专题5.3 分式方程【同步培优讲练】知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.3 分式方程『第五章 分式与分式方程』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题） 〔解析版〕 1 知识点一 分式方程的概念 1 知识点二 分式方程的解法 2 知识点三 解分式方程产生增根的原因 2 知识点四 分式方程的应用 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 分式方程的定义 3 考点讲练二 解分式方程(化为一元一次) 4 考点讲练三 根据分式方程解的情况求值 6 考点讲练四 分式方程无解问题 8 考点讲练五 列分式方程 9 考点讲练六 分式方程的行程问题 11 考点讲练七 分式方程的工程问题 12 考点讲练八 分式方程的经济问题 14 考点讲练九 分式方程和差倍分问题 17 考点讲练十 分式方程的其它实际问题 19 中考真题 实战演练 21 难度分层 闯关训练 24 【基础夯实 能力提升】 24 【创新拓展 拔尖冲刺】 30 知识点一 分式方程的概念 定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【易错点拨】 （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点二 分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点三 解分式方程产生增根的原因 定义：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【易错点拨】 （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两 边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否 有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 知识点四 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 考点讲练一 分式方程的定义 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练1】（24-25八年级下·上海·假期作业）已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 【变式训练2】（24-25八年级下·天津和平·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 考点讲练二 解分式方程(化为一元一次) 【典例分析】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解： 方程两边乘，得：， 解得． ∵原分式方程的解是正数， ∴， ∴， 又， ∴， 解得． ∴且． 【变式训练2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）解分式方程： 【答案】 【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 考点讲练三 根据分式方程解的情况求值 【典例分析】（2026八年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，正确计算是解题的关键．先解分式方程得到含的解，根据解为负数，结合分式分母不为零的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 解得 ∵ 方程的解是负数， ∴ ∵ ， ∴ ， 解得. 又∵ 分式方程分母不能为， ∴ 且. ，分子为，故不可能为. 令，解得. 综上，的取值范围是且． 【变式训练1】（2024·重庆·模拟预测）若数使得关于的分式方程有正数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到a的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数a，统计个数即可． 【详解】解方程， 方程两边同乘得： 整理得 解得 ∵分式方程有正数解，且（分母不为0） ∴，且 解得，且 解不等式组 解第一个不等式得 解第二个不等式得 ∵不等式组有解 ∴ 解得 综上，a的取值范围是，且 符合条件的整数a为，共3个． 【变式训练2】（2026八年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 【答案】， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 考点讲练四 分式方程无解问题 【典例分析】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴分母和为0，则增根为． 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， 解得． 【变式训练1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程 无解，则________． 【答案】，1 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 【变式训练2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 考点讲练五 列分式方程 【典例分析】（25-26八年级下·河南南阳·月考）我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“绫罗各一尺总价120文”的等量关系列方程． 【详解】解：1丈=10尺， 绫罗总长度为 尺， 设绫布有尺， 罗布长度为尺， 绫布总售价为896文， 绫布每尺价格为文， 同理可得，罗布每尺价格为文， 绫、罗各一尺共值钱120文， ， 移项整理得． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）刘峰和李明相约周末去河南省科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 刘峰：我查好地图，你看看： 李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟去科技馆那站的公交车，我坐明天的车． 刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了． 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8：00从家出发，如果顺利，咱们同时到达． 设刘峰骑自行车每小时行驶千米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 【变式训练2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 【答案】 【分析】先根据甲单独完成需要的天数得到乙单独完成需要的天数，再根据两人合作4天完成的工作量等于总工作量减去未完成的工作量，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意得，甲单独完成需要天，甲单独完成比乙少用天，则乙单独完成需要天， 甲的工作效率为，乙的工作效率为． 根据等量关系可列方程为． 考点讲练六 分式方程的行程问题 【典例分析】（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 【变式训练1】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【答案】B 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线A的全程是，但交通比较拥堵；路线B比路线A的全程多，但平均速度比走路线A能提高，走路线B能比走路线A少用．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少． 【答案】走路线的平均速度是，走路线的平均速度是 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设走路线A的平均速度是x千米/小时，则走路线B的平均速度是千米/小时，利用时间路程速度，结合走路线B能比走路线A少用分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即走路线A的平均速度），再将其代入中，即可求出走路线B的平均速度． 【详解】解：设走路线A的平均速度是，则走路线B的平均速度是． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：走路线的平均速度是，走路线的平均速度是． 考点讲练七 分式方程的工程问题 【典例分析】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】原计划每天种棵树 【分析】设原计划每天种棵树，根据提前天完成任务，列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天种棵树， 根据题意得：， 解这个方程得：， 经检验，是方程的解， 答：原计划每天种棵树． 【变式训练1】（24-25八年级下·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 【答案】(1)原来每天铺设地砖； (2)元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖，由题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）可知原来铺设地砖天，采用新模式后铺设了天，然后列出算出即可求解． 【详解】（1）解：设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖， 由题意得：， 解方程得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：原来每天铺设地砖； （2）解：由（）可知原来铺设地砖（天），则采用新模式后铺设了（天）， ∴该公司支付给民工的工资总额为： （元）． 【变式训练2】（2026·云南·模拟预测）我国自主研发的型快速换轨车采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一个工作队人工更换钢轨，每小时更换钢轨的长度是一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的长度的，这个工作队人工更换钢轨所用时间比型快速换轨车更换钢轨所用时间多．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 【分析】根据题意，以换轨时间建立等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，则工作队人工每小时更换钢轨， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨． 考点讲练八 分式方程的经济问题 【典例分析】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末） 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． (1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ (2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 【答案】(1)每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元 (2)可以购买14盒口罩，6盒水银温度计 【分析】（1）设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元，根据“用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同”建立分式方程求解； （2）设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计，根据题意建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元， 由题意得： ，       解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元； （2）解：设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计， 由题意得： 解得 y只能取整数， ， 答：可以购买14盒口罩，6盒水银温度计． 【变式训练1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的数量是节后用元购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进粽子千克，若节前购进粽子千克，按照节前每千克元，节后每千克元全部售出，那么该商场节前购进多少千克粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该商场节后每千克粽子的进价是元 (2)该商场节前购进千克粽子获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购进的粽子全部售出后可获得的总利润为，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元   依题意得：     解得：    经检验，是所列方程的解，且符合题意     答：该商场节后每千克粽子的进价是元； （2）设购进的粽子全部售出后可获得的总利润为，则      即     ， 随的增大而增大     当时，取得最大值，最大值为     答：该商场节前购进千克A粽子获得利润最大，最大利润是元 【变式训练2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）为了备战体育基础达标测试，我校八年级组在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花20元． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ (2)八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体再购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的九折出售，若八（1）班此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，则八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？ (3)若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、55元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要60元，购买一个B品牌足球需要80元 (2)27个 (3)最大利润是781元，采购方案：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个 【分析】（1）设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元，根据题意建立分式方程求解，即可解题； （2）设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，根据“此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，”建立一元一次不等式求解，即可解题； （3）设商店销售完这50个、两种品牌的足球时，商店的利润是元，根据题意列出与的关系式，再结合一次函数的增减性求解，即可解题． 解题的关键在于找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；以及正确求得一次函数解析式，根据一次函数的性质解题． 【详解】（1）解：设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：购买一个品牌足球需要60元，购买一个品牌足球需要80元． （2）解：设购买个品牌足球，则购买个品牌足球， 依题意得：， 解得：． 为整数， 的最大值为27． 答：八（1）班此次最多可购买27个品牌足球； （3）解：设商店销售完这50个、两种品牌的足球时，商店的利润是元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 最大时，最大， ，且取整数， 时最大，此时（元）， （个）， ∴采购方案为：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个． 答：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个，商店的最大利润是781元． 考点讲练九 分式方程和差倍分问题 【典例分析】（25-26八年级下·福建福州·期末）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家原来有12公顷地种植粮食，9公顷地种植西瓜．为了增加经济收入，计划将部分种植粮食的地改为种植西瓜，使得粮食的种植面积与西瓜的种植面积之比为2∶5．设有公顷种植粮食的地改为种植西瓜，那么满足怎样的分式方程？ 【答案】满足的分式方程为 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握根据题干信息找出等量关系是解题的关键； 先求出改种后；粮食和西瓜的种植面积，再根据两者面积之比为列出分式方程． 【详解】解：确定改种后粮食的种植面积为：公顷， 确定改种后西瓜的种植面积为：公顷， ∴分式方程为：， 即满足的分式方程为． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校八（1）班学生组织春游，预计需要车费540元．后来加入5名八（2）班学生，车费不变，这样每人可以少分摊1.5元．每人实际分摊的车费为多少元？ 【答案】每人实际分摊的车费为（元） 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键； 根据题意设出学生有x名，根据总费用以及新增5名学生后的费用列出等式解方程即可． 【详解】解：设八（1）班有名学生． 由题意，得． 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），． 经检验，是原分式方程的根且符合题意， ∴每人实际分摊的车费为（元）． 考点讲练十 分式方程的其它实际问题 【典例分析】（2026八年级下·重庆·专题练习）为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． (1)求今年准备的A，B两种道具各多少件？ (2)今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【答案】(1)今年准备A道具件，B道具件． (2)第二组每小时摆件B道具． 【分析】（1）设去年准备的A道具件，道具件，根据“今年A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A，B两种道具各多少件即可； （2）设第二组每小时摆件B道具，则第一组每小时摆件A道具，根据“第一组比第二组提前分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年准备的A道具件，道具件， ， 解得， 则（件），（件）， 答：今年准备A道具件，B道具件． （2）解：设第二组每小时摆件B道具， ， 经检验是原方程的解， 答：第二组每小时摆件B道具． 【变式训练1】（25-26八年级下·湖北十堰·期末）（1）若的盐水中含盐，那么，盐在盐水中的占比为，现在将盐水中加入的盐，此时，盐水 g，其中盐 g，盐在盐水中的占比为 ； （2）根据生活经验我们知道，盐水中加盐后，盐水更咸了，请用加盐前后的占比的大小来揭示这一生活现象： ； （3）若的盐水中含盐，现往其中加盐若干g，使其占比是原来的2倍，求加盐多少g? 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分式的性质与分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）根据题意列出数量关系式即可； （2）根据题意可得盐的占比增大即可得结论； （3）设加盐，根据盐的占比是原来的2倍，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得盐水有，盐有，盐在盐水中占比为． 故答案为：；；． （2）由盐水变咸可得盐在盐水中占比增大，即 ． 故答案为：． (3)设加盐， 依题意，列方程， 解得， 经检验，是方程的解， 答：加盐. 【变式训练2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）大红袍花椒有芳香健胃、温中散寒、除湿止痛、杀虫解毒、止痒解腥的功效．为拓宽这一特色农产品的销路，助力乡村振兴，某食品公司计划将一批大红袍花椒运往外地销售，现有甲、乙两种货车可供调配，已知甲种货车每辆比乙种货车每辆多装20箱花椒，且甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等．求这两种货车每辆分别可以装运的花椒箱数． 【答案】甲种货车每辆可装运100箱花椒，乙种货车每辆可装运80箱花椒 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设乙种货车每辆可装运x箱花椒，则甲种货车每辆可装运箱花椒，根据“甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设乙种货车每辆可装运x箱花椒，则甲种货车每辆可装运箱花椒， 根据题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种货车每辆可装运100箱花椒，乙种货车每辆可装运80箱花椒． 【真题演练1】（2024·上海·中考真题）甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 【答案】30 【分析】设第一次从甲杯倒出了x千克盐水，由题意得，据此求解即可． 【详解】解：设第一次从甲杯倒出了x千克盐水， 第一次倒出后甲杯剩余千克盐水，溶质为千克， 乙杯加入x千克后，总质量为千克，溶质为千克， 此时乙杯浓度为：； 从乙杯倒回x千克盐水到甲杯，这部分盐水中的溶质为：， 此时甲杯的总溶质为：， 甲杯总质量回到40千克，且浓度为，所以总溶质也等于千克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第一次从甲杯倒出了30千克盐水． 【真题演练2】（2024·山东济南·中考真题）解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 【答案】 【分析】先确定分式方程的分母，令分母为零得到增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根， 方程两边同乘最简公分母去分母，得： ， 将增根代入整式方程，得： ， 整理得， 解得． 【真题演练3】（2024·陕西西安·中考真题）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分类讨论思想是解题的关键； 根据的符号分类讨论的值，列出方程，然后解方程即可，注意分母不为零的条件且． 【详解】解：∵且， 当时，， ∴ ， 两边乘以，得， 解得， 检验且，符合题意； 当时，， ∴， 两边乘以，得， 解得， 但与矛盾，故无解； 综上可知，方程的解为， 故选：A． 【真题演练4】（2024·四川成都·中考真题）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围，先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解x关于k的表达式，再根据解为正数和分母不为零的条件列不等式求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为， 左边合并：，即， 两边同乘得：， 解得， ∵解为正数， ∴，即， ∴， 又∵分母， ∴，即， ∴， 综上，且， 故选：D． 【真题演练5】（2024·重庆·中考真题）某区为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍；若乙队单独施工，则恰好在规定时间内完成．如果由甲、乙队先合作30天，那么余下的工程再由乙队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？（列方程解应用题） (2)已知甲队每天的施工费用为4500元，乙队每天的施工费用为7000元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成，则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)60天 (2)414000元 【分析】本题主要考查了列分式方程解决工程问题，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）设工程的规定时间为天，则甲单独施工所用时间为天，乙单独施工所用时间为天，根据施工方案列出方程求解即可； （2）结合（1）中的甲、乙施工天数，求出合作施工天数，然后求解即可． 【详解】（1）解：设工程的规定时间为天，则甲单独施工所用时间为天，乙单独施工所用时间为天，根据题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 所以，这项工程的规定时间是60天； （2）解：所需天数为：（天）， ∴施工费用为：（元）， 所以，该工程施工费用是414000元． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·重庆万州·月考）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果． 【详解】解分式方程， 得． ∵方程的解为非负数，且分母不为0 ∴且， 解得且． ∵一次函数的图象经过一、二、三象限，根据一次函数性质可得 解得， 综上可得且， 又是整数，因此符合条件的为， 计算所有符合条件的的和：． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 3．（25-26八年级下·河南南阳·月考）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵无解， ∴或， 当，， 当，即，将代入，解得：， ∴当无解，则的值为或． ∴根据选项，故选：A． 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）若分式无解，则________． 【答案】5 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程无解可知整式方程的解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：， 方程变形得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 分式方程无解， 原分式方程的增根为（使分母）， 将代入得，解得． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 【答案】 10 1 【分析】（1）等式两边同乘，化简后解方程即可； （2）将原方程变形为，化简后解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得， 经检验是分式方程的根； （2）由题意得 经检验是分式方程的根． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得到的表达式，再根据解为正数且分式有意义的条件列出不等式，求解即可，掌握分式方程的解法是解题的关键。 【详解】解： 去分母，化为整式方程得 展开并整理得 解得 ∵该分式方程的解为正数 ∴，且分母 解不等式得 由得，解得 ∵已满足 ∴的取值范围是． 7．（25-26八年级下·山东济南·月考）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为______． 【答案】1，3 【分析】先根据分式方程的解法求出分式方程的解，然后根据题意求出的范围即可求出答案． 【详解】解：方程两边同乘得， , ， ， ∵分式方程的解为正数，且， ，且， ，且． 又∵为正整数， ，3． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）解分式方程： 【答案】 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，求解整式方程后再检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 经检验，时，原方程的分母均不为0， 所以是原方程的解． 9．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）学校计划购进A，B两种数学教具用于课堂教学．已知A种教具进价比B种教具进价每件多30元，用1400元购进种教具的件数与用800元购进种教具的件数相同． (1)求，两种教具每件的进价各多少元； (2)总务处张老师决定购进，两种教具共30件，且总费用不超过1600元，那么总务处张老师最多可购进种教具多少件？ 【答案】(1)A种教具每件进价70元，B种教具每件进价40元 (2)最多可购进A种教具13件 【分析】（1）设A种教具每件进元，则B种教具每件进价元，根据题意列出分式方程进行计算即可； （2）设购进A种教具件，则购进B种教具件，由题意得：，即可得到答案． 【详解】（1）解：设A种教具每件进价元，则B种教具每件进价元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则B种教具每件进价元， 答：A种教具每件进价70元，B种教具每件进价40元； （2）解：设购进A种教具件，则购进B种教具件， 由题意得：， 解得， 由于为非负整数，故的最大值为件， 答：最多可购进A种教具13件． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)其中，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．如果燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元，且金师傅平均每年都能行驶5100千米．为了节省开支，哪款国产车更适合金师傅，请通过计算说明．（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】(1) (2)选择新能源车，理由见解析 【分析】（1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可； （2）先根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.54元，列出分式方程求出a的值，再分别求出燃油车和新能源车的年费用，进行比较即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得新能源车的每千米行驶费用为元； （2）解：依题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 燃油车每千米行驶费用：（元/千米）， 每年费用为：（元）； 新能源车每千米行驶费用：（元/千米）， 每年费用为：（元）； ， ∴选择新能源车． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程增根的概念，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将分式方程两边同乘去分母得， ∵原分式方程有增根， ∴分母， 解得， 将代入整式方程得， ∴． 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 3．（25-26八年级下·山东德州·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，先将分式方程化为整式方程求解，再根据解为负数列不等式，同时保证原分式方程分母不为零，进而确定k的取值范围． 【详解】解：∵解分式方程， ∴两边同乘得：， 展开并化简：， ， 移项合并得：， ∴， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， 又∵原分式方程分母不能为0，即且， 当时，，解得，故， 当时，，解得，但，此情况不存在， 综上，且， 故选：C． 4．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】 【分析】解：先分别解不等式，再根据不等式组的解集是，得到，解得，再解分式方程得到，根据关于的分式方程有非负整数解，得到且，是非负整数，即可求出的取值范围，最后求所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于的一元一次不等式组的解集是， ∴， 解得， 两边同乘得， 解得， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴且，是非负整数， 解得，且，是奇数， 综上所述，的取值范围是，且，是奇数， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 5．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【分析】先解分式方程，用表示方程的解，根据方程的解是整数的要求得出的值，即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴， ∵关于的分式方程的解是整数， ∴时，解得：或； 时，解得：或； 时，解得：或； ∵， ∴， ∴，解得：， 综上可得：满足条件的整数的值为或或或或， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 6．（2026八年级下·重庆永川·专题练习）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，因为不等式组有解，所以，因为分式方程有非负整数解，所以且为偶数，可得：或或或或，从而可得所有满足条件的整数的值之积． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 解分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程的解为非负整数， 且为偶数， ， ， 或或或或， 当时，， 当时，， ， 是分式方程的增根， 当时，， 当时，， 当时，， 或或或， ， 满足条件的整数的值之积为. 7．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数．则符合条件的整数m的值和为________． 【答案】 【分析】先解不等式组结合不等式组至少有3个整数解得出，再解分式方程得出，结合分式方程的解为整数．且求出的值，求和即可得解． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程得：， ∵关于的分式方程的解为整数．且， ∴或或或或， 又， ∴符合条件的的值和为． 8．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）在数轴上点A，B表示的数分别为，，已知A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等． (1)若，求x的值； (2)若不存在满足条件的，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据题意得，再将代入解分式方程即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，点A和原点重合，不符合题意，舍去；当时，解分式方程，根据分式方程无解的情况，即可求解． 【详解】（1）解： ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：当时，，此时点A和原点重合，不符合题意，舍去； 当时， ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 去分母得：， 已知不存在满足条件的x的值，则， 把代入得，， 解得：， 综上，m的值为. 9．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进A，B两种风筝，购进每个A种风筝比每个B种风筝多10元，用400元购A种风筝的数量和200元购B种风筝的数量相同． (1)求购进A，B两种风筝每个各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种风筝共100个，且用于购买的资金不少于1480元，还不超过1500元，则该商店有哪几种进货方案？ (3)已知商家出售1个A种风筝可获利a元，出售1个B种风筝可获利元，问当a取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 【答案】(1)购进每个A种风筝需20元，购进每个B种风筝需10元 (2)有三种购买方案如下：购进A种风筝48个，购进B种风筝52个；购进A种风筝49个，购进B种风筝51个；购进A种风筝50个，购进B种风筝50个 (3)当时，（2）中的方案商家获利都相同 【分析】（1）设购进每个A种风筝需元，购进每个B种风筝需元，根据“用400元购A种风筝的数量和200元购B种风筝的数量相同”列分式方程求解即可． （2）设购进A种风筝m个，则购进B种风筝个，根据“用于购买的资金不少于1480元，还不超过1500元”列不等式组解得的取值范围，再由为正整数，即可得进货方案； （3）分别表示出三种方案的利润，根据“商家获利都相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进每个A种风筝需元，购进每个B种风筝需元， 由题意列分式方程得：， 去分母，得， 整理得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：购进每个A种风筝需20元，购进每个B种风筝需10元． （2）解：设购进A种风筝m个，则购进B种风筝个， 由题意列一元一次不等式得：， 解得， 是正整数， 或49或50， 有三种购买方案如下： 购进A种风筝48个，购进B种风筝52个； 购进A种风筝49个，购进B种风筝51个； 购进A种风筝50个，购进B种风筝50个． （3）解：第一种方案商家可获利：元； 第二种方案商家可获利：元； 第三种方案商家可获利：元； 根据题意列一元一次方程得，， 整理得，， 解得， 当时，（2）中的方案商家获利都相同． 10．（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.3 分式方程『第五章 分式与分式方程』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题） 〔原卷版〕 1 知识点一 分式方程的概念 1 知识点二 分式方程的解法 2 知识点三 解分式方程产生增根的原因 2 知识点四 分式方程的应用 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 分式方程的定义 3 考点讲练二 解分式方程(化为一元一次) 3 考点讲练三 根据分式方程解的情况求值 4 考点讲练四 分式方程无解问题 4 考点讲练五 列分式方程 5 考点讲练六 分式方程的行程问题 5 考点讲练七 分式方程的工程问题 6 考点讲练八 分式方程的经济问题 7 考点讲练九 分式方程和差倍分问题 9 考点讲练十 分式方程的其它实际问题 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 闯关训练 11 【基础夯实 能力提升】 11 【创新拓展 拔尖冲刺】 13 知识点一 分式方程的概念 定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【易错点拨】 （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点二 分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点三 解分式方程产生增根的原因 定义：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【易错点拨】 （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两 边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否 有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 知识点四 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 考点讲练一 分式方程的定义 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【变式训练1】（24-25八年级下·上海·假期作业）已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【变式训练2】（24-25八年级下·天津和平·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 考点讲练二 解分式方程(化为一元一次) 【典例分析】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【变式训练2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）解分式方程： 考点讲练三 根据分式方程解的情况求值 【典例分析】（2026八年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【变式训练1】（2024·重庆·模拟预测）若数使得关于的分式方程有正数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2】（2026八年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 考点讲练四 分式方程无解问题 【典例分析】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程 无解，则________． 【变式训练2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 考点讲练五 列分式方程 【典例分析】（25-26八年级下·河南南阳·月考）我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）刘峰和李明相约周末去河南省科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 刘峰：我查好地图，你看看： 李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟去科技馆那站的公交车，我坐明天的车． 刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了． 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8：00从家出发，如果顺利，咱们同时到达． 设刘峰骑自行车每小时行驶千米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 考点讲练六 分式方程的行程问题 【典例分析】（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【变式训练1】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线A的全程是，但交通比较拥堵；路线B比路线A的全程多，但平均速度比走路线A能提高，走路线B能比走路线A少用．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少． 考点讲练七 分式方程的工程问题 【典例分析】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【变式训练1】（24-25八年级下·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 【变式训练2】（2026·云南·模拟预测）我国自主研发的型快速换轨车采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一个工作队人工更换钢轨，每小时更换钢轨的长度是一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的长度的，这个工作队人工更换钢轨所用时间比型快速换轨车更换钢轨所用时间多．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米． 考点讲练八 分式方程的经济问题 【典例分析】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末） 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． (1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ (2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 【变式训练1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的数量是节后用元购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进粽子千克，若节前购进粽子千克，按照节前每千克元，节后每千克元全部售出，那么该商场节前购进多少千克粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式训练2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）为了备战体育基础达标测试，我校八年级组在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花20元． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ (2)八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体再购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的九折出售，若八（1）班此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，则八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？ (3)若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、55元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案． 考点讲练九 分式方程和差倍分问题 【典例分析】（25-26八年级下·福建福州·期末）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家原来有12公顷地种植粮食，9公顷地种植西瓜．为了增加经济收入，计划将部分种植粮食的地改为种植西瓜，使得粮食的种植面积与西瓜的种植面积之比为2∶5．设有公顷种植粮食的地改为种植西瓜，那么满足怎样的分式方程？ 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校八（1）班学生组织春游，预计需要车费540元．后来加入5名八（2）班学生，车费不变，这样每人可以少分摊1.5元．每人实际分摊的车费为多少元？ 考点讲练十 分式方程的其它实际问题 【典例分析】（2026八年级下·重庆·专题练习）为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． (1)求今年准备的A，B两种道具各多少件？ (2)今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【变式训练1】（25-26八年级下·湖北十堰·期末）（1）若的盐水中含盐，那么，盐在盐水中的占比为，现在将盐水中加入的盐，此时，盐水 g，其中盐 g，盐在盐水中的占比为 ； （2）根据生活经验我们知道，盐水中加盐后，盐水更咸了，请用加盐前后的占比的大小来揭示这一生活现象： ； （3）若的盐水中含盐，现往其中加盐若干g，使其占比是原来的2倍，求加盐多少g? 【变式训练2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）大红袍花椒有芳香健胃、温中散寒、除湿止痛、杀虫解毒、止痒解腥的功效．为拓宽这一特色农产品的销路，助力乡村振兴，某食品公司计划将一批大红袍花椒运往外地销售，现有甲、乙两种货车可供调配，已知甲种货车每辆比乙种货车每辆多装20箱花椒，且甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等．求这两种货车每辆分别可以装运的花椒箱数． 【真题演练1】（2024·上海·中考真题）甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 【真题演练2】（2024·山东济南·中考真题）解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 【真题演练3】（2024·陕西西安·中考真题）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【真题演练4】（2024·四川成都·中考真题）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【真题演练5】（2024·重庆·中考真题）某区为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍；若乙队单独施工，则恰好在规定时间内完成．如果由甲、乙队先合作30天，那么余下的工程再由乙队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？（列方程解应用题） (2)已知甲队每天的施工费用为4500元，乙队每天的施工费用为7000元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成，则该工程施工费用是多少？ 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·重庆万州·月考）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（25-26八年级下·河南南阳·月考）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）若分式无解，则________． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为______． 7．（25-26八年级下·山东济南·月考）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为______． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）解分式方程： 9．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）学校计划购进A，B两种数学教具用于课堂教学．已知A种教具进价比B种教具进价每件多30元，用1400元购进种教具的件数与用800元购进种教具的件数相同． (1)求，两种教具每件的进价各多少元； (2)总务处张老师决定购进，两种教具共30件，且总费用不超过1600元，那么总务处张老师最多可购进种教具多少件？ 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)其中，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．如果燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元，且金师傅平均每年都能行驶5100千米．为了节省开支，哪款国产车更适合金师傅，请通过计算说明．（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 3．（25-26八年级下·山东德州·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 5．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 6．（2026八年级下·重庆永川·专题练习）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 7．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数．则符合条件的整数m的值和为________． 8．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）在数轴上点A，B表示的数分别为，，已知A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等． (1)若，求x的值； (2)若不存在满足条件的，求的值． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进A，B两种风筝，购进每个A种风筝比每个B种风筝多10元，用400元购A种风筝的数量和200元购B种风筝的数量相同． (1)求购进A，B两种风筝每个各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种风筝共100个，且用于购买的资金不少于1480元，还不超过1500元，则该商店有哪几种进货方案？ (3)已知商家出售1个A种风筝可获利a元，出售1个B种风筝可获利元，问当a取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 10．（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $