第三章 函数 第9节 二次函数与相似三角形问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习

第三章 函数 第9节 二次函数与相似三角形问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 1．如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 5．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 6．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线第二象限内一点，连接交于Q，若，求点P的坐标； 【A组基础达标】 1．抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 2．如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； 3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． 4．【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标． 6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，抛物线经过A，B． (1)求抛物线解析式； (2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点P，连接PB． ①当时，求的面积. ②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值． 7．抛物线与轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点作直线轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接交y轴于点N，连接． (1)时，求抛物线的解析式和的长； (2)如图，时，若，求的值； (3)是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第9节 二次函数与相似三角形问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 1．如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，P点坐标或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可，再把解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式为，设，则，，分两种情况讨论：当时，当时，分别求出P点坐标即可． 【详解】（1）解：将点、代入， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴M点的坐标为； （2）解：存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似，理由如下： 当时，， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， 当时，， ∴， 解得：， ∴，解得：或2（舍去）， ∴； 当时，， ∴，解得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴P点的坐标为； 综上所述：P点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②存在，或 【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）①设，则，其中，确定，即可求解； ②根据待定系数法确定直线的解析式为，得出点的坐标为，分别过点、作轴于点轴于点，由，得，然后分两种情况讨论：I．当时，，II．当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 该抛物线的表达式为； （2）①当时，， ∴， 设直线的解析式是：， 则，解得：， ∴直线的解析式是：， 如图1，设，则，其中， 则， 当时，线段有最大值，为，， 此时点的坐标为． ②存在，理由如下： ， 使用待定系数法同理可得：直线的解析式为． 令，则， 点的坐标为． ， ，且， ． 如图1，分别过点、作轴于点轴于点． 由，得， ∴． 分两种情况讨论： I．当时，， 即， 解得，满足， 此时点的坐标为． II．当时，， 即， 解得，满足，此时，点的坐标为． 综上所述，存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似， 点的坐标为或． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）令，解得：， ∴， 所以直线的解析式为直线， 作轴，交的延长线于点，作轴，交于点， 则：， ∵， ∴当时，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是同高三角形， ∴， ∴当时，的值最大，为． 5．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）作于，交于，根据，，表示出的长，根据相似三角形判定和性质即可求出的值，结合二次函数的最值即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点、， ∴ 解得 ∴； （2）解：如图： 作于，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 6．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线第二象限内一点，连接交于Q，若，求点P的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把A，C坐标分别代入解析式，构造方程组解答即可； （2）过P作，得到，由，，，，得到，整理解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得：， 该二次函数解析式为． （2）由题，，， 设直线为：，代入得： ， 解得：， ， 过P作，交于点M， ∴ 由，，，， ， 解得：， 或． 【A组基础达标】 1．抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 【答案】(1)； (2)的值为或 【分析】（1）令和，分别求解即可； （2）分两种情况：和，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， 当时，， ； （2）解：∵是直线与抛物线的交点， ①如图，若时，则， ， 解得：（舍去）或， ②如图，若时，过作轴于点， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ，， ，， ， ， 解得：（舍去）或 综上，符合题意的的值为或． 2．如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； 3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式可得， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线 设点，则点，点， ，， ∵， ∴， ， ， ，即， 解得：，（舍去），，（舍去）， ， 4．【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）选择1：面积的最大值为；选择2：的最大值； （3）当或时，和相似． 【分析】本题考查的是二次函数与图形的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定综合． （1）已知抛物线顶点坐标和抛物线上一点坐标，可利用顶点式设抛物线解析式，再代入已知点坐标求解； （2）选择1：要求面积的最大值，可通过设点P坐标，将的面积表示为关于点P横坐标的函数，再根据D函数性质求最大值． 选择2：求的最大值，可通过设点P坐标，利用相似三角形的性质将表示为关于点P横坐标的函数，再求最大值； （3）要求使得和相似的点M的坐标，需要先求出相关线段的长度和角度，再根据相似三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】解∶ （1）顶点为， 设抛物线的解析式为． 将点代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）选择1∶如图1，过点P作轴，交于点Q， 抛物线的解析式为，交轴于点， 时，． ． 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得 直线的解析式为． 设，则， ． ， ． ， ， 当时， 面积为最大值，最大值为． 选择2∶如图2，过点P作轴，交于点Q， 设，由“选择1”可得，， 轴， ． 又， ． ． ，， 当时，取得最大值，最大值为． (3)画出示意图如图3， ，直线的解析式为， ， ． 交抛物线于点E， 可设，其中． ， ． ． 轴平分． ∴点E关于x轴对称的点在直线上， ，其中， 解得， (舍去)，此时． 分类讨论如下∶设， 当时， ． ，顶点， ． ． 又， ，， ，解得，(舍去) ∴．此时； 当时 ， ，即． 解得， (舍去)， ∴此时． 综上，当或时，和相似． 5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，三角形相似的判定与性质，求一次函数解析式，解题的关键根据二次函数的解析式求出点的坐标，结合相似设出坐标列式求解． （1）运用待定系数法直接求出抛物线的解析式； （2）过点A作轴，交的延长线于点P，过点M作轴交于点Q，则，易得，即可得到，结合直线的解析式即可得到，设，表示出，列式求解即可得到答案； 【详解】（1）∵抛物线与轴交于、两点， 把、两点坐标代入抛物线得： 解得，． 所以抛物线的解析式为． （2）如图，过点A作轴，交的延长线于点P，过点M作轴交于点Q，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：； ∵轴， ∴当时，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴ 解得，， ∴或； 6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，抛物线经过A，B． (1)求抛物线解析式； (2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点P，连接PB． ①当时，求的面积. ②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值． 【答案】(1)抛物线 (2)①的面积为3；②点的坐标；当时，有最大值，最大值为 【分析】（1）求出点B坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）①求出点P坐标，再求出的面积即可；②过点Q作于点H，设点P坐标，求出直线解析式，列出的代数式，再确定它的最大值和E点坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴得，    则直线， 当时，，点， 又∵，抛物线经过A，B， ∴解得， 则抛物线； （2）解：① 轴， ，   ， ， 点D坐标为， ，   ． ②如图，过点Q作于点H， 设直线的解析式为， ∵， ∴，     解得：， ∴直线的解析式为， 联立，    解得：， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练利用待定系数法求出二次函数解析式，利用点的坐标表示出比值，再利用二次函数的性质确定最值． 7．抛物线与轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点作直线轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接交y轴于点N，连接． (1)时，求抛物线的解析式和的长； (2)如图，时，若，求的值； (3)是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）把点代入可得到抛物线解析式，再根据抛物线的对称性求出点C的坐标，即可求解； （2）先求出点B，C，A的坐标，再证明，可得到关于a的方程，解方程即可得到结论； （3）根据平行线分线段成比例，得到， 即，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：时，抛物线解析式为， 把点代入得：， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴对称轴为直线， ∵轴，， ∴点B的横坐标为2， ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C， ∴点C的横坐标为4， ∴； （2）解：把点代入得：， ∴抛物线解析式为， ∵轴，， ∴点B的横坐标为2，， 当时，=， ∴， ∴， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：， ∵， ∴； （3）解：由（2）得：，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，涉及了求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的对称性，熟练掌握利用待定系数法，二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的对称性是解题的关键． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $