江苏省宿迁市沭阳塘沟高级中学2024-2025学年高一下学期期中学情检测数学练习试卷

高一数学期中学情检测练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则与的方向相反 C．若，则 D．向量与向量的长度相等 2．在中，，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，满足，，且在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 9．若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ）． A． B． C．bc的最大值为 D．为钝角三角形 11．抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主，曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则存在实数，使得 B． C． D． 三、填空题 12．已知为第三象限角，且，则的值为 ． 13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A= ． 14．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知向量满足，且与的夹角为. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 16．已知，． (1)求的值； (2)若，，求角的大小． 17．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 18．如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 19．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，    (1)请用来表示平行四边形的面积； (2)若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A B B C A AC ABD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】对于A，利用共线向量和相等向量的定义，即可求解；对于B，根据条件得到与的方向相同或与中有零向量，即可求解；对于C，取，即可求解；对于D，利用相反向量的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，单位向量是指模等于的向量，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反， 当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以选项A错误， 对于选项B，若，则与的方向相同或与中有零向量，所以选项B错误， 对于选项C，当时，对于任意向量和，都有且， 但与不一定平行．因为零向量与任意向量都平行，所以选项C错误， 对于选项D，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的， 因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项D正确， 故选：D. 2．A 【分析】借助余弦定理计算即可得. 【详解】由余弦定理可得. 故选：A. 3．D 【分析】利用两角差的正弦公式、正切的二倍角公式、余弦的二倍角公式，即可判断出三者的大小，做出结论. 【详解】由， 又， 且， 因为 所以，即. 故选：D 4．A 【分析】利用投影向量公式即可求解. 【详解】设，由在上的投影向量为，知，解得. 故选：A 5．B 【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】易知， 所以 . 故选：B 6．B 【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值. 【详解】由. 由. 由. 所以. 故选：B 7．C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号，因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 8．A 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：A. 9．AC 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 10．ABD 【分析】根据余弦定理、商关系、二倍角公式和基本不等式计算分别判断各个选项； 【详解】对于A，因为，结合余弦定理推论可得， ，化简得，解得（舍）或，A正确； 对于B，因为， 所以，又， 所以，B正确； 对于C，解得， 根据余弦定理可得，代入得 利用基本不等式， 当且仅当时取等号； 所以，C错误； 对于D，是钝角，D正确； 故选：ABD. 11．BCD 【分析】根据平面向量基本定理可知A错误；根据向量数量积的坐标运算可知B正确；根据新定义运算可知C正确；根据新定义以及数量积的坐标运算可知D正确. 【详解】对于A，因为不共面，所以这样的实数不存在，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D正确． 故选：BCD. 12． 【分析】由，及为第三象限角，得的值，由为第三象限角确定的范围，再根据2倍角公式求的值. 【详解】为第三象限角， ，，， ，即， 即， 解得： 为第三象限角， 为第二或第四象限， . 故答案为：. 13．// 【分析】首先利用半角公式将原式化为关于的等式，再和余弦定理比对，得到等量关系解出角. 【详解】对于等式左边，；对于等式右边，由于， 代入等式整理得，由余弦定理可得， 故，因为，所以，因为，所以． 14． 【分析】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取的中点可得，易得，即可求得的最小值为. 【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据垂直得出数量积为零，结合夹角和模长可求答案； （2）先求数量积和模长，代入夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 所以，解得. （2）因为， ， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）由余弦二倍角公式及同角三角函数关系即可求解； （2）由两角和的正切公式求得的正切，进而可求解； 【详解】（1）因为， 又，所以． 又，得，所以． （2）由（1）可知， 因为，，所以， 所以． 17．(1) (2). 【分析】（1）对给定式子合理变形，结合余弦定理求解角度即可. （2）利用三角形面积公式求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，则， 由余弦定理得. 又，解得. （2）由的面积为，得， 即，解得， 由余弦定理得， 因为，，所以， 即，而，解得. 18．(1)（i），；（ii）3，；；. (2). 【分析】（1）（i）根据向量的线性运算即可求得；（ii）由向量数量积的性质及运算即可求得； （2）由数量积结合二次函数即可求得. 【详解】（1）（i）由点为的中点，点为的中点， 可得，； （ii）由，，， 则，， 可得 ； 由， 可得； 由， 可得； ； （2）， 设，由题意可知，， 由此得到， 由，，可得， 即的取值范围为. 19．(1) (2)①，；② 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）①运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可；②通过建系，得出点的坐标，利用的三角函数来表示，再由三角函数的性质即可求得的范围. 【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，在中，， 在中，，则，    所以， 所以 （2）①若，由题意可得， 由（1）知： 故平行四边形的面积 由于，故， 故当时，即时，取得最大值为. ②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即    又，则 因，即， 则，， 解得：，， ， 由点是弧上一动点，则，则， 所以即. 则的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$