专题15 运用三角形分类、等腰等边三角形的特征解决问题（解决问题专项训练）数学苏教版四年级下册

专题15 运用三角形分类、等腰等边三角形的特征解决问题 （解决问题专项） 1．如下图，用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么围成的三角形是什么三角形？ 【答案】钝角三角形 【分析】角的大小和角两边张口的大小有关，两边张开的越大角越大。根据题意分析，题中的三角形是一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，即要将图中的直角的两条边张口再变大些，所以这个直角会变成一个钝角，所以这个三角形是钝角三角形。据此分析解答。 【解答】用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么直角的两条边的张口会变大，这个角会变成钝角，所以这时围成的三角形是钝角三角形。 答：围成的三角形是钝角三角形。 2．下面是3块三角形玻璃打碎后分别留下的碎片。你知道它们原来各是什么三角形吗？（先计算，再判断）      【答案】（1）钝角三角形； （2）锐角三角形（等边三角形）； （3）直角三角形 【分析】 根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数，求出第三个角的度数，再根据角的度数判断三角形类型：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形；有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形是钝角三角形；三个角都相等（60°）的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的锐角三角形。 【解答】 (1) 因为103°是钝角，所以该三角形是钝角三角形。 答：原来的三角形是钝角三角形。 (2) 三个角都是60°，所以该三角形是锐角三角形（等边三角形）。 答：原来的三角形是锐角三角形（等边三角形）。 (3) 因为90°是直角，所以该三角形是直角三角形。 答：原来的三角形是直角三角形。 3．“三角形王国”要举行舞会了，各种形状的三角形都来参加了，但它们来的时候都把一部分角藏了起来（如下图）。亲爱的小朋友，你能猜出它们的名字吗？ 【答案】第一个是锐角三角形，第二个是钝角三角形，第三个是直角三角形。 【分析】三个角都小于的三角形是锐角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，通过露出的一个角或两个角的度数判断三角形的类型。 【解答】第一个图中已知两个角，可以将两条边进行延长，得到完整的三角形，通过观察，可以发现，三个角都小于，该三角形是锐角三角形。 第二个露出的角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 第三个露出的角是直角，所以这个三角形是直角三角形。 4．在一个三角形中，其中两个内角的度数和等于第三个角的度数，这个三角形按角分是什么三角形？请说明理由。 【答案】 直角三角形；理由见详解 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。因为“三角形其中两个角的度数和等于第三个角的度数”，所以用180度除以2，即可得到三角形中最大的那个内角，则可判断三角形属于什么三角形。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 180°÷（1＋1） ＝180°÷2 ＝90° 答：“三角形其中两个角的度数和等于第三个角的度数”，所以用180度除以2，即可得到三角形中最大的那个内角是90°，这个三角形有一个直角，按角分是直角三角形。（答案不唯一） 5．淘气有一块三角形积木破损了（如图），淘气说：“这块积木原来一定是一个锐角三角形。”淘气的说法是（    ）的（填“对”或“错”），请画一画或用文字说明你的理由。 【答案】错；因为180°－50°＝130°，130°＝100°＋30°，130°＝90°＋40°，可能是钝角三角形或直角三角形 【分析】根据三角形内角和是180°，有一个角是50°。另外两个角的和是180°－50°＝130°，那么可能130°＝100°＋30°，有一个100°的角是钝角三角形，也可能130°＝90°＋40°，有一个90°的角是直角三角形等，据此判断。 【解答】由分析可知：有一块三角形积木一个角是50°，另外两个角中可能有钝角，也可能有直角，所以这块积木可能是钝角三角形，也可能是直角三角形，淘气说：“这块积木原来一定是一个锐角三角形。”淘气的说法是错的。 6．下图是一个正六边形，淘气把这个六边形分成了4个三角形，通过三角形的内角和是180°，推出了正六边形的每个内角是120°。图中涂色三角形按角分是什么三角形？请用计算的方法说说你判断的理由。 【答案】直角三角形； （180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 120°－30°＝90° 【分析】因为图形是正六边形，它的每条边的长度相等。所以图中左下角三角形是等腰三角形，故该三角形两个锐角的度数相等。因为正六边形的每个内角是120°，三角形三个内角的和是180°。所以，两个锐角的度数分别是（180°－120°）÷2＝30°。已知正六边形的每个内角都是120°，用120°减去左下角锐角的度数30°求出涂色三角形最下面的角的度数，最后再判断三角形的形状。 【解答】（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 120°－30°＝90° 答：涂色三角形按角分是直角三角形；因为涂色三角形中有一个角是90°（直角），所以涂色三角形是直角三角形。 7．我当小老师。 下面两个三角形都被遮住了一部分。你能确定它们各是什么三角形吗？为什么？ 【答案】图①是钝角三角形； 图②无法确定，因为根据仅露出的一个锐角不能确定是什么三角形。 【分析】三角形按角分类：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。据此解答。 【解答】观察图①，我们可以看到露出来的角是钝角。根据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以图①是钝角三角形。 观察图②，我们看到露出的角是锐角。但是仅一个锐角无法确定其他两个角的情况，因为锐角三角形三个角都是锐角，直角三角形有一个直角和两个锐角，钝角三角形有一个钝角和两个锐角，所以仅根据露出的一个锐角不能确定图②是什么三角形。 答：图①是钝角三角形；图②无法确定，因为根据仅露出的一个锐角不能确定是什么三角形。 8．一个钝角三角形的两个较小角的度数和是85°。两个较大角的度数和是140°，这个钝角三角形的三个内角分别是多少度？ 【答案】40°；45°；95° 【分析】三角形的内角和为180°。由题意得，一个钝角三角形的两个较小角的度数和是85°，那么直接用180°减去85°即可算出最大角的度数。两个较大角的度数和是140°，直接用140°减去最大角的度数即可算出第二大的角的度数。最后再用85°减去第二大的角的度数即可算出最小的角的度数。 【解答】180°－85°＝95° 140°－95°＝45° 85°－45°＝40° 答：这个钝角三角形的三个内角分别是40°、45°和95°。 9．如图，一张三角形纸片被撕去一个角，撕去的角是多少度？原来这张纸片的形状是什么三角形？ 【答案】82°；锐角三角形 【分析】结合题中信息，已知一个三角形纸片被撕去一个角后，剩下的两个角分别是64°和34°，根据三角形内角和是180°可以求出被撕去的角的度数是多少，再进一步判断这个三角形是什么三角形。 三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 【解答】被撕去的角的度数：180°－64°－34° ＝116°－34° ＝82° 所以原来三角形的三个角的度数分别是82°、64°和34°，是锐角三角形。 答：撕去的角是82°，原来这张纸片的形状是锐角三角形。 10．在一个三角形中，其中一个内角是36°，比另一个内角少20°，第三个内角是多少度？这个三角形是什么三角形？ 【答案】88°；锐角三角形 【分析】三角形的内角和为180°。由题意得，三角形的一个内角是36°，比另一个内角少20°，那么另一个内角的度数比36°多20°，直接用36°加上20°算出另一个内角的度数，接着用180°减去两个角的度数即可算出第三个内角的度数。最后根据三个内角的大小来判断三角形的类型即可。 【解答】36°＋20°＝56° 180°－56°－36° ＝124°－36° ＝88°，所以三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 答：第三个内角是88°，这个三角形是锐角三角形。 11．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角，其中∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍。这个三角形按角分是什么三角形？ 【答案】直角 【分析】已知∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍，把∠1的度数看作1份，则∠2的度数是2份，∠3的度数是3份。那么三个角的度数总共是1＋2＋3＝6份。可求出∠1的度数为180°÷（3＋2＋1）＝30°，最大角∠3的度数为30°×3＝90°，根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可知这个三角形按角分是直角三角形。 【解答】∠1＝180°÷（3＋2＋1） ＝180°÷6 ＝30° ∠2＝30°×2＝60° ∠3＝30°×3＝90° 答：这个三角形按角分是直角三角形。 12．一个等腰三角形的一个内角是30°，其他两个内角可能各是多少度？这个三角形按角分类可能是什么三角形？ 【答案】角是顶角，其他两个内角是75°；锐角三角形 角是底角时，顶角为120°；钝角三角形 【分析】‌等腰三角形是指至少有两边相等的三角形‌，两腰的夹角称为‌顶角，腰和底边的夹角称为底角，等腰三角形的两个底角度数相等。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。根据三角形的内角和等于180°，当30°是顶角时，两个底角为（180°－30°）÷2＝75°，这个三角形按角分是锐角三角形；当30°是底角时，另一个底角也是30°，顶角为180°－30°－30°＝120°，这个三角形按角分是钝角三角形，据此解答即可。 【解答】当30°是顶角时： （180°－30°）÷2 ＝150°÷2 ＝75° 其余两个内角分别是75°和75°。这个三角形按角分是锐角三角形。 当30°是底角时： 180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 其余两个内角分别是30°和120°。这个三角形按角分是钝角三角形。 13．在一块长为16厘米、宽为12厘米的长方形纸板上，最多能剪出多少个腰长为4厘米的等腰直角三角形？ 【答案】24个 【分析】16÷4＝4（个），沿着长剪，可以剪出4个边长为4厘米的正方形；12÷4＝3（个），沿着宽剪，可以剪出3个边长为4厘米的正方形；共可以剪4×3＝12（个）边长为4厘米的小正方形，每个小正方形可以剪出2个腰长为4厘米的等腰直角三角形，所以可以剪出12×2＝24（个）腰长为4厘米的等腰直角三角形。 【解答】16÷4＝4（个） 12÷4＝3（个） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（个） 答：最多能剪出24个腰长为4厘米的等腰直角三角形。 14．如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【答案】 【分析】因为三角形ABC是等边三角形，所以每个内角都是60°，即∠4＝60°。利用平角大小求出∠3，再结合内角和180°，最后求出∠2。 【解答】因为三角形ABC是等边三角形，所以， 所以， 所以 答：∠2的度数是25°。 15．已知一个等腰三角形的一个内角是72°，则另外两个内角分别是多少度？ 【答案】另外两个内角分别是，（，）。 【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是72°，需要分两种情况讨论：这个内角是顶角或这个内角是底角。 【解答】情况一：当72°是顶角时。 底角的度数为： 所以另外两个内角是54°，54°。 情况二：当72°是底角时，另一个底角也是72°。 顶角的度数为： 所以另外两个内角是36°，72°。 答：另外两个内角分别是54°，54°或36°，72°。 16．红领巾是少先队员的标志，我们佩戴的红领巾形状为等腰三角形。红领巾中最大的角是120°，另外两个角的度数分别是多少？ 【答案】 30°；30° 【分析】根据题意，等腰三角形两底角相等，三角形内角和等于180度。如果它的最大角是底角，那么两个底角120度＋120度＞180度，所以最大角不能是底角，只能是顶角。用180度减去120度，就是两个底角的和，再除以2，就是每个底角的度数。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： （180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 答：它的另外两个角分别是30°、30°。 17．华华和爸爸一起用2米长的铁丝制作了一个等腰三角形的风筝，风筝的腰长是0.6米，他的底边长是多少米？ 【答案】 0.8米 【分析】根据等腰三角形的性质，两条腰长度相等，周长等于三条边的总和。已知铁丝总长2米，即等腰三角形的周长为2米，腰长各为0.6米，因此底边长为周长减去两条腰的长度。以此列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 2－0.6×2 ＝2－1.2 ＝0.8（米） 答：底边长为0.8米。 18．学校准备用篱笆围一块等腰三角形花圃。已知一条腰长8米，篱笆总长22米。这个花圃的底边长是多少米？ 【答案】6米 【分析】由题意可知：等腰三角形的两条腰相等，篱笆总长也就是等腰三角形的周长，用等腰三角形的周长－腰长×2，即可求出底边长是多少米。 【解答】22－8×2 ＝22－16 ＝6（米） 答：这个花圃的底边长是6米。 19．“又是一年三月三，风筝飞满天”小明做了一个等腰三角形的风筝，不小心撕掉了一个最大的角，如图所示。被撕掉的这个角是多少度？ 【答案】75° 【分析】根据题意，风筝是一个等腰三角形，已知其中一个角是52.5°且撕掉的角是最大的角，则52.5°是底角，等腰三角形两个底角相等，三角形内角和是180°，用180°减去两个底角的度数，即可求出被撕掉的这个角是多少度。 【解答】180°－（52.5°＋52.5°） ＝180°－105° ＝75° 答：被撕掉的这个角是75°。 20．爸爸给晓东买了一个等腰三角形的风筝。风筝的一个底角是75°，风筝的顶角是多少度？ 【答案】30° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，均为75°。三角形的内角和为180°，用180°减去两个底角的度数就是顶角的度数。 【解答】180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 答：它的顶角是30°。 21．如下图所示，三角形ABC是等腰直角三角形，三角形ADC是等腰三角形，已知∠2＝2∠1，求∠1和∠5的度数。 【答案】15°；150° 【分析】等腰直角三角形的两底角相等，根据三角形内角和为180°，用180°－90°再除以2可算出一个底角的度数为45°，相当于∠2＋∠1＝45°，又因为∠2＝2∠1，所以用45°除以3可以算出∠1的度数为15°，再根据三角形ADC是等腰三角形，可知∠4＝∠1＝15°，∠4、∠1、∠5在同一个三角形中，根据三角形内角和为180，用180°－15°－15°可得出∠5的度数。 【解答】∠1＋∠2＝（180°－90°）÷2＝45°  ∠1＝45°÷（2＋1） ＝45°÷3 ＝15° ∠5＝180°－15°－15° ＝165°－15° ＝150° 所以∠1等于15°，∠5等于150°。 22．在一张长12厘米、宽9厘米的长方形纸上剪去两个等边三角形②和③后，刚好剩下图形①，那么图形①的周长是多少厘米？ 【答案】51厘米 【分析】等边三角形的三条边都相等，所以图①的周长由2条12厘米长的边，1条9厘米长的边，2条6厘米长的边，2条3厘米长的边组成，相加即可。 【解答】12×2＋9＋6×2＋3×2 ＝24＋9＋12＋6 ＝33＋12＋6 ＝45＋6 ＝51（厘米） 答：图形①的周长是51厘米。 23．粤港澳大湾区的地标建筑——聚星桥，整体呈Y形对称结构，犹如三只携手共握的臂膀，寓意粤港澳三地紧密合作。工程师在设计桥塔时，采用了稳固的等腰三角形结构。经测量，桥塔侧面的顶角为120°，那么它的底角是多少度？ 【答案】30° 【分析】三角形的内角和为180°。等腰三角形的两个底角的度数相等。由题意得，等腰三角形的顶角为120°，直接用180°减去120°算出两个底角的度数之和，再除以2即可算出一个底角的度数。 【解答】（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 答：这个三角形的底角是30°。 24．爸爸给小亮做了一个三角形风筝，它的每个内角都是60°，其中一条边长为35cm。打算给风筝绑上一圈丝带，准备了1m长的丝带，够用吗？ 【答案】 不够用 【分析】根据题意，明确1米＝100厘米，已知爸爸给小亮做了一个三角形风筝，它的每个内角都是60°，等边三角形的三条边相等，三个角也相等。其中一条边长为35厘米，三角形的周长用35乘3，求出的乘积，再与100厘米进行比较，如果大于100，就不够，否则，就够用，以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 1米＝100厘米 35×3＝105（厘米） 105＞100 答：准备了1m长的丝带，不够用。 25．建房中的数学问题：“人字梁”又叫坡屋顶，它呈现的是一种三角形的屋面形状（如图）。 （1）这样的设计是应用了“三角形”____________的特性。 （2）“人字梁”主要框架由三根木头组成，现在已经选定了两根分别长5米的木料，还有3根备选木料①8米、②10米、③12米，选用__________（填序号）木料能与这两根木料组成“人字梁”，请说明理由。 （3）如果“人字梁”的一个底角是30°，那么顶角是多少度？ 【答案】（1）稳定性 （2）①；理由见详解 （3）120度 【分析】（1）三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，生活中很多物品的设计都利用这一特性设计的，据此作答。 （2）根据任意三角形的两边之和大于第三边进行选择第三根木料。 （3）三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，用三角形的内角和减去2个底角的度数就是顶角的度数。 【解答】（1）根据上述分析可得：这样的设计是应用了“三角形”稳定性的特征。 （2）5＋5＞8，5＋8＞5 5＋5＝10，5＋10＜5， 5＋5＜12，12＋5＜5， 所以，选用①木料能与这两根木料组成“人字梁”，因为5米、5米、8米能够满足任意两边之和大于第三条边。 （3）180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 答：顶角是120度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 运用三角形分类、等腰等边三角形的特征解决问题 （解决问题专项） 1．如下图，用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么围成的三角形是什么三角形？ 2．下面是3块三角形玻璃打碎后分别留下的碎片。你知道它们原来各是什么三角形吗？（先计算，再判断）      3．“三角形王国”要举行舞会了，各种形状的三角形都来参加了，但它们来的时候都把一部分角藏了起来（如下图）。亲爱的小朋友，你能猜出它们的名字吗？ 4．在一个三角形中，其中两个内角的度数和等于第三个角的度数，这个三角形按角分是什么三角形？请说明理由。 5．淘气有一块三角形积木破损了（如图），淘气说：“这块积木原来一定是一个锐角三角形。”淘气的说法是（    ）的（填“对”或“错”），请画一画或用文字说明你的理由。 6．下图是一个正六边形，淘气把这个六边形分成了4个三角形，通过三角形的内角和是180°，推出了正六边形的每个内角是120°。图中涂色三角形按角分是什么三角形？请用计算的方法说说你判断的理由。 7．我当小老师。 下面两个三角形都被遮住了一部分。你能确定它们各是什么三角形吗？为什么？ 8．一个钝角三角形的两个较小角的度数和是85°。两个较大角的度数和是140°，这个钝角三角形的三个内角分别是多少度？ 9．如图，一张三角形纸片被撕去一个角，撕去的角是多少度？原来这张纸片的形状是什么三角形？ 10．在一个三角形中，其中一个内角是36°，比另一个内角少20°，第三个内角是多少度？这个三角形是什么三角形？ 11．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角，其中∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍。这个三角形按角分是什么三角形？ 12．一个等腰三角形的一个内角是30°，其他两个内角可能各是多少度？这个三角形按角分类可能是什么三角形？ 13．在一块长为16厘米、宽为12厘米的长方形纸板上，最多能剪出多少个腰长为4厘米的等腰直角三角形？ 14．如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 15．已知一个等腰三角形的一个内角是72°，则另外两个内角分别是多少度？ 16．红领巾是少先队员的标志，我们佩戴的红领巾形状为等腰三角形。红领巾中最大的角是120°，另外两个角的度数分别是多少？ 17．华华和爸爸一起用2米长的铁丝制作了一个等腰三角形的风筝，风筝的腰长是0.6米，他的底边长是多少米？ 18．学校准备用篱笆围一块等腰三角形花圃。已知一条腰长8米，篱笆总长22米。这个花圃的底边长是多少米？ 19．“又是一年三月三，风筝飞满天”小明做了一个等腰三角形的风筝，不小心撕掉了一个最大的角，如图所示。被撕掉的这个角是多少度？ 20．爸爸给晓东买了一个等腰三角形的风筝。风筝的一个底角是75°，风筝的顶角是多少度？ 21．如下图所示，三角形ABC是等腰直角三角形，三角形ADC是等腰三角形，已知∠2＝2∠1，求∠1和∠5的度数。 22．在一张长12厘米、宽9厘米的长方形纸上剪去两个等边三角形②和③后，刚好剩下图形①，那么图形①的周长是多少厘米？ 23．粤港澳大湾区的地标建筑——聚星桥，整体呈Y形对称结构，犹如三只携手共握的臂膀，寓意粤港澳三地紧密合作。工程师在设计桥塔时，采用了稳固的等腰三角形结构。经测量，桥塔侧面的顶角为120°，那么它的底角是多少度？ 24．爸爸给小亮做了一个三角形风筝，它的每个内角都是60°，其中一条边长为35cm。打算给风筝绑上一圈丝带，准备了1m长的丝带，够用吗？ 25．建房中的数学问题：“人字梁”又叫坡屋顶，它呈现的是一种三角形的屋面形状（如图）。 （1）这样的设计是应用了“三角形”____________的特性。 （2）“人字梁”主要框架由三根木头组成，现在已经选定了两根分别长5米的木料，还有3根备选木料①8米、②10米、③12米，选用__________（填序号）木料能与这两根木料组成“人字梁”，请说明理由。 （3）如果“人字梁”的一个底角是30°，那么顶角是多少度？ 学科网（北京）股份有限公司 $