精品解析：江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高一数学试卷

2025~2026学年第二学期期中质量监测高一数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知是边上一点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，点在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知平面向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角的对边分别为，，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若，则的面积最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为实数，若，，，，是不共线的两个非零向量且，，三点共线，则________． 13. 已知，则的值为______． 14. 在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在边长为4的等边中，是边上的中线，为的中点，设，． （1）试用基底表示； （2）求的值． 16. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 在中，分别为角的对边． （1）若，求角的大小； （2）若，，求的余弦值． 18. 在平面凸四边形中，． （1）若． ①求的长； ②求四边形的面积； （2）若，求的长． 19. 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”． （1）当时，若，求的长； （2）若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； （3）设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中质量监测高一数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 在中，若，，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用正弦定理的边化角公式，得出，即可求出结果. 【详解】解：由题可知，，， 而， 即. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，运用了正弦定理的边化角公式，属于基础题. 3. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正余弦的边角关系及三角恒等变换得到（或），即可得. 【详解】法一：由及正弦边角关系得，又， 所以，即， 由，则，且，即， 法二：， 综上，是直角三角形且，但不能确定的关系. 4. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用加法求. 【详解】在平行四边形中， ，， 所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设与的夹角为， 因为，所以. 又，所以， 所以，解得. 所以，所以. 所以，又，所以， 所以与的夹角为. 6. 在中，已知是边上一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，， 因为，所以， 在中，. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 又，所以当时，. 8. 在中，已知，点在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用表示与，借助于，应用正弦定理、和角公式与二倍角公式、同角三角函数关系计算即得. 【详解】因，则， 在中，因，则. 由正弦定理得，即，整理得， 两边取平方得， 由，可得，代入得，即. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知平面向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，由与的夹角为钝角，可得且， 即，故C正确； 对于D，由在上的投影向量为，可得， 则，故D正确. 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】综合运用正弦、余弦及正切的和差角公式进行计算. 【详解】对于A选项，， 所以，，A是； 对于B选项，，B不是； 对于C选项， ，C不是； 对于D选项, ，D是. 11. 在中，角的对边分别为，，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若，则的面积最大值为6 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，利用展开，再借助两角和的正弦公式化简，即可求得；B选项，由，结合正余弦定理化简，可得结果；C选项，将用表示，用均值不等式可得最小值；D选项，代入，结合与面积公式，可求得面积的最大值. 【详解】对于A：因为，又，所以， 所以，即， 所以，即， 所以，故A错误； 对于B：因为，由正余弦定理得：，整理得：，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时取到最小值，故C正确； 对于D：因为，，所以， 又因为， 又因为， 所以 ， 所以当时，面积达到最大值为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为实数，若，，，，是不共线的两个非零向量且，，三点共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，，再根据，，三点共线得到，共线，再利用向量共线定理即可求解． 【详解】因为，， 又，是不共线的两个非零向量， 且，，三点共线，即，共线， 则，解得． 故答案为：． 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解． 【详解】，， ，， ． 故答案为：． 14. 在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用两角和的正弦展开式得，由正弦定理得，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以 ， ， 所以， 则的面积为. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在边长为4的等边中，是边上的中线，为的中点，设，． （1）试用基底表示； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用中线向量公式，结合向量的线性运算，即可求解； (2)利用向量的数量积运算，即可求值. 【小问1详解】 因为是的中线，所以， 又因为是中点，所以， 即； 【小问2详解】 由题意，， 因为是等边三角形，与夹角为， 所以 ， 由. 16. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为已知，所以可利用同角三角函数的基本关系求出和，再结合二倍角余弦公式来计算； （2）因为为锐角，且，所以可先确定的范围，再利用同角三角函数基本关系求出和，因为，所以可利用正切的差角公式的变形，将转化为进行计算. 【小问1详解】 已知为锐角，由， 结合同角三角函数关系，解得：， 由二倍角公式，代入得：； 【小问2详解】 因为为锐角，所以，又，因此， 由同角三角函数关系得：， 因此， 又，由正切差角公式：， 代入得：. 17. 在中，分别为角的对边． （1）若，求角的大小； （2）若，，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角性质即可求的大小； （2）设，且，在应用正弦定理列方程求，根据同角三角函数关系即可求的大小. 【小问1详解】 由正弦边角关系得：， 所以 则，即， 所以（舍）或，故 . 【小问2详解】 设， 因为，所以，所以是等边三角形， 所以，即，所以， 在中，， 所以， ，所以，所以， 所以， 所以，且， 所以. 18. 在平面凸四边形中，． （1）若． ①求的长； ②求四边形的面积； （2）若，求的长． 【答案】（1）① ② （2） 【解析】 【分析】（1）第①小问用两次余弦定理即可，第②小问直接用面积公式即可. （2）设，用表示各边，再对用余弦定理即可. 【小问1详解】 ①，，即 由余弦定理得， 代入得：， 化简得：，解得. ②设四边形的面积为，， . 【小问2详解】 如下图，过点作垂线交于，设， ， 四边形是矩形，， 对用勾股定理得：， 对用勾股定理得：， 对用余弦定理得：， 即，化简得 两边平方得：， 再化简得：， 解得或4，，或2， 又是锐角三角形，， 即，得 ，. 19. 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”． （1）当时，若，求的长； （2）若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； （3）设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：． 【答案】（1）17 （2）10 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先判断为直角三角形，求出，再由余弦定理即可求得的长； （2）设，结合图形将分别用表示，利用向量数量积的运算律将待求式化成关于的二次函数，结合的范围即可求得其最大值； （3）利用三角形的重心性质与向量的线性运算分别表示出，再求和即得证. 【小问1详解】 如图，因，则为直角三角形，则， 于是，又， 在中，由余弦定理，， 故 【小问2详解】 如图，设，则， ， ，因， 则 ， 因，则当时，取得最大值为10； 【小问3详解】 如图，设为的“变换三角形”， 则， ， ， 于是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $