专题5.2 分式的运算【同步培优讲练】知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共57题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.2 分式的运算『第五章 分式与分式方程』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共57题） 〔解析版〕 2 知识点一 分式的乘除 2 知识点二 分式的乘方 2 知识点三 同分母分式的加减 2 知识点四 异分母分式的加减 2 知识点五 分式混合运算 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 分式乘法 3 考点讲练二 分式除法 4 考点讲练三 分式乘除混合运算 5 考点讲练四 分式乘方 6 考点讲练五 含乘方的分式乘除混合运算 7 考点讲练六 同分母分式加减法 8 考点讲练七 最简公分母 8 考点讲练八 通分 9 考点讲练九 异分母分式加减法 10 考点讲练十 整式与分式相加减 11 考点讲练十一 已知分式恒等式，确定分子或分母 12 考点讲练十二 分式加减混合运算 13 考点讲练十三 分式加减的实际应用 14 考点讲练十四 分式加减乘除混合运算 16 考点讲练十五 分式化简求值 17 考点讲练十六 分式最值 18 中考真题 实战演练 20 难度分层 闯关训练 22 【基础夯实 能力提升】 22 【创新拓展 拔尖冲刺】 26 知识点一 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点二 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点三 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能 省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点四 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点五 分式混合运算 （1）分式混合运算中，复合运算的顺序应遵循先乘除后加减的原则。同时，对于有括号的表达式，应优先计算括号内的内容。 （2)在分式混合运算中，会遇到一些特殊形式，如分母为零的情况。对于这类情况，需要特别注意，因为分母为零的分数是没有意义的。此外，还需要注意负数的处理以及分数的倒数等特殊情况。 考点讲练一 分式乘法 【典例分析】（24-25八年级下·北京·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法，首先把分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子、分母的公因式化为最简分式即可． 【详解】解： ． 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：__________． 【答案】 【分析】先确定积的符号，再依据分式乘法法则，将分子、分母分别相乘后约分得到最简结果． 【详解】解： ． 考点讲练二 分式除法 【典例分析】（25-26八年级下·河北张家口·期末）分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】此题考查了分式的加减乘除运算．本题可先利用平方差公式对分母因式分解，再将各运算符号代入分式运算，对比结果确定正确符号． 【详解】解：∵ 将“”代入□： 原式= = 与题目运算结果一致． 代入其他符号验证： 若为“＋”： 若为“－”： 若为“×”： ∴“□”处的运算符号是÷， 故选D 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，先将除法运算转换为乘法运算，再因式分解后约分即可求解，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 考点讲练三 分式乘除混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·海南儋州·期中）化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）根据分式的加减运算法则进行计算即可； （3）先将分式的除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）化简下列分式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除法法则进行计算即可； （2）根据分式乘除法法则把除法变换为乘法，进行因式分解后，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 考点讲练四 分式乘方 【典例分析】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）如果，则的值等于____________； 【答案】22 【分析】利用完全平方公式求出，得出，再整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)____________； (2)________________________． 【答案】(1)，， (2)，，， 【分析】运用分式乘方法则、积的乘方法则与幂的乘方法则分步计算，先将分式的分子、分母分别乘方，再通过幂的相关运算法则化简得到最终结果． 【详解】（1）解：； （2）解：． 考点讲练五 含乘方的分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算，掌握先算乘方，再算乘除，除法变乘法后约分计算是解题的关键． 先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分完成计算． 【详解】解：原式 ． 【变式训练】（（23-24八年级下·全国·课堂例题）计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 考点讲练六 同分母分式加减法 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知、，用“”或“”连接，有三种不同的形式，即：、、，请你任取其中一种进行化简，并求值，其中，． 【答案】见解析 【详解】解：， 当，时，原式； ， 当，时，原式； ， 当，时，原式． 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 考点讲练七 最简公分母 【典例分析】（24-25八年级下·山东临沂·期末）下列关于分式的说法正确的是（    ） A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是 C． D．化简的结果是 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质和分式的加减运算，解决本题的关键是根据分式的基本性质把分式进行变形即可． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，与的最简公分母是，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选： C． 【变式训练】（（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）分式、的最简公分母是______，通分为______． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 考点讲练八 通分 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 【变式训练】（（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：，，的最简公分母是， 通分后为，，． 考点讲练九 异分母分式加减法 【典例分析】（25-26八年级下·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，并计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可； （2）先由已知分别求出、的值，再将所求式子通分变形为，然后整体代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴，， ∴． 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 考点讲练十 整式与分式相加减 【典例分析】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值、分式的加减法、新定义等知识点，掌握新定义成为解题的关键． 由题意可得，为正整数，然后分、、三种情况分别代入计算即可解答． 【详解】解：∵函数图像上“正整点”， ∴，为正整数， 当时，无意义，不符合题意； 当时，，即“正整点”的坐标为． 当时，为小于1的正分数，不可能为整数，不符合题意． 综上，函数图像上“正整点”的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】（（24-25八年级下·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 考点讲练十一 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例分析】（2024·山东聊城·一模）为常数，如果，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值即可解答． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． ∴． 故答案为：6． 【变式训练】（（25-26八年级下·山东德州·月考）A，B为常数，如果，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，即可得出结果． 【详解】解：对左边通分：， ∵左边等于右边， ∴分子需相等， ∴， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得， 故答案为：2． 考点讲练十二 分式加减混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·江苏盐城·周测）先化简，再求值：，其中 【答案】，3 【分析】先根据分式的加减混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式训练】（（2024八年级下·全国·竞赛）求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和将等式左边每个分式拆项是解题关键； 首先将左式向右式变形，根据等式右边的特点，将等式左边每个分式拆成两个分式的和或差形式，可得可得可得；然后将拆项后的左边各式相加，证得结论即可． 【详解】证明：∵， 同理， ， 原式左边 右边． 故原等式成立． 考点讲练十三 分式加减的实际应用 【典例分析】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 【答案】 李明 【分析】本题考查了分式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 根据时间路程速度，求出张华从甲地到乙地所用的时间；再求出李明从甲地到乙地所用的时间，利用作差法比较两人所用时间的多少，用时较少的即可先到达乙地． 【详解】解：张华从甲地到乙地所用的时间为； 李明从甲地到乙地所用的时间为， ， ∵，，， ∴，即张华所用的时间大于李明所用的时间， ∴先到达乙地的是李明． 故答案为：；李明． 【变式训练】（（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 【答案】(1)， (2)方式二更省时 【分析】（）根据题意列式计算即可求解； （）利用作差法解答即可求解； 本题考查了分式的应用，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，完成这张祝福贺卡，方式一需要小时，方式二需要小时， 故答案为：，； （2）解：， ∵，，，， ∴，， ∴， 即， ∴方式二更省时． 考点讲练十四 分式加减乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·河南新乡·期中）计算和化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）根据分式的性质和运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式    ． 【变式训练】（（25-26八年级下·河南南阳·月考）计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先计算算术平方根，零指数幂和乘方，再计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点讲练十五 分式化简求值 【典例分析】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用分式的除法计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式. 【变式训练】（（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可． 【详解】， ， ， ， ， 将代入原式，得． 考点讲练十六 分式最值 【典例分析】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键． 由得，代入得，进而将表示为，分析其取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 即， 整理得， ∴解得， ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，等号成立，即取得最小值， ∴有最小值． 故选：． 【变式训练】（（24-25八年级下·北京·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意得到原分式化简为，由，推出当时，有最小值为2，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∵分式可以变形为，∴；； 故答案为：2，； （2）解： ， ∵， ∴当时，有最小值为2， ∴有最大值为， ∴有最大值为， ∴分式的最大值为． 【真题演练1】（2024·山西临汾·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ． ∵， ∴原式． 【真题演练2】（2024·吉林松林·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算得到，接着计算出和的值，再代入计算． 【详解】解：原式， ，， ，， 原式． 【真题演练3】（2024·重庆·中考真题）先化简，再求值： ，其中． 【答案】，0 【分析】根据分式的混合运算法则，单项式乘以多项式，完全平方公式的法则进行计算，根据乘方和负整数指数幂的法则求出的值，代入化简后的式子中计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 【真题演练4】（2024·山东菏泽·中考真题）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，把变形得，然后代入表达式 中计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 【真题演练5】（2024·辽宁沈阳·中考真题）化简：______． 【答案】 【分析】先对分子分母进行因式分解，再根据分式乘除法的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·河南新乡·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式加减乘除及乘方的运算法则，逐一计算即可判断对错． 解题的关键在于正确掌握分式的基本运算． 【详解】解：A，，∴A错误，不符合题意； B，，∴B错误，不符合题意； C，，∴C错误，不符合题意； D，，计算正确，∴D正确，符合题意． 2．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 3．（25-26八年级下·湖北荆门·月考）若，，则等于（　　） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题利用平方差公式分解所求代数式，再代入x，y的表达式化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 4．（25-26八年级下·重庆万州·月考）若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，原式化简为，再利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵且a，b，c均不为0， ∴ ∴原式 . 5．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知，则常数，的值分别是：_____． 【答案】， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数 的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 6．（2026·湖北孝感·一模）计算的结果是______． 【答案】/ 【分析】先化为同分母，利用同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】 ． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）当时，将x，，按从小到大的顺序用“<”连接起来：________． 【答案】 【分析】利用作差法比较大小，结合的条件判断差的符号，即可得到三个代数式的大小顺序． 【详解】解：①比较与的大小：， ， ，． ，即， 可得； ②比较与的大小：， ， ，，． ，即， 可得． 综上，． 8．（24-25八年级下·广东梅州·开学考试）已知分式：及一组数据，0，1．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个合适的数代入并求值． 【答案】； 【分析】先根据分式的性质化简分式，再由分式有意义的条件，将代入求解即可． 【详解】解： ， ∵要使原分式有意义，则，且， 解得，且， ∴将代入，原式． 9．（24-25八年级下·四川乐山·月考）先化简：，然后再从，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】 【分析】先根据分式的混合运算化简，再取代入求解即可 【详解】解：原式 ∴当时，原式 10．（25-26八年级下·四川成都·月考）先化简，再求值：，在，，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，原式． 【分析】先利用分式除法运算规则对分式进行化简，再根据分式有意义的条件选择数值代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴在，，，中，只能选， 当时，原式． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把所给的等式利用分式的乘除混合运算法则化简，然后结合积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先判断分母能否与分子的因式产生公因式，若不存在公因式则无法进行分式化简，据此分析各选项． 【详解】解：A、当时，，能化简，故该选项不符合题意； B、当时，，能化简，故该选项不符合题意； C、当时，，无法进行分式化简，故该选项符合题意； D、当时，，能化简，故该选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 4．（25-26八年级下·重庆·月考）若一个四位数N，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足千位上的数字比百位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称N为“创新数”，例如，因为，，所以5467是一个“创新数”．对于一个“创新数”，规定，若C是最大的“创新数”，则________；已知A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b，为偶数．规定，当，则________． 【答案】 1133 【分析】易得最大的“创新数”C，即可求得；依题意可确定“创新数”A、B的各位数字，因而可计算出，根据题意可求得a与b的值，即可求解． 【详解】解：“创新数”C最大，则千位为9，从而百位为8，十位数字为6，个位数字为7，即“创新数”C最大为9867，则； ∵A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b， ∴A的千位数字为，十位数字为8，B的百位数字为6，十位数字为， ∴，， 则， ∴， ∵为偶数， ∴为整数， ∴当E为整数且取最大值时，必须，且要最大， ∴，即， ∴， ∵“创新数”各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴，不能取6或7或8， ∴， ∵， ∴不能取4或5或6， ∴， 当，则， 此时，，E为整数且取得最大值， ∴． 5．（25-26八年级下·甘肃·期末）已知，，则的值_____0．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，分式的加法． 将通分后得到，代入得，由， 得到，即，根据可知． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·江苏南通·月考）若，对任意自然数都成立，则________，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求________． 【答案】 1 【分析】本题考查分式的混合运算．由于，对任意自然数都成立， 因此把代入等式，即可求出a的值．设，分别把，代入等式，求出b，c的值，从而得到分式可裂项为两个分式的差，根据该规律将所求式子进行裂项求解即可． 【详解】解：∵，对任意自然数都成立， ∴当时，， ∴． 设， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 解方程组得， ∴， ∴ ． 故答案为：1；． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，正确计算是解题的关键．由已知条件 可得 ，即 ．将所求分式的分子和分母分别用 和 表示，代入化简即可． 【详解】解：由 ，得 ， 所以 ，即 ． 所求分式的分子为 ， 分母为 ． 所以 ． 故答案为：. 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，且，，小丽和小军在对上述式子进行化简之后，小丽说不论取何值，的值都比的值大；小军说不论取何值，的值都比的值大，请你判断他们谁的结论正确，并说明理由． 【答案】小军的说法正确．见解析 【详解】解：小军的说法正确． 理由：， ， ． ， ， ， ． 9．（2023八年级·贵州遵义·竞赛）若，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据分式的基本性质和加减法进行变形求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴同理可得，， ∴ 10．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． (1)当时，计算：______；______． (2)【探究运算律】对正实数a，b，运算“”是否满足交换律？ ，， ． ∴运算“”满足交换律． 对正实数a，b，c，运算“⊕”是否满足结合律？请说明理由； (3)【应用新运算】如图，在线段上取一点E，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接、，，，若的面积为3，，则的值为_______． 【答案】(1)； (2)满足，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算先分别计算和，再计算和，然后比较计算结果，即可得出结论； （3）根据新定义的运算先计算，再计算，再根据已知得出，，然后根据完全平方公式求出，再待入原式的最简结果计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ； （2）解：满足，理由如下： ∵，， ∴， ， ∴， 即对正实数a，b，c，运算“⊕”满足结合律； （3）解：∵， ∴ ， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，已舍去）， ∴原式． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.2 分式的运算『第五章 分式与分式方程』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共57题） 〔原卷版〕 2 知识点一 分式的乘除 2 知识点二 分式的乘方 2 知识点三 同分母分式的加减 2 知识点四 异分母分式的加减 2 知识点五 分式混合运算 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 分式乘法 3 考点讲练二 分式除法 3 考点讲练三 分式乘除混合运算 3 考点讲练四 分式乘方 4 考点讲练五 含乘方的分式乘除混合运算 4 考点讲练六 同分母分式加减法 4 考点讲练七 最简公分母 5 考点讲练八 通分 5 考点讲练九 异分母分式加减法 5 考点讲练十 整式与分式相加减 6 考点讲练十一 已知分式恒等式，确定分子或分母 6 考点讲练十二 分式加减混合运算 6 考点讲练十三 分式加减的实际应用 7 考点讲练十四 分式加减乘除混合运算 7 考点讲练十五 分式化简求值 8 考点讲练十六 分式最值 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 闯关训练 10 【基础夯实 能力提升】 10 【创新拓展 拔尖冲刺】 11 知识点一 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点二 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点三 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能 省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点四 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点五 分式混合运算 （1）分式混合运算中，复合运算的顺序应遵循先乘除后加减的原则。同时，对于有括号的表达式，应优先计算括号内的内容。 （2)在分式混合运算中，会遇到一些特殊形式，如分母为零的情况。对于这类情况，需要特别注意，因为分母为零的分数是没有意义的。此外，还需要注意负数的处理以及分数的倒数等特殊情况。 考点讲练一 分式乘法 【典例分析】（24-25八年级下·北京·期末）计算： 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：__________． 考点讲练二 分式除法 【典例分析】（25-26八年级下·河北张家口·期末）分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：______． 考点讲练三 分式乘除混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·海南儋州·期中）化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）化简下列分式． (1)； (2)． 考点讲练四 分式乘方 【典例分析】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）如果，则的值等于____________； 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)____________； (2)________________________． 考点讲练五 含乘方的分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【变式训练】（（23-24八年级下·全国·课堂例题）计算：_________． 考点讲练六 同分母分式加减法 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知、，用“”或“”连接，有三种不同的形式，即：、、，请你任取其中一种进行化简，并求值，其中，． 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 考点讲练七 最简公分母 【典例分析】（24-25八年级下·山东临沂·期末）下列关于分式的说法正确的是（    ） A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是 C． D．化简的结果是 【变式训练】（（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）分式、的最简公分母是______，通分为______． 考点讲练八 通分 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 考点讲练九 异分母分式加减法 【典例分析】（25-26八年级下·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【变式训练】（（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 考点讲练十 整式与分式相加减 【典例分析】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______． 【变式训练】（（24-25八年级下·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 考点讲练十一 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例分析】（2024·山东聊城·一模）为常数，如果，则___________． 【变式训练】（（25-26八年级下·山东德州·月考）A，B为常数，如果，则_______． 考点讲练十二 分式加减混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·江苏盐城·周测）先化简，再求值：，其中 【变式训练】（（2024八年级下·全国·竞赛）求证：． 考点讲练十三 分式加减的实际应用 【典例分析】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 【变式训练】（（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 考点讲练十四 分式加减乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·河南新乡·期中）计算和化简： (1)； (2)． 【变式训练】（（25-26八年级下·河南南阳·月考）计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 考点讲练十五 分式化简求值 【典例分析】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】（（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求值：，其中 考点讲练十六 分式最值 【典例分析】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【变式训练】（（24-25八年级下·北京·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 【真题演练1】（2024·山西临汾·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【真题演练2】（2024·吉林松林·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【真题演练3】（2024·重庆·中考真题）先化简，再求值： ，其中． 【真题演练4】（2024·山东菏泽·中考真题）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【真题演练5】（2024·辽宁沈阳·中考真题）化简：______． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·河南新乡·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级下·湖北荆门·月考）若，，则等于（　　） A． B．0 C．4 D． 4．（25-26八年级下·重庆万州·月考）若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 5．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知，则常数，的值分别是：_____． 6．（2026·湖北孝感·一模）计算的结果是______． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）当时，将x，，按从小到大的顺序用“<”连接起来：________． 8．（24-25八年级下·广东梅州·开学考试）已知分式：及一组数据，0，1．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个合适的数代入并求值． 9．（24-25八年级下·四川乐山·月考）先化简：，然后再从，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 10．（25-26八年级下·四川成都·月考）先化简，再求值：，在，，，中选一个合适的数代入求值． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 3．（25-26八年级下·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·月考）若一个四位数N，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足千位上的数字比百位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称N为“创新数”，例如，因为，，所以5467是一个“创新数”．对于一个“创新数”，规定，若C是最大的“创新数”，则________；已知A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b，为偶数．规定，当，则________． 5．（25-26八年级下·甘肃·期末）已知，，则的值_____0．（填“”、“”或“”）． 6．（25-26八年级下·江苏南通·月考）若，对任意自然数都成立，则________，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求________． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若，则的值为___________． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，且，，小丽和小军在对上述式子进行化简之后，小丽说不论取何值，的值都比的值大；小军说不论取何值，的值都比的值大，请你判断他们谁的结论正确，并说明理由． 9．（2023八年级·贵州遵义·竞赛）若，求证：． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． (1)当时，计算：______；______． (2)【探究运算律】对正实数a，b，运算“”是否满足交换律？ ，， ． ∴运算“”满足交换律． 对正实数a，b，c，运算“⊕”是否满足结合律？请说明理由； (3)【应用新运算】如图，在线段上取一点E，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接、，，，若的面积为3，，则的值为_______． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $