精品解析：江苏省海安高级中学2025-2026学年高二下学期限时训练一（4月月考）数学试题

2025－2026第二学期限时训练一 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定全集和集合，再求出 ，最后根据补集的定义求出． 【详解】已知全集，表示自然数集，所以．  对于集合，解不等式，则其解为 ． 又因为，所以．  已知，，可得．  因为，，所以．  故选：C． 2. 复数，则复数在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出该复数对应点的坐标. 【详解】依题意，， 所以复数对应点坐标为，该点在第四象限. 故选：D 3. 已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若， ，则 C. 若， ，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若 ，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若， ，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. 4. 设函数，则“ ”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数，求导得， 当 时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得 ， 所以“ ”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 5. 已知，则的值为（ ） A. 160 B. 243 C. 405 D. 810 【答案】A 【解析】 【分析】对两边求导，再令可求得结果 【详解】因为， 所以 即， 令，则. 故选：A 6. 若函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，分，与 三种情况讨论函数的单调性，结合函数的极值以及函数图象的走势，可求实数的取值范围. 【详解】当时，不经过第三、四象限，不合题意，舍去， 当时，由，得 ， 若，则当或 时，单调递增； 当时，，单调递减. 故在 处取得极大值，且极大值为，故经过第二象限， 在处取得极小值，且极小值为，函数一定经过第一和第三象限， 要想经过第四象限，只需，解得. 若 ，则当或 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取得极小值，且极小值为； 在处取得极大值，且极大值为，故经过第一象限， 而函数一定经过第二和第四象限， 要想经过第三象限，只需，解得. 综上，实数的取值范围是. 7. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为 ，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径. 【详解】如图，，又放入的球的半径为， 由于圆台的体积， 由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切； 下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则， 由于，则， 则， 那么，则，那么在上方， 即该小球先与上下底面相切． 故选：D. 8. 若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义得出，两个函数有共公切点，且求得切点横坐标为，从而用表示出，引入新函数，再由导数求其最大值，从而得的范围． 【详解】由题意，由得 ， ，由得 ， 因此两个函数图象有公共切点，切点横坐标为， 所以，即，， 令，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，显然时，， 所以， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（ ） A. 第80百分位数为93 B. 平均数为90 C. 极差为15 D. 方差为28 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数、平均数、极差、方差的定义一一计算即可. 【详解】从小到大排列为：84，85，86，88，93，95，99， 因，故第80百分位数为第6个数，即95，故A错误； 平均数为，故B正确； 由，故极差为15，故C正确； 方差为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则A，B独立 C. 若A，B独立，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据随机事件的概率、独立事件、条件概率等知识确定正确答案. 【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确. B选项，根据独立事件的知识可知，，则 相互独立，B选项正确. C选项，若 独立，则，C选项错误. D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 11. 已知异面直线，，，，，，，，，四点A，B，P，Q不共面，是线段的中点， ，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】过点作，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，易知，， 若，则，由，此时，所以； 对于A，易知，故A错误； 对于B，由题意得， 所以直线，所成角为，故B正确； 对于C，易知， 则点到直线AB的距离，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项是______． 【答案】 【解析】 【分析】将三项式转化为，根据展开式的通项，可知当 时取得常数项. 【详解】， 展开式的通项为， 当，即 时，可得展开式的常数项为. 故答案为：. 13. 如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 【答案】 ①. 66 ②. 96 【解析】 【分析】第一空：先分析由经到的走法，再由间接法即可求出不经过的走法；第二空：先分析经过的走法，再由间接法求解. 【详解】第一空：若先经过再到，需向下走3步，向左走2步，有种走法， 由到需向下运动2步，向左运动2步，有种走法， 故先经过再到共有， 所以不经过共有种走法. 第二空：经过，需要3步由到，再需要5步由到， 由到共有种走法，由到共有种走法， 所以经过的走法共有种， 故不经过的走法共有种. 14. 在三棱锥 中， 底面，侧面侧面 ，且 ，的面积为4.若三棱锥 的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有 侧面 ，进而有， ， ，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由 底面， 平面 ，则平面底面， 又侧面侧面 ，底面 侧面，则 侧面 ， 由底面，则， ， 由 侧面 ，则 ，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥 可补全为如下长方体， 三棱锥 的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥 的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，而且两地同时下雨的概率为 .求春季的一天里： （1）已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； （2）已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意可分别得出对应的概率，再由条件概率公式即可分别求出（1）（2）的结果； 【小问1详解】 记事件“甲地下雨”，事件“乙地下雨”，则由已知可得 . 根据题意可知，要求的是，因此 . 【小问2详解】 依题意，要求的是，因此 . 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出，再利用赋值法，即可求解； （2）两边同时对 求导，再利用赋值法，即可求解； （3）根据条件得，，再利用裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 令，得到， 又由二项展开式知， 所以. 【小问2详解】 因为， 令得，. 【小问3详解】 依题意，，， 又 ， 所以 ， 所以的值为． 17. 如图，在五面体中，是等边三角形，，，平面平面 ， ，是棱的中点． （1）证明： 平面． （2）证明： 平面． （3）求平面与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点O，连接．先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理可得平面 ，则，再 ，由线面垂直的判定定理即可证得. （3）以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面 的法向量，再由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 证明：取棱的中点O，连接． 因为O，P分别是棱AC，DF的中点，所以， 且．因为，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以．因为 平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 证明：因为是等边三角形，且O是棱AC的中点， 所以OB⊥AC．因为平面平面 ， 且平面 平面 ＝AC，平面， 所以平面 ． 因为AF平面 ，所以． 因为 ，AB平面，OB平面，且，平面， 所以AF⊥平面． 【小问3详解】 解：由（2）可知OB，OC，OP两两垂直，则以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， ， 则，，，， 设平面DEF的法向量为， 则，令＝1，得＝（0，1，－1）． 设平面BCF的法向量为， 则，令＝1，得． 设平面DEF与平面BCF的夹角为， 则， 即平面DEF与平面BCF夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在，，使得 ，求a的最大值． 【答案】（1） （2）当时，在 上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义求出切线方程； （2）求导，分、两种情况讨论导函数的正负性； （3）等价于，利用参变分离，构造函数，，求其最大值即可. 【小问1详解】 当时，，则， 故， 故在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题得 ，． 若，则在 上恒成立，所以在 上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在 上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）得，若存在，使得 ， 则必有，由得． 所以等价于， 即，化简得：． 设，， 则， 所以在上单调递减，所以， 此时，． 所以当，时等号成立，所以a的最大值为． 19. 如图所示，已知四棱锥 ，平面，点为的中点， ，垂足分别为 ，，， ． （1）证明： ； （2）若平面EBD，设二面角 的平面角为，且为钝角，求的最大值； （3）若 ，点 都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥 的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围． 【答案】（1），点为的中点， ， 又 ， ， ， 、 为等腰直角三角形， 由题意，可知， 如图， 取PE中点H，连接 ， , ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证明 平面 ，再利用线面垂直的性质定理证明 即可. （2）由平面 ，得 ，建立空间直角坐标系,由，得：，设平面 与平面 的法向量分别为，， 求出计算即可求得 的最大值. （3）由线面垂直得，设 ， 设的外心为 ， 由 ，利用两点间距离公式，整理得：，因此球心 即为过 且垂直于平面的直线与的交点，得到， 令 ，代入及表达式， 分取值范围讨论即可. 方法二：设球心 ，利用 ，整理得 ，下同方法一. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与的交点为， ∵ 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， 点为的中点， 为的中点， 平面， 平面， ， 又 ，， ， 如图所示，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， 得， 同理：可得， 不妨设 ， ，其中， ， 过 ，从而， 由 ， ， 得 ，则 ， 设平面 与平面 的法向量分别为 ， ， ，即， 可得 ， 同理可得： ， ， 且易知 ，满足θ为钝角， 而 ，当且仅当， 时取等号， 故， 二面角 的平面角的余弦值的最大值为. 【小问3详解】 如图， 且 ， , 平面， 平面， , 平面 ， 平面 ， ， 由（2）知，， 关于平面 对称， 设 ，则 ，其中 且 ， 设的外心为 ，显然 应在 轴上， 设 ， ， 故有 ，整理得：， 同时在平面 的垂直平分线恰为， 因此球心 即为，过点 且垂直于平面的直线与的交点， 故 ， 令 ，则 且 ，代入及表达式， 得 ， 因此 ，令， 故 ，且 ， 且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值， 等价于有3个不同的解，即有3个不同的解， ①当 时，关于的方程 ， 在区间 上有唯一解， 此时关于v的方程仅在区间有一解，不满足题意； ②当时， 关于的方程 恰有两解 ，， 方程 在区间有1解，有唯一解， 故共有2组解，不满足题意； ③当时， 关于的方程 在 ， 分别有一解， 此时关于v的方程在区间有一解，在 有2解， 共3解，符合题意， 因此，即， 综上所述，该球半径的取值范围是 ； 解法二：令 ，则 且 ， 代入的表达式为： ， 则 ，结合 ，后同解法一的讨论． 方法二：（3） ，且 ， 故， 平面， 平面， ， 平面 ， 平面 ， ， 由（2）知，， 关于平面 对称， 设 ，则 ，其中 且 ， 设球心 ，则 ， 化简整理得：，且，故 ， 下同方法一. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026第二学期限时训练一 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则复数 在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知两条直线， 和平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若， ，则 C. 若， ，则 D. 若，，则 4. 设函数，则“ ”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则的值为（ ） A. 160 B. 243 C. 405 D. 810 6. 若函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为 ，高为 ，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为 的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ） A. B. C. D. 8. 若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（ ） A. 第80百分位数为93 B. 平均数为90 C. 极差为15 D. 方差为28 10. 已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则A，B独立 C. 若A，B独立，则 D. 11. 已知异面直线，，，，，，，，，四点A，B，P，Q不共面，是线段的中点， ，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项是______． 13. 如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 14. 在三棱锥 中， 底面，侧面侧面 ，且 ，的面积为4.若三棱锥 的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，而且两地同时下雨的概率为 .求春季的一天里： （1）已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； （2）已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在五面体中，是等边三角形，，，平面平面 ， ，是棱的中点． （1）证明： 平面． （2）证明： 平面． （3）求平面与平面 夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在，，使得 ，求a的最大值． 19. 如图所示，已知四棱锥 ，平面，点为的中点， ，垂足分别为 ，，， ． （1）证明： ； （2）若平面EBD，设二面角 的平面角为，且为钝角，求的最大值； （3）若 ，点 都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥 的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $