专题4.4 因式分解章节复习培优讲义【知识梳理+14个考点讲练+真题演练+分层训练 共53题】-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.4 因式分解『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共53题） 〔原卷版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 因式分解 2 知识点二 提公因式法 2 知识点一 公式法 2 知识点二 十字相乘法和分组分解法 2 知识点三 因式分解的一般步骤 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 判断是否是因式分解 3 考点讲练二 已知因式分解的结果求参数 3 考点讲练三 公因式 4 考点讲练四 提公因式法分解因式 4 考点讲练五 判断能否用公式法分解因式 5 考点讲练六 平方差公式分解因式 6 考点讲练七 完全平方公式分解因式 6 考点讲练八 综合运用公式法分解因式 7 考点讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 8 考点讲练十 实数范围内分解因式 9 考点讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 9 考点讲练十二 十字相乘法 9 考点讲练十三 分组分解法 11 考点讲练十四 因式分解的应用 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 闯关训练 13 【基础夯实 能力提升】 13 【创新拓展 拔尖冲刺】 16 知识点一 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点二 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点一 公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点二 十字相乘法和分组分解法 十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点三 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 考点讲练一 判断是否是因式分解 【典例分析】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】观察下列各式从左到右的变形：①；②；③；④；⑤．其中是分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练二 已知因式分解的结果求参数 【典例分析】（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 考点讲练三 公因式 【典例分析】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【变式训练】下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 考点讲练四 提公因式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·四川成都·月考）按要求完成下列计算： (1) 因式分解：； (2)解不等式：； (2) 解不等式组：. 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点讲练五 判断能否用公式法分解因式 【典例分析】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【变式训练】观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 考点讲练六 平方差公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1) ； (2)； (3)． 【变式训练】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练七 完全平方公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·广西崇左·期末）分解因式后结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范解答了一道例题，如下图． 例：因式分解：． 解：设， 则原式  第一步   第二步   第三步   第四步 解答下列问题： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的____________（填序号）． ①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式． (2)请仿照以上例题分解因式． 考点讲练八 综合运用公式法分解因式 【典例分析】（24-25八年级下·福建漳州·期末）阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 【变式训练】（24-25八年级下·江西九江·月考）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ①分解因式； ②求代数式的最小值：由可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料内容，使用配方法解答下列问题． (1)分解因式：________． (2)当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值． 考点讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·陕西西安·月考）因式分解 (1) (2) 【变式训练】分解因式： (1) (2) 考点讲练十 实数范围内分解因式 【典例分析】在实数范围内分解因式：__________． 【变式训练】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解______． 考点讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 【典例分析】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）利用因式分解计算：． 【变式训练】（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）分解因式：； （2） 利用因式分解计算：． 考点讲练十二 十字相乘法 【典例分析】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）新乡某初中数学小组就一道试题展开了不同的解法，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一： 设另一个因式为，得 则， ，解得， ． 另一个因式为，的值为． 解法二： 设另一个因式为，得 当时， 即，解得 另一个因式为，的值为． 任务： (1)已知多项式分解因式的结果中有因式，则按照解法二的思路，可以令 ，之后求出实数 ； (2)已知二次三项式有一个因式是，按照解法一的思路求另一个因式及的值； (3)若多项式（是常数）分解因式后，有一个因式是，直接写出代数式的值． 【变式训练】（24-25八年级下·广东佛山·期末）因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 考点讲练十三 分组分解法 【典例分析】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）【阅读材料，掌握知识】爱动脑筋的康同学要把多项式分解因式，是这样想的：先把它的前两项、后两项分成两组，并分别提出公因式，，得到的结果中又会有公因式，于是再提出公因式，从而解决问题，解题过程如下． 原式 ． 这种方法称为分组法．分组法是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【理解知识，解决问题】 （1）将多项式分解因式的结果是 ． （2）因式分解： ． 【提炼思想，拓展应用】 （3）已知的三边长分别是，，，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 考点讲练十四 因式分解的应用 【典例分析】（25-26八年级下·山东济南·月考）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【变式训练】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【真题演练1】（2024·浙江绍兴·中考真题）因式分解：______． 【真题演练2】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是______． 【真题演练3】（2024·辽宁丹东·中考真题）因式分解：______． 【真题演练4】（2025·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【真题演练5】（2024·四川绵阳·中考真题）因式分解：_________． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 2．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）不论，取何实数，式子的值总是________． 5．（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）已知某广场上一个圆形喷水池的面积为，则该圆形喷水池的半径为___________． 6．（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）因式分解：____________． 7．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解： (1)； (2)． 8．（22-23八年级下·河南周口·期中）按要求完成下列各题： (1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． (2)因式分解： 9．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 10．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式例如：，． (1)下列各式中，是完全平方式的是． ． (2)若和都是完全平方式（其中，都是常数），求的值． (3)多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的情况） 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．（25-26八年级下·全国·月考）若，则（    ） A． B．8 C． D．6 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为，也可以是，对于多项式，取时，密码不可能为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式：=___________ 5．（25-26八年级下·全国·周测）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪发现其中有一道题目出错了，出错的是第__________道题（填序号）． 用平方差公式把下列各式因式分解： ①；②；③；④． 7．把下列各式分解因式： (1) (2)． 8．（25-26八年级上·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 9．先阅读材料，再回答问题： 材料：分解因式： 解： 回答问题： (1)材料中最后一步分解因式的结果是___________． (2)分解因式：，结果是___________． (3)分解因式：，结果是___________． (4)若，则的值为___________． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.4 因式分解『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共53题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 因式分解 2 知识点二 提公因式法 2 知识点一 公式法 2 知识点二 十字相乘法和分组分解法 2 知识点三 因式分解的一般步骤 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 判断是否是因式分解 3 考点讲练二 已知因式分解的结果求参数 4 考点讲练三 公因式 6 考点讲练四 提公因式法分解因式 7 考点讲练五 判断能否用公式法分解因式 8 考点讲练六 平方差公式分解因式 10 考点讲练七 完全平方公式分解因式 11 考点讲练八 综合运用公式法分解因式 12 考点讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 15 考点讲练十 实数范围内分解因式 16 考点讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 17 考点讲练十二 十字相乘法 18 考点讲练十三 分组分解法 20 考点讲练十四 因式分解的应用 22 中考真题 实战演练 24 难度分层 闯关训练 26 【基础夯实 能力提升】 26 【创新拓展 拔尖冲刺】 32 知识点一 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点二 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点一 公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点二 十字相乘法和分组分解法 十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点三 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 考点讲练一 判断是否是因式分解 【典例分析】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【规范解答】解：选项A：右边为，不是积的形式，故不是因式分解； 选项B：左边为，是积的形式，右边为，从左到右的变形过程是整式乘法，故不是因式分解； 选项C：左边为，是积的形式，右边为，是整式乘法，故不是因式分解； 选项D：左边为多项式，右边为，是积的形式，故属于因式分解； 故选：D． 【变式训练】观察下列各式从左到右的变形：①；②；③；④；⑤．其中是分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐个判断即可得． 【规范解答】解：①是多项式的乘法，不是分解因式； ②等号右边不是积的形式，不是分解因式； ③是分解因式； ④是分解因式； ⑤含分式，不是分解因式； 综上，是分解因式的有2个， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了因式分解，熟记因式分解的定义是解题关键． 考点讲练二 已知因式分解的结果求参数 【典例分析】（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【规范解答】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 考点讲练三 公因式 【典例分析】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【思路引导】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【规范解答】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 【变式训练】下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【思路引导】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【规范解答】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【考点剖析】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 考点讲练四 提公因式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·四川成都·月考）按要求完成下列计算： (1)因式分解：； (2)解不等式：； (3)解不等式组：. 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）先将式子变形，然后提取公因式进行因式分解； （2）根据解一元一次不等式的步骤，先去括号，再移项、合并同类项后，最后将系数化为1即可； （3）分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】运用提公因式法分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点讲练五 判断能否用公式法分解因式 【典例分析】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【思路引导】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【规范解答】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【变式训练】观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) (4)63 【思路引导】（1）依据题意，由因式分解的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法等，可以判断得解； （2）仿照例子，即可变形得解； （3）依据题意，根据前面所得结果即可得解； （4）依据上述（3）结论，令，则可以得解． 【规范解答】（1）解：由题意得，第三步到第四步提取了公因式，故采用的提公因式法． 故答案为：提公因式法． （2）解： （3）解：由（1）、（2）可得，． （4）解：由（3）， 当时，． 令， ． ． 【考点剖析】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能读懂题意，学会转化． 考点讲练六 平方差公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)4 【思路引导】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式训练】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用提公因式法、公式法逐项进行判断即可解答． 【规范解答】解：A．不是因式分解，因此选项不符合题意； B．，因式分解正确，因此选项符合题意； C．，不符合因式分解的意义，是整式的乘法，因此选项不符合题意； D．，因此选项不符合题意． 考点讲练七 完全平方公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·广西崇左·期末）分解因式后结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了因式分解和完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，并能正确提取负号．将各选项逐一因式分解，与进行比对，判断是否符合题意． 【规范解答】解：A、 ，此选项符合题意； B、，无法分解为，此选项不符合题意； C、 ，此选项不符合题意； D、 ，此选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范解答了一道例题，如下图． 例：因式分解：． 解：设， 则原式  第一步   第二步   第三步   第四步 解答下列问题： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的____________（填序号）． ①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式． (2)请仿照以上例题分解因式． 【答案】(1)④ (2) 【思路引导】本题考查了换元法在因式分解中的应用、完全平方公式．解题关键是通过换元将复杂多项式转化为易于分解的形式，最后再回代得到最终结果． （1）判断第二步到第三步所用的因式分解公式； （2）使用换元法，将重复出现的设为一个新元，简化多项式后再因式分解． 【规范解答】（1）解：第二步得到，第三步得到，这符合两数差的完全平方公式，对应序号为 ④． （2）解：设， 则原式 ． 考点讲练八 综合运用公式法分解因式 【典例分析】（24-25八年级下·福建漳州·期末）阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【思路引导】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，，求出，，即可得出结论． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； （3）解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式训练】（24-25八年级下·江西九江·月考）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ①分解因式； ②求代数式的最小值：由可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料内容，使用配方法解答下列问题． (1)分解因式：________． (2)当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值． 【答案】(1) (2)，，的值最小，最小值为 【思路引导】（）根据题例①因式分解即可； （）利用配方法把原式转化为，进而根据非负数的性质解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵，， ∴当，时，即，，的值最小，最小值为． 考点讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·陕西西安·月考）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： （2）解： 【变式训练】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 考点讲练十 实数范围内分解因式 【典例分析】在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【变式训练】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解______． 【答案】 【思路引导】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【规范解答】解： 故答案为：． 考点讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 【典例分析】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【思路引导】先把原式化成完全平方公式的形式，然后再按照完全平方公式分解后求解即可． 【规范解答】解： ． 【考点剖析】掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式训练】（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了提公因式法、平方差公式、完全平方公式在因式分解及简便计算中的应用，熟练掌握因式分解的方法和乘法公式的结构特征是解题的关键． （1）先提取公因式 ，再将括号内的式子整理为平方差的形式，利用平方差公式分解，最后对分解后的因式用完全平方公式进一步化简； （2）观察式子结构，将 转化为 ，使原式符合完全平方公式的形式，再利用公式进行简便计算． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 考点讲练十二 十字相乘法 【典例分析】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）新乡某初中数学小组就一道试题展开了不同的解法，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一： 设另一个因式为，得 则， ，解得， ． 另一个因式为，的值为． 解法二： 设另一个因式为，得 当时， 即，解得 另一个因式为，的值为． 任务： (1)已知多项式分解因式的结果中有因式，则按照解法二的思路，可以令 ，之后求出实数 ； (2)已知二次三项式有一个因式是，按照解法一的思路求另一个因式及的值； (3)若多项式（是常数）分解因式后，有一个因式是，直接写出代数式的值． 【答案】(1)3；1 (2)另一个因式为，的值为 (3)4 【思路引导】本题属于阅读材料类题型，解题的关键是理解题干中的信息以及熟练掌握因式分解． （1）利用解法二的步骤进行计算即可； （2）利用解法一的思路，由于二次项系数为负数，故假设另一因式应为，随后按步骤求解即可； （3）采用解法二，能得出方程，变形得出的值． 【规范解答】（1）解：假设另一个因式为， 得， ∴当时， ， 即，解得． （2）解：设另一个因式为，得 则， ，解得，， 另一个因式为，的值为． （3）解：采用解法二进行计算， 假设另一个因式为， 得， ∴当时， ， 即， 变形得， 故的值为4． 【变式训练】（24-25八年级下·广东佛山·期末）因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的整体思想解决问题． （1）令，代入式子得； （2），令，原式，据此证明． 【规范解答】（1）解：令， ； （2） ， 令， 原式 ， 所以代数式的值为一个整数的平方． 考点讲练十三 分组分解法 【典例分析】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）【阅读材料，掌握知识】爱动脑筋的康同学要把多项式分解因式，是这样想的：先把它的前两项、后两项分成两组，并分别提出公因式，，得到的结果中又会有公因式，于是再提出公因式，从而解决问题，解题过程如下． 原式 ． 这种方法称为分组法．分组法是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【理解知识，解决问题】 （1）将多项式分解因式的结果是 ． （2）因式分解： ． 【提炼思想，拓展应用】 （3）已知的三边长分别是，，，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）是等边三角形，见解析 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式、利用完全平方公式判断三角形形状，通过分组提取公因式或运用公式逐步分解． （1）观察多项式，将前两项和后两项分组，即和，分别提取公因式，得到和，注意到，转化为，此时两项有公因式，提取后得； （2）观察多项式，分组为和，分别提取公因式，得到和，两项有公因式，提取后得，再用平方差公式分解为； （3）已知等式，移项整理为．分组为和，利用完全平方公式转化为．因平方数非负，两非负数和为0则各自为0，故，三角形为等边三角形． 【规范解答】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）， ， ， ， ，， ，， ， △是等边三角形． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 考点讲练十四 因式分解的应用 【典例分析】（25-26八年级下·山东济南·月考）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【答案】(1) (2)时，多项式有最大值，最大值为 (3) 【思路引导】（1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见详解 【思路引导】（1）令，根据题中所给方法进行求解即可； （2）令，然后去括号，再根据题中所给方法进行因式分解，然后根据平方的非负性即可得证． 【规范解答】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 将A还原，则原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式， 将B还原，则原式， ∵， ∴无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【真题演练1】（2024·浙江绍兴·中考真题）因式分解：______． 【答案】 【思路引导】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解求解即可． 【规范解答】解：由题意知，， 故答案为：． 【真题演练2】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握分解因式的方法，分解因式的主要方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法． 先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】 ； 故答案为：． 【真题演练3】（2024·辽宁丹东·中考真题）因式分解：______． 【答案】 【思路引导】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 【真题演练4】（2025·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【考点剖析】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 【真题演练5】（2024·四川绵阳·中考真题）因式分解：_________． 【答案】 【思路引导】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【规范解答】解：原式＝． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】利用非负数的性质求解，算术平方根和完全平方都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出a，b的值，再计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， 解得 ，， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据完全平方公式的结构，判断各选项是否符合该公式结构即可． 【规范解答】解：A ，常数项为，是负数，不满足公式结构，不符合要求； B ，若符合公式结构，中间项，对应常数项应为，不是，不匹配，不符合要求； C ，只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求； D ，首项，末项，中间项，符合完全平方公式结构，分解得，符合要求． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用平方差公式和完全平方公式，对比等式左右两边即可判断． 【规范解答】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）不论，取何实数，式子的值总是________． 【答案】非负数 【思路引导】本题主要考查了因式分解的意义，利用完全平方公式将原式变形为，根据平方的非负性，得出表达式值总是非负数． 【规范解答】解：， ， ∵， ∴， ∴不论，取何实数，式子的值总是非负数， 故答案为：非负数． 5．（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）已知某广场上一个圆形喷水池的面积为，则该圆形喷水池的半径为___________． 【答案】 【思路引导】对已知的面积表达式因式分解，结合圆的面积公式对比得到半径的平方，结合得到半径． 【规范解答】解：设该圆形喷水池的半径为r， ， ∵某广场上一个圆形喷水池的面积为， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴该圆形喷水池的半径为． 6．（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）因式分解：____________． 【答案】 【思路引导】先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解． 【规范解答】解： ． 7．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提取公因式，再使用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再使用完全平方公式进行分解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 8．（22-23八年级下·河南周口·期中）按要求完成下列各题： (1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． (2)因式分解： 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【思路引导】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）展开后合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 9．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 【答案】(1)； (2)48或． 【思路引导】将式子分成两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； （2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解： （2）因为， 所以， 即， 所以， 因为a，b，c为等腰的三边长， 所以或， 当时，腰长为，底边为， 由三线合一性质可知：底边长一半的平方加上高长的平方等于腰长的平方， 底边上的高是：， 面积是：， 当时，腰长为，底边为， 同理可得：底边上的高是：， 面积是： 答：等腰的面积是48或 10．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式例如：，． (1)下列各式中，是完全平方式的是． ． (2)若和都是完全平方式（其中，都是常数），求的值． (3)多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的情况） 【答案】(1)①③⑤ (2)或 (3)，，，． 【思路引导】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果； （3）根据完全平方式的定义分情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：①， ②无法写成另一个整式的完全平方的形式， ③， ④无法写成另一个整式的完全平方的形式， ⑤ ⑥，无法写成另一个整式的完全平方的形式； （2）解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）解：∵， ， ， ， ∴多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【思路引导】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 2．（25-26八年级下·全国·月考）若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【思路引导】先求出的值，再代入求值即可． 【规范解答】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【考点剖析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为，也可以是，对于多项式，取时，密码不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了因式分解、求代数式的值，先对多项式进行因式分解，得到因式形式，再代入和的值，计算各因式的值，得到三个数字，然后检查选项是否这些数字的排列． 【规范解答】解： ， 代入 ，， 可得：，，， 因式值为 ， ， ， 可能密码有：，，，，，， 密码不可能是． 故选：D． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式：=___________ 【答案】 【思路引导】先对原式中互为相反数的因式变形，提取相同公因式，再用提公因式法完成因式分解． 【规范解答】解：． 5．（25-26八年级下·全国·周测）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形体积的割补是解题的关键． 图②图形的体积有两种计算方法：（1）三个长方体体积相加；（2）大正方体体积减去小正方体体积，按要求列出式子，即可解答． 【规范解答】解：将图②分成三个长方体， 可得体积为 ， ． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪发现其中有一道题目出错了，出错的是第__________道题（填序号）． 用平方差公式把下列各式因式分解： ①；②；③；④． 【答案】③ 【思路引导】本题考查平方差公式因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 根据平方差公式要求表达式为两个平方项相减的形式，逐一分析各选项即可判断． 【规范解答】解：① 可分解为 ，符合平方差公式； ② 可分解为 ，符合平方差公式； ③ 表示为 ，不是平方差形式，无法用平方差公式分解； ④ 可分解为 ，符合平方差公式． 故出错的是第③道题． 故答案为：③． 7．把下列各式分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再完全平方公式分解因式得出答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级上·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)132 (4)，，最小值为2016 【思路引导】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【规范解答】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 9．先阅读材料，再回答问题： 材料：分解因式： 解： 回答问题： (1)材料中最后一步分解因式的结果是___________． (2)分解因式：，结果是___________． (3)分解因式：，结果是___________． (4)若，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）提公因式即可解题； （2）根据因式分解的方法解题即可； （3）结合（1）（2）中的规律即可得到结论； （4）根据（3）中的结论解方程即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解：由（1）（2）可知， ； （4）解：， ∴， ∴， 解得． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①13；②95 【思路引导】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果； ②由，，，得到，求出，得到，据此求出a、b的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵，，， ∴，，即， ∴， 解得，， ∴原式． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $