第三章 函数 第11节 二次函数与角度问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习

第三章 函数 第11节 二次函数与角度问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 1．如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 2．已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标为， 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据抛物线的对称轴为直线，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解； （2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设关于的对称点为，则，验证可得点与点重合，得出，当在的上方时，作点关于的对称点，即，进而联立直线与抛物线解析式，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴二次函数解析式为 将代入得， 解得：， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，，则 ∴，， 设，则 ①当在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设关于的对称点为，则， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴点与点重合， ∴ 当在的上方时，作点关于的对称点 ∵都是等腰直角三角形， ∴在轴上， 同理可得直线解析式为 联立 解得：或 ∴ 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为， 4．如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当时，求点P的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或； 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，取，连接， ∵、，， ∴， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或； 5．如图1，二次函数交轴于和，交轴于． (1)求的值． (2)为函数图象上一点，满足，求点的横坐标． 【答案】(1)； (2)或； 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，，作轴于点，设，分当点在轴上方和点在轴下方时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，列式求解即可； 【详解】（1）解：∵二次函数交轴于， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或， 令，则， ∴，，， 作轴于点， 设， 当点在轴上方时，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）； 当点在轴下方时，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）； ∴或； 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； 【详解】（1）解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； （2）解：连接，   ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解； 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 即，则， 故抛物线的表达式为：①； （2）解：在中，， ， 则， 故设直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 8．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； （2）解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 9．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，， (2) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标； （2）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 当时， 解得：， ∴ （2）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，    ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴在上， ∵，， ∴，， ∵， ∴在上， 设，则 解得：（舍去） ∴点 设直线的解析式为 ∴ 解得：. ∴直线的解析式 ∵，， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数； (2)若，求m的值； (3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）； (2) (3) 【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得； （2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得，，．根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解； （3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即． 【详解】（1）当时，． 解方程，得，． ∵点A在点B的左侧，且， ∴，． 当时，． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）方法一：如图1，连接AE． ∵， ∴，． ∴，，． ∵点A，点B关于对称轴对称， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴， 即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴解方程，得． 方法二：如图2，过点D作交BC于点H． 由方法一，得，． ∴． ∵， ∴， ． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． ∵， ∴解方程，得． （3）． 设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即． ∵， ∴． ， ， ∴． 解得， 又， ∴． 11．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，当时，求直线的表达式； 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可； （2）设与y轴交于点E，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可； 【详解】解：（1）由题意可得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）设与y轴交于点E， ∵轴， ， ， ， ， ，设， 则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设所在直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． 【A组基础达标】 1．如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【答案】(1)D的坐标为， (2) 【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或 5 ，即可求解； （2）求出直线的表达式，的表达式，得到直线的表达式，求出，进而求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 则抛物线顶点的坐标为， 令，则或， ，， ． （2）解：由题意，得点，，，的坐标分别为，，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 则，， 解得：，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 如图，过点作交的延长线于点，垂足为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，解得， ． ，， ∴， ∴， 是的中点， ． 点在直线上， ， 解得：（舍去）或， ． 2．如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后配方成顶点式求解即可； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点，，然后表示出，，，，然后证明出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ，即， ， ， ， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ∴该抛物线的表达式为， 设点，， 则，，，， 在和中，，， ． ， ， ，即， 平分． 3．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点为直线AC上方抛物线上一动点，当时，点的坐标为______; 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； 4．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 5．已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，m、n的值不能确定，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可； （3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）解：，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． 6．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将代入，求出点B的坐标，根据，得到点A的坐标，利用待定系数法将点A坐标代入即可求解； （2）先求出点C的坐标，由，可得是等腰直角三角形，得到，根据，则，可得点P在y轴右侧，分点P在x轴上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将代入，则， ∴， ∵， ∴， 将点A坐标代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在y轴右侧， 当点P在x轴下方时，设延长线交x轴于点E， 则，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 当点P在x轴上方时，设与x轴交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数与几何综合、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 7．已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； 【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． 8．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． (2)M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点M的坐标为； (3)存在，点P的坐标为或． 【分析】（1）先求出点、、的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点M作轴交于点E，由题意可得点M的坐标为，点E的坐标为，在中，，，解直角三角形并结合二次函数的性质即可得解； （3）作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N，则，设，由勾股定理求出，再由，求出即可得解． 【详解】（1）解：当时，， 解得，． 点A在点B的左侧， A，B两点的坐标分别为，． 当时，， 点C的坐标为． 设直线的函数表达式为， 把，代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：如图，过点M作轴交于点E， 点B的坐标为，点C的坐标为， ，． 在中，根据勾股定理可得． 为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，轴交于点E， 点M的坐标为，点E的坐标为， ． 轴， ， ． 在中，，， ， 当时，线段最长， 点M的坐标为 （3）解：存在，点P的坐标为或． 如图，作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 点M的坐标为，A，B两点的坐标分别为，， ，， ，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， ， ， 当时，， ， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在抛物线上，满足，求点D的坐标； 【答案】(1)； (2)或； 【分析】（1）把代入得，求出，用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，，，分两种情况：①当D在下方时，设延长线交x轴于K，证明，有，得，，即可求得直线解析式为，联立可解得；②当在上方时，设交x轴于W，过B作轴交直线于T，证明，可得，求出，，知，故直线的解析式为，联立，解得； 【详解】（1）解：∵，C在y轴负半轴， ∴， 把代入得， ∴， 令得， ∴， 把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令得， 解得或， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当D在下方时，设延长线交x轴于K，如下图， 此时， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ∴； ②当在上方时，设交x轴于W，过B作轴交直线于T，如上图， 此时，， 又， ∴， ∴， 在中，令得， ∴，， ∴，， ∴， 由，得直线CW的解析式为， 联立， 解得或， ∴； 综上所述，D的坐标为或； 11．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴相交于点C，P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P分别作和x轴的垂线，交于点E和F，交x轴于点M和N． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的余弦值； 【答案】(1)； (2)； ( 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，则，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：令，则， 点， ， ，，， ， ； 12．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形的三个顶点为． (1)求c，b（可用含t的代数式表示）； (2)当时，抛物线与线段交于点M．在点P的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值； 【答案】(1) (2)不变， 【分析】（1）由抛物线经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b； （2）当时，，求得M的坐标，则可求得的度数； 【详解】（1）解：把代入，得， 再把代入，得， ∵， ∴； （2）解：不变． ∵抛物线的解析式为：，且M的横坐标为1， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第11节 二次函数与角度问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 1．如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． 2．已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 4．如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当时，求点P的坐标； 5．如图1，二次函数交轴于和，交轴于． (1)求的值． (2)为函数图象上一点，满足，求点的横坐标． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； 8．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数； (2)若，求m的值； (3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 11．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，当时，求直线的表达式； 【A组基础达标】 1．如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 3．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点为直线AC上方抛物线上一动点，当时，点的坐标为______; 4．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 6．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 7．已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； 8．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． (2)M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在抛物线上，满足，求点D的坐标； 11．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴相交于点C，P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P分别作和x轴的垂线，交于点E和F，交x轴于点M和N． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的余弦值； 12．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形的三个顶点为． (1)求c，b（可用含t的代数式表示）； (2)当时，抛物线与线段交于点M．在点P的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值； 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $