专题5.4 分式与分式方程【章节复习培优讲义】知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共65题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.4 分式与分式方程『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共65题） 〔解析版〕 2 知识点一 分式相关概念 2 知识点二 分式的基本性质 2 知识点三 分式的变号法则 2 知识点四 分式的约分，最简分式 3 知识点五 分式通分（找最简公分母） 3 知识点六 分式的乘除 3 知识点七 分式的乘方 3 知识点八 同分母分式的加减 3 知识点九 异分母分式的加减 4 知识点十 科学记数法 4 知识点十一 零指数 4 知识点十二 分式方程的概念 4 知识点十三 分式方程的解法 4 知识点十四 分式方程的应用 5 重点难点 考点讲练 5 考点讲练一 分式的求值 5 考点讲练二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 6 考点讲练三 求使分式值为整数时未知数的整数值 7 考点讲练四 利用分式的基本性质判断分式值的变化 8 考点讲练五 将分式的分子分母的最高次项化为正数 9 考点讲练六 将分式的分子分母各项系数化为整数 10 考点讲练七 约分 11 考点讲练八 最简分式 12 考点讲练九 分式乘除混合运算 13 考点讲练十 含乘方的分式乘除混合运算 14 考点讲练十一 整式与分式相加减 14 考点讲练十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 17 考点讲练十三 分式加减混合运算 18 考点讲练十四 分式加减的实际应用 19 考点讲练十五 分式加减乘除混合运算 21 考点讲练十六 分式化简求值 22 考点讲练十七 分式最值 23 考点讲练十八 根据分式方程解的情况求值 25 考点讲练十九 分式方程无解问题 26 考点讲练二十 列分式方程 28 考点讲练二十一 分式方程的行程问题 29 考点讲练二十二 分式方程的工程问题 30 考点讲练二十三 分式方程的经济问题 32 考点讲练二十四 分式方程和差倍分问题 33 考点讲练二十五 分式方程的其它实际问题 36 中考真题 实战演练 37 难度分层 闯关训练 43 【基础夯实 能力提升】 43 【创新拓展 拔尖冲刺】 45 知识点一 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【易错点拨】根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有 .分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是 单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点十 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点十一 零指数 a0=1 (a≠0) 知识点十二 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十三 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十四 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 考点讲练一 分式的求值 【典例分析】（24-25八年级下·浙江金华·月考）若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，求代数式的值，掌握分式的性质是解题的关键； 设，分与两种情况考虑，利用分式的知识即可求解． 【详解】解：设， 则， 以上三式相加得：； 当时，则； 此时， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上，的值为或； 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南京·月考）若 ，则 的值等于_____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，涉及到了完全平方公式，解题关键是利用完全平方公式进行配方． 对原式利用完全平方公式进行配方得到，，进而得到，即可求出的值． 【详解】解： ， ，， ，， ， 的值等于． 故答案为：． 考点讲练二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【典例分析】（24-25八年级下·安徽滁州·月考）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 【变式训练】（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 考点讲练三 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例分析】（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或1 【分析】本题考查了分式的值为整数问题，将分式化为，根据分式的值是正整数，是整数进行求解即可． 【详解】解： ， 分式的值是正整数，是整数， 或， 解得：或1或0， 故答案为：或0或1． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有_______个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 考点讲练四 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例分析】（24-25八年级下·全国·课后作业）将分式中的的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴将分式中的的值都扩大为原来的3倍，则分式的值扩大为原来的3倍， 故选：D． 【变式训练】（2024八年级下·浙江·专题练习）已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ____． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：6． 考点讲练五 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【典例分析】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 考点讲练六 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例分析】（24-25八年级下·江西宜春·月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 考点讲练七 约分 【典例分析】（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，分式的值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先得出，再将代入，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·海南海口·月考）约分： （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 考点讲练八 最简分式 【典例分析】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． 【详解】A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个． 【答案】5 【分析】先列出所有可能的分式，再判断哪些是最简分式． 【详解】解：①分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子可分解为，与分母有公因式，可约分为，非最简； ：分子与分母无公因式，为最简分式． 此类分式中，最简分式有个． ②分母为的情况： ：分子为常数，分母分解为，无公因式，为最简分式； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简． 此类分式中，最简分式有个． ③分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子与分母无公因式，为最简分式； ：分子分解为，与分母有公因式，可约分，不是最简分式． 此类分式中，最简分式有个． 故共有个． 故答案为：． 考点讲练九 分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的乘除法法则进行计算即可； （2）先通分，然后按同分母分式加减法计算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键． 先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 考点讲练十 含乘方的分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽滁州·月考）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 考点讲练十一 整式与分式相加减 【典例分析】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，求a，b的“传承数”c； (2)若，且，求a，b的“传承数”c； (3)若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 【答案】(1) (2)1或 (3)2或0或4或 【分析】本题考查新定义，分式的求值，分式的加减运算： （1）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，进行计算即可； （2）先根据，利用完全平方公式，求出的值，然后根据求出c即可； （3）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，求出c，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴a，b的“传承数”c的值为； （2）∵， ， ， ， ∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴a，b的“传承数“c为1或； （3）∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， ∵c，n都为整数， ∴或， 解得：或0或4或． 【变式训练】（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可； （3）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，再进行约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 考点讲练十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例分析】（24-25八年级下·上海·月考）已知，其中为常数，则______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·上海松江·月考）已知，其中A、B为常数，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由①②得：， 所以． 考点讲练十三 分式加减混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南怀化·期末）已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为________． 【答案】180 【分析】本题考查了分式的加减，先通分，再根据分式的加减法法则计算，根据题意求出符合条件的的值，计算即可，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 【详解】解： ∵为整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴符合条件的的值的积为： 故答案为：． 考点讲练十四 分式加减的实际应用 【典例分析】（24-25八年级下·陕西西安·月考）汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（   ） A．甲方案实惠 B．乙方案实惠 C．哪种方案实惠需由两次油价决定 D．两种方案一样实惠 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较法在不等式大小比较中的应用，设两次加油的油价分别为a，且将两次加油的平均油价分别用a，b表示出来，作差即可比较大小． 【详解】解：设两次加油的油价分别为a，且， 甲方案：设每次加油总金额为W，则平均油价； 乙方案：设每次加油量为N，则平均油价， 则， 因为，a，且， 所以，，， 所以，， 所以，，甲方案实惠． 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级下·山西晋城·月考）已知． (1)判断与0的大小关系，并说明理由． (2)若为整数时，设，求整数的值． 【答案】(1)；理由见解析 (2)1 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的性质； （1）计算，得出，即可求解； （2）先化简，根据题意可得为整数，根据为整数，进而即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ∵， ∴，， ∴， 即． （2）解： ， ∴要使y为整数，则或， ∵为整数，， ∴， ∴整数y为1． 考点讲练十五 分式加减乘除混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据分式的乘法运算法则进行运算，结果化为最简分式； （2）先计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内的算式，再将除法转化成乘法，分解因式，约分，再将代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， ． 当时， 原式． 考点讲练十六 分式化简求值 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）在进行的化简求值时，小宇把错看成，最后求值结果正确，请你通过化简求值解释这一现象． 【答案】见解析 【详解】解：原式． 当且时，原式的值与的取值无关， ∴小宇把错看成，最后求值结果正确． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据多项式乘多项式法则和分式的混合运算法则，分别化简整式部分与分式部分，合并得到最简结果，然后根据二次根式的性质和负整数指数幂的计算法则计算出x的值，再将x的值代入最简结果计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 考点讲练十七 分式最值 【典例分析】（24-25八年级下·山东·月考）已知，且，求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式，分式，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，当，时，由得：，计算，利用上述不等式即可得出，即可求解． 【详解】解：首先证明：当，时，； ∵, ∴， 即； ∵，，， ∴； ∵， 而， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 【变式训练】（24-25八年级下·山西临汾·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】 如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：， 当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】 已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】 如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】 根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式， (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数的值； （3）设这个矩形的长为米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：求解； 【详解】（1）解：令， 则有，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式，， ∵为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数的值有4个， 故答案为：真分式，； （3）解：设这个矩形的长为米，则宽为米，所用的篱笆总长为米， 根据题意得：， 由上述性质知：∵， ， 此时，， ， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米． 考点讲练十八 根据分式方程解的情况求值 【典例分析】（25-26八年级下·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式训练】（25-26八年级下·山东德州·期末）若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】先去分母求解分式方程，再根据解为正数且分式有意义列出不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】∵ 原方程为，将方程变形为， 两边同乘去分母得：， 整理求解得：， ∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ∴ ，且， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴ 且． 考点讲练十九 分式方程无解问题 【典例分析】（25-26八年级下·上海普陀·期末）如果关于的方程无解，则______． 【答案】或0/或 【分析】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答，分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解或解为增根时原方程无解，确定m的值． 【详解】解：原方程为， 两边同乘（），得， 即， 整理得， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根（即分母为零），则，解得，此时原方程无解； 综上，或 故答案为：或 【变式训练】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的增根与无解的区别与联系，一元一次方程无解的条件，掌握分类讨论思想是解题关键． 分式方程无解的情况有两种：化简后的整式方程无解或解为增根（分母为零），先化简原方程，再分别讨论这两种情况． 【详解】解：已知， 则， ， ， ， 整理得：， 若分式方程无解，分两种情况讨论， 整式方程无解： 令，方程无解，此时； 整式方程的解使原方程分母为： 令，得增根， 将代入， 解得． 故或． 故选：． 考点讲练二十 列分式方程 【典例分析】（25-26八年级下·浙江温州·开学考试）榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程，先理解题意，根据设制作1个榫需要的木材为x千克，则制作1个卯需要的木材为千克，再结合用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设制作1个榫需要的木材为x千克， 则制作1个卯需要的木材为千克， 由题意得： 【变式训练】（25-26八年级下·湖南郴州·期末）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？ 【答案】0.6万平方米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积是万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积是x万平方米，则实际每天绿化的面积是万平方米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 即原计划每天绿化的面积是0.6万平方米． 考点讲练二十一 分式方程的行程问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）某班学生周末去距离学校的某地游玩，一部分学生乘慢车先行1h，另一部分学生乘快车追赶，结果他们同时到达目的地．已知快车的速度是慢车的2倍，求慢车的速度．设慢车的速度是．根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是通过时间差建立方程． 根据同时到达的条件，慢车比快车多行驶1小时，因此等量关系为慢车行驶时间减快车行驶时间等于1小时，据此列方程即可． 【详解】解：设慢车速度为，则快车速度为 ∵慢车行驶时间为，快车行驶时间为，且慢车比快车多行1小时， ∴． 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙客车；理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为，利用时间路程速度，结合甲客车比乙客车多用，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出甲、乙两客车所用时间，作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲客车的平均速度为； （2）解：乙客车用时少先返回学校，理由如下： 甲客车所用时间为， 乙客车所用时间为 ， ，，， ，， ， 乙客车用时少先返回学校． 考点讲练二十二 分式方程的工程问题 【典例分析】（25-26八年级上·江苏南通·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，已知甲队工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，总工程全部完成． (1)求乙队单独完成筑路工程需要多少天？ (2)若先将甲、乙两队工作效率均提高，再共同完成这项筑路工程，能否在30天内完成该项工作？并说明理由． 【答案】(1)105天 (2)能在30天内完成该项工作 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队单独完成筑路工程需要天，则甲队单独完成筑路工程需要x天，把工作总量看成单位“1”，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可； （2）设需要m天完成该项工作，把工作总量看成单位“1”，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求出m的值，再与30比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设乙队单独完成筑路工程需要天，则甲队单独完成筑路工程需要x天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：乙队单独完成筑路工程需要105天； （2）解：能在30天内完成该项工作，理由如下： 设需要m天完成该项工作， 由题意得，， 解得， ∵， ∴能在30天内完成该项工作． 【变式训练】（25-26八年级下·湖南·期末）在梅溪湖生态环境提升项目中，计划由甲、乙两个工程队合作完成部分工程．调查发现：甲工程队每天比乙工程队少整治40米，且甲工程队单独完成3000米整治任务的时间，与乙工程队单独完成4000米整治任务的时间相等． (1)甲、乙工程队每天分别整治多少米？ (2)由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，现由甲、乙两个工程队共用时80天，接力完成不少于11600米河堤整治任务，则乙工程队至少施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天整治120米，乙工程队每天整治160米； (2)乙工程队至少施工50天 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲工程队每天整治米，则乙工程队每天整治米，根据甲工程队单独完成3000米整治任务的时间，与乙工程队单独完成4000米整治任务的时间相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设乙工程队施工天，则甲工程队施工天，根据接力完成不少于11600米河堤整治任务，列出一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）（1）设甲工程队每天整治米，则乙工程队每天整治米， 根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天整治120米，乙工程队每天整治160米； （2）设乙工程队施工天，则甲工程队施工天， 根据题意得：， 解得：， 答：乙工程队至少施工50天． 考点讲练二十三 分式方程的经济问题 【典例分析】（2026·云南·一模）2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ 【答案】该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元． 【分析】设第一批T恤每件的进价是元，根据等量关系，列出分式方程，求解检验即可． 【详解】解：设第一批T恤每件的进价是元，则第二批T恤每件的进价是元， 由题可列，， 解得， 经检验：是方程的解，且符合实际意义， ， 则该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元． 【变式训练】（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）“走，去永州，品道州脐橙”，道州脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年11月29日在“道州脐橙”品牌推介活动上，某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． (1)该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱多少元？ (2)若两次购进的道州脐橙按同一价格售出，两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，则销售单价至少是多少元？ 【答案】(1)该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱80元 (2)销售单价至少是98元 【分析】（1）设该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱x元，则第二批道州脐橙每箱元，根据某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设销售单价是m元，根据两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱x元，则第二批道州脐橙每箱元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱80元； （2）解：设销售单价是m元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：销售单价至少是98元． 考点讲练二十四 分式方程和差倍分问题 【典例分析】（25-26八年级下·重庆巴南·月考）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 【变式训练】（2025·河南南阳·二模）开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元 (2)共有3种购买方案 (3)当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元，根据“用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件”列分式方程，求解并检验即可； （2）设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据“购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元”列不等式求解即可； （3）在（2）的条件下，令表示总费用，求出一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元， 由题意，得，解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．则． 答：款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元． （2）解：设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据题意，得 ，解得． 款纪念品的数量不少于款纪念品数量的一半， ， 解得． ． 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种购买方案． （3）解：在（2）的条件下，令表示总费用，则 ． ， 随着的增大而增大． 当时，取得最小值， 最小值为． 答：当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元． 考点讲练二十五 分式方程的其它实际问题 【典例分析】（24-25八年级下·广东河源·期末）八（2）班为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． (1)购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共50件，且购买的总费用不超过1450元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买1件甲种奖品需35元，购买1件乙种奖品需20元 (2)甲种奖品最多能购买30件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元，根据用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同，列出分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可得出结果； （2）设甲种奖品购买y件，则乙种奖品购买件，利用总价单价数量，结合总价不超过1450元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 元， 答：购买1件甲种奖品需35元，购买1件乙种奖品需20元； （2）设甲种奖品购买y件，则乙种奖品购买件， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为30， 答：甲种奖品最多能购买30件． 【变式训练】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）月日为世界读书日，习近平总书记曾说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校八年级决定购买获得茅盾文学奖的、两种书．已知每本种书比每本种书多元，若购买相同数量的、两种书分别需花费元和元． (1)求、两种书的单价； (2)如果学校决定再次购买、两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买种书多少本？ 【答案】(1)、两种书的单价分别为元、元 (2)该校最多购买本种书 【分析】（1）设种书的单价为元，则种书的单价为元，由题意列出分式方程后求解即可； （2）设该校购买了种书本，则购买了种书本，由题意列出一元一次不等式后求解即可． 【详解】（1）解：设种书的单价为元，则种书的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， ， 答：、两种书的单价分别为元、元． （2）解：设该校购买了种书本，则购买了种书本， 则， 解得：， 必须为正整数， 该校最多购买本种书． 【真题演练1】（2024·重庆万州·中考真题）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论： ①；②；③存在4个整数使得的值为整数． 正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式化简、整数解的存在性问题等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． ①先根据题意求得即可判定①；②设，进而得到、，然后求和即可判断②；需逐一验证三个结论的正确性；③先求出，进而得到，即为整数，据此确定x的可能取值即可判定③． 【详解】解：①由递推式，代入得：，故结论①正确． ②设，由递推式得．初始值．依次计算： ，求和得： ，故结论②错误． ③：由，故．比值需为整数．变形为：，要求为整数，即为的约数（）．解得为整数且分母非零的情况有： ，解得：； ，解得：； ，解得：； 共3个整数解，但题目中结论为“存在4个整数”，故结论③错误． 综上，仅结论①正确． 答案选B． 【真题演练2】（2024·四川宜宾·中考真题）关于分式方程无解，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 【真题演练3】（2024·甘肃平凉·中考真题）已知，则=_________． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，完全平方公式，掌握算理灵活变形是解决问题的关键．将已知方程两边同除以进行变形，然后将所求代数式取倒数，将已知式子代入求解即可． 【详解】解：∵ ，方程两边同除以得： ， 即， ∴， 则， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 【真题演练4】（2024·江苏南通·中考真题）（1）如果，则_____； （2）如果，则_____； 【应用】（3）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值； 【拓展】（4）若代数式的值为整数，则整数的值为_____． 【答案】1. 2. 3.或 4. 【分析】本题考查了解可化为一元一次方程的分式方程及应用，正确计算是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，最后消去x求出n； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，最后消去x求出n； （3）化简为，根据取整数值确定x的值； （4）化简为，根据取整数值确定的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：， 当，即或时，是整数， 当或时，代数式的值为整数； （4）解： ， 当，即时，为整数， 当时，为整数， 故答案为：． 【真题演练5】（2024·上海·中考真题）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． (2)当时，求代数式的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可； （2）时，则，将原式变形为，继而得到，再由公式求解； （3）设，根据等高三角形的性质得到，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，，则， ∴的最小值为2， 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为； （2）解：时，则 （3）解：设， ∵与等高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分式分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， ∴． 2．（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解关于x的分式方程，再根据关于x的分式方程的解为非负数，列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后再根据分式的分母不等于0确定k的取值范围即可． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，即， 又∵分母不为零，即， ∴， ∴， ∴且． 3．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）若关于的分式方程无解，则的值是________． 【答案】或 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程的分母为零，即产生增根，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：原分式方程为 ， 方程变形为 ， 方程两边同乘最简公分母，得： 整理得整式方程：， 分两种情况讨论： ①当整式方程无解 对于一元一次方程，当时方程无解， 因此令，解得， 此时，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． ②整式方程有解，但解为原分式方程的增根 原分式方程的增根满足分母，因此增根为， 将代入整式方程，得： ，解得， 此时使原分式方程分母为零，原方程无解，符合题意． 综上，的值为或． 4．（24-25八年级下·广西钦州·周测）如果代数式有意义，那么x的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得且． 5．（25-26八年级下·重庆·月考）计算和解方程 (1)计算： (2)解方程． 【答案】(1) (2)无解． 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根计算后，再计算加法即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： （2）解： 去分母得到，， 解得 经检验，是增根， ∴原分式方程无解． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2023八年级下·安徽宣城·竞赛）已知a是实数，并且，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值等知识．根据题意得到，，把所求代数式变形为再整体代入，化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D 2．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式化简求值，根据已知求出，代入 化简即可解答 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 故选：A． 3．（25-26八年级下·湖南怀化·期中）对于正数x，规定，如：则的值为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据已知规定，将拆分为，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握分式的混合运算原则是解题的关键． 根据已知条件进行通分得到，等式两边同乘即可得到，再将所求表达式化简，最后代入求值即可． 【详解】解：由可得：， 等式两边同乘， 得，即， 即： ， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）下面是小明探究取值的规律的过程． （ⅰ）分别求出当，，，，，，1，2，3时的值，部分数值如下表所示： 1 2 3 （ⅱ）根据（ⅰ）中的表格，猜想有最小值． 结合上述探究过程，回答下列问题： (1)表中____，____，____； (2)（ⅱ）中的猜想是否正确？如果正确，请证明；如果错误，说明理由； (3)（为正整数）是否有最小值？如果有，直接写出这个最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)2，2， (2)（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查了求分式的值，完全平方公式等知识，解题的关键是： （1）把，，分别代入计算即可； （2）利用完全平方公式求出，然后根据非负数的性质可得出，故当，即时，，即可求解； （3）类似（2）判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：2，2，； （2）解：（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 证明：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2； （3）解：（为正整数）有最小值为2， 理由：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.4 分式与分式方程『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共65题） 〔原卷版〕 2 知识点一 分式相关概念 2 知识点二 分式的基本性质 3 知识点三 分式的变号法则 3 知识点四 分式的约分，最简分式 3 知识点五 分式通分（找最简公分母） 3 知识点六 分式的乘除 3 知识点七 分式的乘方 3 知识点八 同分母分式的加减 4 知识点九 异分母分式的加减 4 知识点十 科学记数法 4 知识点十一 零指数 5 知识点十二 分式方程的概念 5 知识点十三 分式方程的解法 5 知识点十四 分式方程的应用 5 重点难点 考点讲练 5 考点讲练一 分式的求值 5 考点讲练二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 6 考点讲练三 求使分式值为整数时未知数的整数值 6 考点讲练四 利用分式的基本性质判断分式值的变化 6 考点讲练五 将分式的分子分母的最高次项化为正数 6 考点讲练六 将分式的分子分母各项系数化为整数 7 考点讲练七 约分 7 考点讲练八 最简分式 7 考点讲练九 分式乘除混合运算 7 考点讲练十 含乘方的分式乘除混合运算 8 考点讲练十一 整式与分式相加减 8 考点讲练十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 9 考点讲练十三 分式加减混合运算 9 考点讲练十四 分式加减的实际应用 9 考点讲练十五 分式加减乘除混合运算 10 考点讲练十六 分式化简求值 10 考点讲练十七 分式最值 11 考点讲练十八 根据分式方程解的情况求值 12 考点讲练十九 分式方程无解问题 12 考点讲练二十 列分式方程 12 考点讲练二十一 分式方程的行程问题 13 考点讲练二十二 分式方程的工程问题 13 考点讲练二十三 分式方程的经济问题 14 考点讲练二十四 分式方程和差倍分问题 15 考点讲练二十五 分式方程的其它实际问题 16 中考真题 实战演练 17 难度分层 闯关训练 18 【基础夯实 能力提升】 18 【创新拓展 拔尖冲刺】 18 知识点一 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【易错点拨】根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有 .分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是 单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点十 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点十一 零指数 a0=1 (a≠0) 知识点十二 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十三 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十四 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 考点讲练一 分式的求值 【典例分析】（24-25八年级下·浙江金华·月考）若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南京·月考）若 ，则 的值等于_____________． 考点讲练二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【典例分析】（24-25八年级下·安徽滁州·月考）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【变式训练】（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 考点讲练三 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例分析】（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有_______个． 考点讲练四 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例分析】（24-25八年级下·全国·课后作业）将分式中的的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【变式训练】（2024八年级下·浙江·专题练习）已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ____． 考点讲练五 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【典例分析】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 考点讲练六 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例分析】（24-25八年级下·江西宜春·月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练七 约分 【典例分析】（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为______． 【变式训练】（24-25八年级下·海南海口·月考）约分： （1）________； （2）________． 考点讲练八 最简分式 【典例分析】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个． 考点讲练九 分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为___________． 考点讲练十 含乘方的分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）计算：． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽滁州·月考）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练十一 整式与分式相加减 【典例分析】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，求a，b的“传承数”c； (2)若，且，求a，b的“传承数”c； (3)若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 【变式训练】（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 考点讲练十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例分析】（24-25八年级下·上海·月考）已知，其中为常数，则______． 【变式训练】（24-25八年级下·上海松江·月考）已知，其中A、B为常数，求的值． 考点讲练十三 分式加减混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南怀化·期末）已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为________． 考点讲练十四 分式加减的实际应用 【典例分析】（24-25八年级下·陕西西安·月考）汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（   ） A．甲方案实惠 B．乙方案实惠 C．哪种方案实惠需由两次油价决定 D．两种方案一样实惠 【变式训练】（24-25八年级下·山西晋城·月考）已知． (1)判断与0的大小关系，并说明理由． (2)若为整数时，设，求整数的值． 考点讲练十五 分式加减乘除混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 考点讲练十六 分式化简求值 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）在进行的化简求值时，小宇把错看成，最后求值结果正确，请你通过化简求值解释这一现象． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·月考）先化简，再求值：，其中． 考点讲练十七 分式最值 【典例分析】（24-25八年级下·山东·月考）已知，且，求的最小值． 【变式训练】（24-25八年级下·山西临汾·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】 如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：， 当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】 已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】 如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】 根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 考点讲练十八 根据分式方程解的情况求值 【典例分析】（25-26八年级下·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【变式训练】（25-26八年级下·山东德州·期末）若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 考点讲练十九 分式方程无解问题 【典例分析】（25-26八年级下·上海普陀·期末）如果关于的方程无解，则______． 【变式训练】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．或 考点讲练二十 列分式方程 【典例分析】（25-26八年级下·浙江温州·开学考试）榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·湖南郴州·期末）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？ 考点讲练二十一 分式方程的行程问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）某班学生周末去距离学校的某地游玩，一部分学生乘慢车先行1h，另一部分学生乘快车追赶，结果他们同时到达目的地．已知快车的速度是慢车的2倍，求慢车的速度．设慢车的速度是．根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 考点讲练二十二 分式方程的工程问题 【典例分析】（25-26八年级上·江苏南通·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，已知甲队工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，总工程全部完成． (1)求乙队单独完成筑路工程需要多少天？ (2)若先将甲、乙两队工作效率均提高，再共同完成这项筑路工程，能否在30天内完成该项工作？并说明理由． 【变式训练】（25-26八年级下·湖南·期末）在梅溪湖生态环境提升项目中，计划由甲、乙两个工程队合作完成部分工程．调查发现：甲工程队每天比乙工程队少整治40米，且甲工程队单独完成3000米整治任务的时间，与乙工程队单独完成4000米整治任务的时间相等． (1)甲、乙工程队每天分别整治多少米？ (2)由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，现由甲、乙两个工程队共用时80天，接力完成不少于11600米河堤整治任务，则乙工程队至少施工多少天？ 考点讲练二十三 分式方程的经济问题 【典例分析】（2026·云南·一模）2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ 【变式训练】（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）“走，去永州，品道州脐橙”，道州脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年11月29日在“道州脐橙”品牌推介活动上，某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． (1)该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱多少元？ (2)若两次购进的道州脐橙按同一价格售出，两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，则销售单价至少是多少元？ 考点讲练二十四 分式方程和差倍分问题 【典例分析】（25-26八年级下·重庆巴南·月考）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【变式训练】（2025·河南南阳·二模）开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 考点讲练二十五 分式方程的其它实际问题 【典例分析】（24-25八年级下·广东河源·期末）八（2）班为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． (1)购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共50件，且购买的总费用不超过1450元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 【变式训练】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）月日为世界读书日，习近平总书记曾说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校八年级决定购买获得茅盾文学奖的、两种书．已知每本种书比每本种书多元，若购买相同数量的、两种书分别需花费元和元． (1)求、两种书的单价； (2)如果学校决定再次购买、两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买种书多少本？ 【真题演练1】（2024·重庆万州·中考真题）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论： ①；②；③存在4个整数使得的值为整数． 正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【真题演练2】（2024·四川宜宾·中考真题）关于分式方程无解，则的值为________． 【真题演练3】（2024·甘肃平凉·中考真题）已知，则=_________． 【真题演练4】（2024·江苏南通·中考真题）（1）如果，则_____； （2）如果，则_____； 【应用】（3）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值； 【拓展】（4）若代数式的值为整数，则整数的值为_____． 【真题演练5】（2024·上海·中考真题）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． (2)当时，求代数式的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 2．（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）若关于的分式方程无解，则的值是________． 4．（24-25八年级下·广西钦州·周测）如果代数式有意义，那么x的取值范围是_______． 5．（25-26八年级下·重庆·月考）计算和解方程 (1)计算： (2)解方程． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2023八年级下·安徽宣城·竞赛）已知a是实数，并且，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·湖南怀化·期中）对于正数x，规定，如：则的值为_______ 4．（25-26八年级下·重庆·期中）已知，则________． 5．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）下面是小明探究取值的规律的过程． （ⅰ）分别求出当，，，，，，1，2，3时的值，部分数值如下表所示： 1 2 3 （ⅱ）根据（ⅰ）中的表格，猜想有最小值． 结合上述探究过程，回答下列问题： (1)表中____，____，____； (2)（ⅱ）中的猜想是否正确？如果正确，请证明；如果错误，说明理由； (3)（为正整数）是否有最小值？如果有，直接写出这个最小值；如果没有，说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $