系统沉淀训练11平面向量——2026届高三数学三轮冲刺

2026高考前45天 系统沉淀训练11平面向量（学生版） 主要考点：【1】平面向量的基本概念；【2】平面向量的线性运算；【3】平面向量的基本定理及坐标运算；【4】平面向量的数量积；【5】平面向量与其他知识点的综合运用. 一、单选题 1．（2026·河南焦作·模拟预测）已知单位向量，，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．5 3．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江西·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 7．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北·二模）函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 9．（25-26高一下·山东青岛·月考）中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 10．（25-26高一下·河南平顶山·月考）在中，，是线段的中点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D．4 二、多选题 11．（2026·浙江杭州·二模）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 12．（2026·新疆·模拟预测）已知向量，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．的最小值为 13．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（   ）. A． B． C．与的夹角为 D．存在，使得 三、填空题 14．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 15．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为______. 16．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则______． 17．（2026·全国·模拟预测）已知的顶点坐标分别为，，，则的角平分线所在的直线方程为________． 四、解答题 18．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 19．（2025·广东深圳·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练11平面向量（详解版） 主要考点：【1】平面向量的基本概念；【2】平面向量的线性运算；【3】平面向量的基本定理及坐标运算；【4】平面向量的数量积；【5】平面向量与其他知识点的综合运用. 一、单选题 1．（2026·河南焦作·模拟预测）已知单位向量，，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两边同时平方并展开可得， 又因为，所以，解得， 所以与的夹角为． 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】用两种方式表示点的位置，然后利用向量基，底不共线，对应系数相等，得到. 【详解】依题意，, 所以，所以， 又因为，设， 所以， 即，因为，不共线，所以，所以， 所以. 3．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 4．（2026·江西·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 5．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】设，，则，， 由，消去整理得， 则， 所以，， 则 ， 所以，解得. 故选：B 6．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据投影向量计算公式得，再平方后展开代入计算即可. 【详解】由题意得在上的投影向量为， 则，则， 则. 故选：B. 7．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线得到的关系式，再代入，利用导数求得函数最值即可. 【详解】因为为的重心， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以， 因为在线段上，所以与同向且， 于是，同理， 结合得. 目标函数为， 记，， 求导，得：， 所以在上单调递增， 故选：C 8．（2026·湖北·二模）函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用向量把函数转化为模长乘积形式，进而利用数量积的性质转化为三角函数的最值问题. 【详解】设，，则． 故. 故选：B 9．（25-26高一下·山东青岛·月考）中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求得，将化为，即，即可求出答案. 【详解】设外接圆半径为， 由正弦定理得，所以， 由圆的性质得， ， 所以当，即，即时， 取得最大值，最大值为. 10．（25-26高一下·河南平顶山·月考）在中，，是线段的中点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据向量的减法及数乘关系计算得出，再设，进而结合三点共线系数关系计算求解得出参数. 【详解】因为，所以， 所以. 设，则， 因为，，三点共线，是线段的中点， 所以， 则，解得，， 则. 二、多选题 11．（2026·浙江杭州·二模）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 【答案】BC 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 12．（2026·新疆·模拟预测）已知向量，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】A选项，根据向量垂直得到方程，求出；B选项，根据得到B正确；C选项，由投影向量的公式得到C正确；D选项，举出反例得到D错误. 【详解】A选项，，若， 则，解得，A错误； B选项，，则，故， 所以，B正确； C选项，， 在上的投影向量为，C正确； D选项，， 故，当时，，D错误. 故选；BC 13．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（   ）. A． B． C．与的夹角为 D．存在，使得 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积，模长，求两向量的夹角公式计算即可. 【详解】对于，，故正确； 对于，，，所以，故正确； 对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误； 对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确. 故选：. 三、填空题 14．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    15．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为______. 【答案】 【分析】先利用向量的数量积的运算律得，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可. 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 16．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则______． 【答案】1 【分析】根据向量数量积的性质列方程求解即可. 【详解】因为为单位向量，所以. 由可得， 解得. 故答案为：1. 17．（2026·全国·模拟预测）已知的顶点坐标分别为，，，则的角平分线所在的直线方程为________． 【答案】 【分析】设的角平分线的方向向量为，根据，进而得到角平分线的斜率，然后利用点斜式得到所求直线的方程. 【详解】根据题意可知，， 所以可知，可知角平分线的斜率为， 则可知的角平分线所在的直线方程为, 化简可知. 故答案为： 四、解答题 18．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出． （2）利用向量的数量积求出的值，设的长为，则，利用三角形的面积公式得到的等式，解出的值，即为的长． 【详解】（1）由． 故，而，得． （2）由， 设的长为，由． 即的长为． 19．（2025·广东深圳·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解. （2）（i）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解；（ii）利用向量数量积的运算律及基本不等式求出最大值，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得，而，所以. （2）（i）由，得，， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得， 所以. （ii）由得，得，则， 因此，即， 当且仅当时取等号，则，， 所以当时，的面积取得最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $