大题突破07 磁场1（广东专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

大题07 磁场1 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 带电粒子在匀强磁场中的运动 通技法 带电粒子在匀强磁场中运动的解题方法 热点题型2 有界匀强磁场的运动模型 通技法 有界匀强磁场的运动模型的解题方法 热点题型3 带电粒子在组合场中的运动 通技法 带电粒子在组合场中的运动的解题方法 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 一、带电粒子在匀强磁场中的运动： 这类题型为带电粒子在以某种角度垂直射入某磁场中，求粒子的轨道半径、运动时间等物理量。求解的关键是定圆心和半径，需要学生掌握一定的几何知识。 二、有界匀强磁场的运动模型： 这类问题由于磁场是有边界的，空间往往受到约束从而决定了粒子运动的半径，进而影响其它物理量，造成临界状态和极值的存在。需要学生掌握一定的几何知识和具备较高的空间想象力。解题的关键在于临界状态和极值的确定。 三、带电粒子在组合场中的运动： 组合场为电场、磁场交替出现但不重叠，带电粒子在电场力作用下的运动与洛伦兹力作用下的运动有不同的特点，在高考中常把这两种情景组合起来，学生需要将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理，对速度、距离等的衔接要理清思路。 热点题型1带电粒子在匀强磁场中的运动 析典例·建模型 例1. 有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。 (1)求OK间的距离； (2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离； (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。    研考点·通技法 带电粒子在匀强磁场中运动的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动。 带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关。 3、解题方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 破类题·提能力 1. 亥姆霍兹线圈是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。它由一对完全相同的圆形导体线圈组成，这两个线圈的半径和匝数相同，且同轴排列。亥姆霍兹线圈能产生标准磁场，因此在物理实验中经常被使用。如图所示为一对通有相同方向且等大的恒定电流的亥姆霍兹线圈，形成如图平行中心轴线向右的匀强磁场，其磁感应强度B大小未知，现有一离子源放置于上某点位置O，持续发射初速度大小均为的粒子，其方向垂直于轴线向外，粒子所带电荷量均为，质量均为m。在x轴线上垂直放置一圆形探测屏，半径为R，其圆心位于x轴上的P点，用于接收粒子，探测屏圆心P与粒子源间的距离为d，不计粒子重力和粒子间相互作用。 (1)要产生如图所示方向的磁场，则亥姆霍兹线圈应通顺时针还是逆时针方向的电流（从左往右看）；若粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径恰好等于，则磁感应强度B应为多大? (2)断开亥姆霍兹线圈中电流，在垂直x轴线方向上放置一对平行板，两极板间形成匀强电场方向如图所示，要使得所有粒子恰好打在探测屏边缘，则该匀强电场E的电场强度应为多大? (3)若该空间同时存在第（1）问的磁场和第（2）问的电场，沿x轴平移探测屏，使所有粒子恰好打在探测屏的圆心，求探测屏圆心与粒子源间的距离有哪些值。 热点题型2有界匀强磁场的运动模型 析典例·建模型 例2. 如图，xOy坐标系所在的平面内，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。x轴上的点向直线的右侧各个方向发射大量质量为m、电荷量为q的带负电粒子，速度大小均为v。其中某粒子在点垂直于y轴离开磁场区域。不计粒子重力。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)从P点发出的粒子中是否有粒子能回到P点？若无，请说明理由；若有，请求出粒子从P点发出到回到P点的时间。 研考点·通技法 有界匀强磁场的运动模型的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 带电粒子刚好穿出磁场边界的条件：带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；时间最长或最短的临界条件：①当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；②当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长。 3、解题方法 极值的求解方法： ①物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值。 ②数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图像法、等效法、数学归纳法求极值。 破类题·提能力 2. 中国在地处大湾区的东莞市大朗镇水平村建造了一台散裂中子源（CSNS），如图甲所示。其原理是质子从静止开始经电场加速后垂直进入匀强磁场后分成不同方向的质子束去轰击不同的金属靶产生高能中子射线，加速及偏转系统原理简化示意图如图乙所示，右侧加速电场由两块平行金属板构成，板间电压；右侧偏转区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5T，磁场边界为圆形。质子的质量，电荷量。从加速电场左板由静止释放，经加速后正对磁场中心进入偏转磁场，最终偏转角从磁场边界射出沿直线打到1号靶上。 (1)求打在1号靶上的质子的速度大小v； (2)求打在1号靶上的质子在偏转磁场中运动的轨迹半径及运动时间（结果均保留2位有效数字）； (3)若在偏转磁场区域叠加垂直磁场方向的脉冲式电场（如图丙），质子周期性地交替进入圆形磁场区域。0时刻进入的第1个质子偏转90°角出磁场后最终打在1号靶上；第1个质子出磁场后立即进入第2个质子沿直线通过圆形磁场区域后最终打在2号靶上，第2个质子出磁场后立即进入第3个质子偏转90°角出磁场后最终打在1号靶上，第3个质子出磁场后立即进入第4个质子沿直线出磁场后最终打在2号靶上……如此持续交替进入，两部分质子恰好互不影响。求垂直磁场的电场强度大小、变化周期T及足够长时间后打在两个靶上的质子数个数之比。 热点题型3带电粒子在组合场中的运动 析典例·建模型 例3. 如图，直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一带电粒子从静止释放，经电场直线加速后从射出，紧贴下极板进入，而后从进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为、带电量为，、间距离为，、的板间电压大小均为，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求： (1)粒子经过时的速度大小； (2)粒子经过时速度方向与轴正向的夹角； (3)磁场的磁感应强度大小。 研考点·通技法 带电粒子在组合场中的运动的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 过程的划分：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 关键点的寻找：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 运动轨迹的绘制：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。 3、解题方法 破类题·提能力 3．现代科学仪器中常利用电磁场控制带电粒子的运动。如图，电子枪发出的电子（初速度可以忽略）经M、N之间的加速电场加速后，从A点进入宽度的虚线方形框内，虚线方形框内只有垂直纸面方向的匀强磁场或只有竖直向下的匀强电场时，电子都从B点飞出打在足够长的竖直荧光屏上。已知M、N之间的加速电压，A、B两点之间的竖直距离，虚线框的右边界到竖直荧光屏的距离，忽略电子的重力，电子的比荷。求： (1)虚线方形框内只有垂直纸面方向的匀强磁场时，匀强磁场的磁感应强度B； (2)虚线方形框内只有竖直向下的匀强电场时，匀强电场的电场强度E的大小； (3)电子两次打在荧光屏上的距离L。 刷模拟 1．如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场；电场强度大小为，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质子从坐标原点以某一速度飞入电场，先后经过点进入磁场。点坐标为点坐标为。已知质子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求质子在点的速度大小及该速度与轴正方向的夹角； (2)若质子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好垂直轴，求质子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若质子某次出磁场后能经过点（2d，0.5d），求磁感应强度的最小值。 2．四块荧光屏连接成正四棱柱的四个竖直侧面。MN、PQ分别为侧面和侧面中的一条竖直线。以O为原点，OC方向为x轴正方向，OA方向为y轴正方向，竖直向上为z轴正方向，建立空间直角坐标系。在AO的延长线上，与O点相距为d的S点是电子枪的出射孔，在SO的上侧区域内有沿x轴负方向，磁感应强度大小为的匀强磁场，该磁场在yoz平面内的分布情况如图乙所示。电子从P点无初速地飘入电子枪电场，经加速后从S孔垂直于SO方向射出，经SO上侧区域的磁场偏转后，恰好沿z轴负方向从O点进入正四棱柱内，打在荧光屏上某处，电子到达荧光屏上后立即被吸收。已知正四棱柱上下底面正方形的边长为a，棱柱高为，，，电子质量为m，电量绝对值为e，不考虑电子间的相互作用及电子对磁场和电场分布的影响。 (1)求电子枪中加速电场电压的大小 (2)若在四棱柱所在空间内只加一垂直于平面向外的匀强磁场（如图甲中所示），为确保电子能打在荧光屏上，求磁感应强度的最小值 (3)若在四棱柱所在空间内同时加沿x轴负方向的匀强电场和沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度为，电子恰好打在竖直线PQ上，求匀强电场的电场强度E。 3．为了研究微观粒子的运动，设计如图所示的实验装置。离子源A产生初速度为零、带电量均为、质量为的正离子，经电压为的加速电场加速后匀速通过准直管，从点垂直电场方向射入匀强偏转电场（O为偏转电场两极板的中点），偏转后通过极板上的小孔离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN进入方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场区域为等腰直角三角形．已知，，。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： (1)离子从O点进入偏转电场时速度的大小； (2)偏转电场两极板间的电压的大小以及离子离开偏转电场时速度的大小； (3)改变磁感应强度大小，可使离子打在不同位置上。当匀强磁场的磁感应强度大小为时，离子垂直打在的中点处，要使所有离子均打在上，求磁感应强度的调节范围。 4．如图，两个半圆状同心圆弧，分别交于坐标轴上的、、点和、、点。大圆半径为，辐向电场（电场方向由原点O向外）分布于两圆弧之间，其间的电势差为；圆弧内为无场区。半圆弧、、外侧区域有垂直纸面向里的足够大匀强磁场，其上边界在处，O点处有一粒子源，可以在平面内向x轴上方各个方向均匀射出带正电的粒子（粒子的质量为m、电荷量为q），初速度均为，先后经过电场和磁场区域。不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑粒子从磁场返回圆形区域边界后的运动。求： (1)粒子刚进入磁场区域时的速度大小； (2)某粒子初速度方向与x轴正方向夹角为，恰好不能从磁场上边界射出，则磁感应强度为多少； (3)调节不同的磁感应强度，则能从磁场上边界垂直射出的粒子的运动半径不同。其中半径最小时对应的磁感应强度为多少。 5．如图所示，空间中存在垂直于纸面（平面）向里的磁场，在轴上方磁感应强度大小为，在轴下方磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子（不计重力）从原点以与轴正方向成角的速度射入磁场，求： （1）粒子第一次经过轴时，与原点的距离； （2）粒子再次回到原点时经历的时间。 刷真题 1．如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 2．如图，边长为L的正方形区域及矩形区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与边平行的匀强电场，右边有一半径为且与相切的圆形区域，切点为的中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经边的中点进入区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 3．研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 4．如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 5．同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用，其测量系统如图1所示。将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪ESA-I、磁体-I和高电压清除器，让只含有三种碳同位素、、的离子束（初速度可忽略不计）进入磁体-Ⅱ．磁体-Ⅱ由电势差为U的加速电极P，磁感应强度为B、半径为R的四分之一圆弧细管道和离子接收器F构成。通过调节U，可分离、、三种同位素，其中、的离子被接收器F所接收并计数，它们的离子数百分比与U之间的关系曲线如图2所示，而离子可通过接收器F，进入静电分析仪ESA-Ⅱ，被接收器D接收并计算。 (1)写出中子与发生核反应生成，以及发生衰变生成的核反应方程式： (2)根据图2写出的离子所对应的U值，并求磁感应强度B的大小（计算结果保留两位有效数字。已知，原子质量单位，元电荷）； (3)如图1所示，ESA-Ⅱ可简化为间距两平行极板，在下极板开有间距的两小孔，仅允许入射角的离子通过。求两极板之间的电势差U： (4)对古木样品，测得与离子数之比值为；采用同样办法，测得活木头中与的比值为，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳定。试计算古木被砍伐距今的时间（已知的半衰期约为5700年，） 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题07 磁场1 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 带电粒子在匀强磁场中的运动 通技法 带电粒子在匀强磁场中运动的解题方法 热点题型2 有界匀强磁场的运动模型 通技法 有界匀强磁场的运动模型的解题方法 热点题型3 带电粒子在组合场中的运动 通技法 带电粒子在组合场中的运动的解题方法 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 一、带电粒子在匀强磁场中的运动： 这类题型为带电粒子在以某种角度垂直射入某磁场中，求粒子的轨道半径、运动时间等物理量。求解的关键是定圆心和半径，需要学生掌握一定的几何知识。 二、有界匀强磁场的运动模型： 这类问题由于磁场是有边界的，空间往往受到约束从而决定了粒子运动的半径，进而影响其它物理量，造成临界状态和极值的存在。需要学生掌握一定的几何知识和具备较高的空间想象力。解题的关键在于临界状态和极值的确定。 三、带电粒子在组合场中的运动： 组合场为电场、磁场交替出现但不重叠，带电粒子在电场力作用下的运动与洛伦兹力作用下的运动有不同的特点，在高考中常把这两种情景组合起来，学生需要将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理，对速度、距离等的衔接要理清思路。 热点题型1带电粒子在匀强磁场中的运动 析典例·建模型 例1. 有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。 (1)求OK间的距离； (2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离； (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。    【思路建立】　 第一问的思路： 第二问的思路： 第三问的思路： 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（1）当粒子到达О点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图所示    由洛伦兹力提供向心力得 其中 （2）速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则粒子在磁场中运动的轨迹半径 r2 = 4r1 如图所示，由几何关系有 （4r1-2r1）2＋MO2 = (4r1)2 解得 （3）速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，如图所示    由几何关系有 （4r1-2r1）2＋ON2 = (4r1)2 解得 粒子在打开磁场开关前运动时间为 解得。 研考点·通技法 带电粒子在匀强磁场中运动的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动。 带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关。 3、解题方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 破类题·提能力 1. 亥姆霍兹线圈是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。它由一对完全相同的圆形导体线圈组成，这两个线圈的半径和匝数相同，且同轴排列。亥姆霍兹线圈能产生标准磁场，因此在物理实验中经常被使用。如图所示为一对通有相同方向且等大的恒定电流的亥姆霍兹线圈，形成如图平行中心轴线向右的匀强磁场，其磁感应强度B大小未知，现有一离子源放置于上某点位置O，持续发射初速度大小均为的粒子，其方向垂直于轴线向外，粒子所带电荷量均为，质量均为m。在x轴线上垂直放置一圆形探测屏，半径为R，其圆心位于x轴上的P点，用于接收粒子，探测屏圆心P与粒子源间的距离为d，不计粒子重力和粒子间相互作用。 (1)要产生如图所示方向的磁场，则亥姆霍兹线圈应通顺时针还是逆时针方向的电流（从左往右看）；若粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径恰好等于，则磁感应强度B应为多大? (2)断开亥姆霍兹线圈中电流，在垂直x轴线方向上放置一对平行板，两极板间形成匀强电场方向如图所示，要使得所有粒子恰好打在探测屏边缘，则该匀强电场E的电场强度应为多大? (3)若该空间同时存在第（1）问的磁场和第（2）问的电场，沿x轴平移探测屏，使所有粒子恰好打在探测屏的圆心，求探测屏圆心与粒子源间的距离有哪些值。 【答案】(1)顺时针， (2) (3) 【详解】（1）根据安培定则，要产生如图所示方向的磁场，则亥姆霍兹线圈应通顺时针方向的电流（从左往右看），粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 其中 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向有 垂直于x轴方向有 由牛顿第二定律可知 联立解得 （3）根据运动独立性，粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，垂直于x轴方向做匀速圆周运动，故粒子回到x轴时间为粒子做匀速圆周运动周期的整数倍 x轴方向有 联立解得。 热点题型2有界匀强磁场的运动模型 析典例·建模型 例2. 如图，xOy坐标系所在的平面内，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。x轴上的点向直线的右侧各个方向发射大量质量为m、电荷量为q的带负电粒子，速度大小均为v。其中某粒子在点垂直于y轴离开磁场区域。不计粒子重力。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)从P点发出的粒子中是否有粒子能回到P点？若无，请说明理由；若有，请求出粒子从P点发出到回到P点的时间。 【思路分析】　 第一问的思路： 第二问的思路： 【答案】(1) (2)有， 【详解】（1）如图中轨迹①所示 从P点水平射入磁场的粒子可以垂直于y轴离开磁场，在磁场中，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，设轨迹半径为r，则有 由几何关系得 解得 （2）假设有粒子能回到P点，如图中轨迹②所示，设从P点沿x轴上方与x轴成角发射的粒子能回到P点，由几何知识得 解得 故假设成立，即有粒子能回到P点 粒子在磁场中运动时轨迹所对应的圆心角 粒子在磁场中运动的时间 粒子做匀速直线运动的时间 粒子从P点发出到回到P点的时间 联立解得。 研考点·通技法 有界匀强磁场的运动模型的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 带电粒子刚好穿出磁场边界的条件：带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；时间最长或最短的临界条件：①当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；②当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长。 3、解题方法 极值的求解方法： ①物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值。 ②数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图像法、等效法、数学归纳法求极值。 破类题·提能力 2. 中国在地处大湾区的东莞市大朗镇水平村建造了一台散裂中子源（CSNS），如图甲所示。其原理是质子从静止开始经电场加速后垂直进入匀强磁场后分成不同方向的质子束去轰击不同的金属靶产生高能中子射线，加速及偏转系统原理简化示意图如图乙所示，右侧加速电场由两块平行金属板构成，板间电压；右侧偏转区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5T，磁场边界为圆形。质子的质量，电荷量。从加速电场左板由静止释放，经加速后正对磁场中心进入偏转磁场，最终偏转角从磁场边界射出沿直线打到1号靶上。 (1)求打在1号靶上的质子的速度大小v； (2)求打在1号靶上的质子在偏转磁场中运动的轨迹半径及运动时间（结果均保留2位有效数字）； (3)若在偏转磁场区域叠加垂直磁场方向的脉冲式电场（如图丙），质子周期性地交替进入圆形磁场区域。0时刻进入的第1个质子偏转90°角出磁场后最终打在1号靶上；第1个质子出磁场后立即进入第2个质子沿直线通过圆形磁场区域后最终打在2号靶上，第2个质子出磁场后立即进入第3个质子偏转90°角出磁场后最终打在1号靶上，第3个质子出磁场后立即进入第4个质子沿直线出磁场后最终打在2号靶上……如此持续交替进入，两部分质子恰好互不影响。求垂直磁场的电场强度大小、变化周期T及足够长时间后打在两个靶上的质子数个数之比。 【答案】(1) (2)， (3)，， 【详解】（1）根据动能定理得 代入数据解得 （2）质子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 代入数据解得，质子的轨迹半径为 打在1号靶上的质子在磁场中运动的时间为 代入数据解得 （3）加上脉冲电场后，同时受磁场力和电场力的质子做匀速直线运动打在2号靶上，由共点力平衡得 代入数据解得，电场强度大小为 由几何关系知，磁场的半径为 打在2号靶上的质子在复合场中运动的时间为 代入数据解得 恰好互不影响时，脉冲电场的变化周期为 代入数据得，脉冲电场的变化周期为。 每个周期各有一个质子分别打在1号和2号靶上，足够长时间后打在两个靶上的质子数个数之比 热点题型3带电粒子在组合场中的运动 析典例·建模型 例3. 如图，直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一带电粒子从静止释放，经电场直线加速后从射出，紧贴下极板进入，而后从进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为、带电量为，、间距离为，、的板间电压大小均为，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求： (1)粒子经过时的速度大小； (2)粒子经过时速度方向与轴正向的夹角； (3)磁场的磁感应强度大小。 【思路分析】　 第一问的思路： 第二问的思路： 第三问的思路： 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从M到N的运动过程中，根据动能定理有 解得 （2）粒子在中，根据牛顿运动定律有 根据匀变速直线运动规律有 、 又 解得 （3）粒子在P处时的速度大小为 在磁场中运动时根据牛顿第二定律有 由几何关系可知 解得。 研考点·通技法 带电粒子在组合场中的运动的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 过程的划分：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 关键点的寻找：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 运动轨迹的绘制：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。 3、解题方法 破类题·提能力 3．现代科学仪器中常利用电磁场控制带电粒子的运动。如图，电子枪发出的电子（初速度可以忽略）经M、N之间的加速电场加速后，从A点进入宽度的虚线方形框内，虚线方形框内只有垂直纸面方向的匀强磁场或只有竖直向下的匀强电场时，电子都从B点飞出打在足够长的竖直荧光屏上。已知M、N之间的加速电压，A、B两点之间的竖直距离，虚线框的右边界到竖直荧光屏的距离，忽略电子的重力，电子的比荷。求： (1)虚线方形框内只有垂直纸面方向的匀强磁场时，匀强磁场的磁感应强度B； (2)虚线方形框内只有竖直向下的匀强电场时，匀强电场的电场强度E的大小； (3)电子两次打在荧光屏上的距离L。 【答案】(1)，方向垂直纸面向外 (2) (3) 【详解】（1）电子带负电，根据左手定则可知磁感应强度B方向垂直纸面向外，根据洛伦兹力提供向心力有 由几何关系可得 电子经过电场加速过程，根据动能定理可得 解得   方向垂直纸面向外。 （2）电子带负电，匀强电场的方向竖直向下，电子在电场中做类平抛运动，假设在电场中的时间为t，水平方向有 竖直方向有 加速度 解得 （3）只有垂直纸面方向的匀强磁场时，设从B点飞出的速度方向与水平方向的夹角为，由几何关系可得 电子打在荧光屏上与B点的竖直距离 只有匀强电场时，电子打在荧光屏上与A点的竖直距离设为，由几何关系可得， 解得电子两次打在荧光屏上的距离。 刷模拟 1．如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场；电场强度大小为，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质子从坐标原点以某一速度飞入电场，先后经过点进入磁场。点坐标为点坐标为。已知质子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求质子在点的速度大小及该速度与轴正方向的夹角； (2)若质子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好垂直轴，求质子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若质子某次出磁场后能经过点（2d，0.5d），求磁感应强度的最小值。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）质子在电场中做类斜抛运动，根据对称性可知，P点为抛物线的顶点，从O到Q点经过的时间为 由牛顿第二定律有 y方向做匀变速运动，O到P的时间为，根据位移时间关系 可得 x方向做匀速运动，O到Q过程中， 解得 y方向，由速度时间关系 可得， 质子在O点的速度 （2）根据运动的对称性可知，质子第一次到达Q点时速度大小为，方向与x轴正方向夹角为 质子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为，如图所示由几何关系有 质子在磁场中做匀速圆周运动的周期 质子在磁场中运动的时间 质子在电场和磁场中运动的总时间 （3）设质子第2次经过x轴的位置到O的距离为，如图所示 由几何关系有 质子某次出磁场后能经过点，需满足 可得 因质子在磁场中轨迹不能过第三象限，还需满足 所以 则，可得 即或 根据洛伦兹力提供向心力 可得 当越大时，B越小，即时磁感应强度有最小值 则. 2．四块荧光屏连接成正四棱柱的四个竖直侧面。MN、PQ分别为侧面和侧面中的一条竖直线。以O为原点，OC方向为x轴正方向，OA方向为y轴正方向，竖直向上为z轴正方向，建立空间直角坐标系。在AO的延长线上，与O点相距为d的S点是电子枪的出射孔，在SO的上侧区域内有沿x轴负方向，磁感应强度大小为的匀强磁场，该磁场在yoz平面内的分布情况如图乙所示。电子从P点无初速地飘入电子枪电场，经加速后从S孔垂直于SO方向射出，经SO上侧区域的磁场偏转后，恰好沿z轴负方向从O点进入正四棱柱内，打在荧光屏上某处，电子到达荧光屏上后立即被吸收。已知正四棱柱上下底面正方形的边长为a，棱柱高为，，，电子质量为m，电量绝对值为e，不考虑电子间的相互作用及电子对磁场和电场分布的影响。 (1)求电子枪中加速电场电压的大小 (2)若在四棱柱所在空间内只加一垂直于平面向外的匀强磁场（如图甲中所示），为确保电子能打在荧光屏上，求磁感应强度的最小值 (3)若在四棱柱所在空间内同时加沿x轴负方向的匀强电场和沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度为，电子恰好打在竖直线PQ上，求匀强电场的电场强度E。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，运动半径 由洛伦兹力提供向心力有 解得 由动能定理有 解得 （2）当较小时，由几何关系 得 由 解得 （3）电子在四棱柱中的运动可以分解为沿轴正方向的匀加速直线运动和在平面内的匀速圆周运动，代入， 可得 由几何关系得图中 解得 电子做匀速圆周运动的周期为 故电子在正四棱柱中运动的时间为 沿轴正方向的匀加速直线运动 解得 3．为了研究微观粒子的运动，设计如图所示的实验装置。离子源A产生初速度为零、带电量均为、质量为的正离子，经电压为的加速电场加速后匀速通过准直管，从点垂直电场方向射入匀强偏转电场（O为偏转电场两极板的中点），偏转后通过极板上的小孔离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN进入方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场区域为等腰直角三角形．已知，，。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： (1)离子从O点进入偏转电场时速度的大小； (2)偏转电场两极板间的电压的大小以及离子离开偏转电场时速度的大小； (3)改变磁感应强度大小，可使离子打在不同位置上。当匀强磁场的磁感应强度大小为时，离子垂直打在的中点处，要使所有离子均打在上，求磁感应强度的调节范围。 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）正离子在加速电场中，根据动能定理可得 解得 （2）正离子在偏转电场中做匀变速曲线运动，水平方向上做匀加速运动，有 其中 在竖直方向上做匀速直线运动，有 联立解得 正离子沿电场方向的速度为 则 解得： （3）当离子打在NQ中点时，由洛伦兹力提供圆周运动所需要的向心力，有 解得 若增大磁感应强度，离子运动半径减小，当离子恰好打到点时，运动半径 可得 若减小磁感应强度，离子运动半径增大，由几何关系可得，当离子轨迹与相切时， 所以 求得 故磁感应强度B取值范围是：. 4．如图，两个半圆状同心圆弧，分别交于坐标轴上的、、点和、、点。大圆半径为，辐向电场（电场方向由原点O向外）分布于两圆弧之间，其间的电势差为；圆弧内为无场区。半圆弧、、外侧区域有垂直纸面向里的足够大匀强磁场，其上边界在处，O点处有一粒子源，可以在平面内向x轴上方各个方向均匀射出带正电的粒子（粒子的质量为m、电荷量为q），初速度均为，先后经过电场和磁场区域。不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑粒子从磁场返回圆形区域边界后的运动。求： (1)粒子刚进入磁场区域时的速度大小； (2)某粒子初速度方向与x轴正方向夹角为，恰好不能从磁场上边界射出，则磁感应强度为多少； (3)调节不同的磁感应强度，则能从磁场上边界垂直射出的粒子的运动半径不同。其中半径最小时对应的磁感应强度为多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子刚离开电场时的速度为v，则粒子在电场中有 解得 （2）粒子的运动轨迹如图所示： 由图可知粒子做圆周运动的半径 则由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）粒子的运动轨迹如下图所示： 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，是粒子做圆周运动的圆心，令间的距离为d，则由几何关系可知，d的大小总满足 当最小时，d也最小，由图可知 代入可求 由洛伦兹力提供向心力得 解得半径最小时对应的磁感应强度为。 5．如图所示，空间中存在垂直于纸面（平面）向里的磁场，在轴上方磁感应强度大小为，在轴下方磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子（不计重力）从原点以与轴正方向成角的速度射入磁场，求： （1）粒子第一次经过轴时，与原点的距离； （2）粒子再次回到原点时经历的时间。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）带负电的粒子进入轴上方磁场后受洛伦兹力发生偏转，到达轴以后进入轴下方的磁场，在轴下方的磁场中受洛伦兹力发生偏转，如图所示 粒子在轴上方运动的轨迹为，根据 解得 由几何关系可得 即粒子第一次经过轴时，与原点的距离为 （2）由几何关系可得，粒子在轴上方运动时轨迹圆弧所对的圆心角均为 在轴下方运动时轨迹圆弧所对的圆心角为 则粒子再次回到原点时经历的时间为 。 刷真题 1．如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在左侧磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 （2）粒子在左侧磁场运动，设从MN射出时速度方向与MN的夹角为θ，由于O到的距离，结合，根据几何关系可知； 粒子在MN和PQ之间做匀速直线运动，所以粒子从PQ进入右侧磁场时与PQ的夹角；粒子在右侧磁场做匀速圆周运动有 解得 根据几何关系可知粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距 （3）由图可知粒子在左边磁场运动的时间 粒子在右边磁场运动的时间 根据对称性可知粒子在MN左侧进出磁场的距离 所以粒子从MN到PQ过程中运动的距离为 粒子在MN和PQ之间运动的时间 综上可知粒子完成完整运动回到O点的周期为 2．如图，边长为L的正方形区域及矩形区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与边平行的匀强电场，右边有一半径为且与相切的圆形区域，切点为的中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经边的中点进入区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子带正电，经边的中点速度水平向右，设粒子到达边的中点速度大小为，带电荷量为，质量为，由平衡条件则有 解得 （2）粒子从b点到边的中点的运动，可逆向看作从边的中点到b点的类平抛运动，设运动时间为，加速度大小为，由牛顿第二定律可得 由类平抛运动规律可得 联立解得粒子的电荷量与质量之比 （3）粒子从中点射出到圆形区域做匀圆周运动，设粒子的运动半径为，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 粒子在磁场中运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为，由几何关系可知 可得 则有 3．研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 4．如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 解得 （2）根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间为 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 联立解得 （3）若粒子从a点以竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为，粒子在磁场中运动的半径仍为，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角 结合小问2分析可知，粒子在电场中的运动时间为 间的距离为 由几何关系可得 则 粒子在磁场中的运动时间为 则有 综上所述可知，粒子每隔时间向右移动，则漂移速度大小 5．同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用，其测量系统如图1所示。将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪ESA-I、磁体-I和高电压清除器，让只含有三种碳同位素、、的离子束（初速度可忽略不计）进入磁体-Ⅱ．磁体-Ⅱ由电势差为U的加速电极P，磁感应强度为B、半径为R的四分之一圆弧细管道和离子接收器F构成。通过调节U，可分离、、三种同位素，其中、的离子被接收器F所接收并计数，它们的离子数百分比与U之间的关系曲线如图2所示，而离子可通过接收器F，进入静电分析仪ESA-Ⅱ，被接收器D接收并计算。 (1)写出中子与发生核反应生成，以及发生衰变生成的核反应方程式： (2)根据图2写出的离子所对应的U值，并求磁感应强度B的大小（计算结果保留两位有效数字。已知，原子质量单位，元电荷）； (3)如图1所示，ESA-Ⅱ可简化为间距两平行极板，在下极板开有间距的两小孔，仅允许入射角的离子通过。求两极板之间的电势差U： (4)对古木样品，测得与离子数之比值为；采用同样办法，测得活木头中与的比值为，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳定。试计算古木被砍伐距今的时间（已知的半衰期约为5700年，） 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【详解】（1）中子与发生核反应生成的核反应方程式为 发生衰变生成的核反应方程式为 （2）在加速电场中，由动能定理得 解得 磁场中，洛伦兹力提供向心力 联立解得 ， 相比，的比荷更大，通过圆形管道所需要的电压更大，通过图2可知当电压为时，与的离子数百分比为，故的离子所对应的U值为。 根据整理得 （3）由题意知，粒子在板间做类斜抛运动，水平方向有 ， 竖直方向有 ，， 联立解得 （4）古木中与比值是活木头中的，说明经过衰变后只剩下，已知经过一个半衰期剩下，设经过n个半衰期，则有 解得 则砍伐时间 画出粒子的运动轨迹 根据圆周运动知识和几何知识可求出磁感应强度 根据题中条件，画出成立的运动轨迹，并根据几何关系求出角度 根据成立的轨迹图像利用角度关系求出圆周运动的角度，求出运动时间 粒子出磁场后做直线运动求出直线运动的时间 根据轨迹中的几何知识求出OK间的距离 粒子做匀速圆周运动，根据物理规律求出运动半径，画出运动轨迹图 粒子从M点运动到N点，做匀加速运动 根据根据动能定理可求出速度 粒子在偏转电场中做类平抛运动 根据类平抛运动的规律列方程组进行求解 速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，可求出半径，画出运动轨迹 根据轨迹中的几何知识求出MO间的距离 根据第二问求出p点速度 粒子进入磁场，洛伦兹力提供为向心力，列方程 根据几何知识联立方程可求出磁感应强度 根据题中给的条件，分析粒子运动轨迹 根据几何关系求出ON的距离 根据运动学知识可求出粒子在打开磁场开关前运动时间 30 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $