段上运动时，的值是否会发生变化？如果会，说明变化规律，如果不会，求此的值； （3）设，． ①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，试用含m，n的式子表示与之间的数量关系，并加以证明； ②如图3，当点P在线段的延长线上运动时，请直接用含m，n的式子表示与之间的数量关系．（不要求写证明过程） 【答案】（1）证明见解析 （2）不会，， （3）①．证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得．由平行线的性质并结合角平分线的定义可得，即可得证； （2）由矩形的性质可得，，连接，作于H，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，求出，，由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算即可得出结果； （3）①由矩形的性质可得，，连接，作于H．则四边形是矩形，由矩形的性质可得，求出．．由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算即可得出结果；②同①计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图2，连接，作于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∵，，， ∴ ∵， ∴． 【小问3详解】 解：①．证明如下， ∵四边形是矩形， ∴，， 如图3中，连接，作于H， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图4，当点P在线段的延长线上运动时， ∵四边形是矩形， ∴，， 如图4中，连接，作于H，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $