精品解析：江苏省海安高级中学2025-2026学年高二下学期限时训练一（4月月考）数学试题

2025－2026第二学期限时训练一 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定全集和集合，再求出，最后根据补集的定义求出． 【详解】已知全集，表示自然数集，所以．  对于集合，解不等式，则其解为． 又因为，所以．  已知，，可得．  因为，，所以．  故选：C． 2. 复数，则复数在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出该复数对应点的坐标. 【详解】依题意，， 所以复数对应点坐标为，该点在第四象限. 故选：D 3. 已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. 4. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 5. 已知，则的值为（ ） A. 160 B. 243 C. 405 D. 810 【答案】A 【解析】 【分析】对两边求导，再令可求得结果 【详解】因为， 所以 即， 令，则. 故选：A 6. 若函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，分，与三种情况讨论函数的单调性，结合函数的极值以及函数图象的走势，可求实数的取值范围. 【详解】当时，不经过第三、四象限，不合题意，舍去， 当时，由，得， 若，则当或时，单调递增； 当时，，单调递减. 故在处取得极大值，且极大值为，故经过第二象限， 在处取得极小值，且极小值为，函数一定经过第一和第三象限， 要想经过第四象限，只需，解得. 若，则当或时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在处取得极小值，且极小值为； 在处取得极大值，且极大值为，故经过第一象限， 而函数一定经过第二和第四象限， 要想经过第三象限，只需，解得. 综上，实数的取值范围是. 7. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径. 【详解】如图，，又放入的球的半径为， 由于圆台的体积， 由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切； 下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则， 由于，则， 则， 那么，则，那么在上方， 即该小球先与上下底面相切． 故选：D. 8. 若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义得出，两个函数有共公切点，且求得切点横坐标为，从而用表示出，引入新函数，再由导数求其最大值，从而得的范围． 【详解】由题意，由得， ，由得， 因此两个函数图象有公共切点，切点横坐标为， 所以，即，， 令，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，显然时，， 所以， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（ ） A. 第80百分位数为93 B. 平均数为90 C. 极差为15 D. 方差为28 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数、平均数、极差、方差的定义一一计算即可. 【详解】从小到大排列为：84，85，86，88，93，95，99， 因，故第80百分位数为第6个数，即95，故A错误； 平均数为，故B正确； 由，故极差为15，故C正确； 方差为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则A，B独立 C. 若A，B独立，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据随机事件的概率、独立事件、条件概率等知识确定正确答案. 【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确. B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确. C选项，若独立，则，C选项错误. D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 11. 已知异面直线，，，，，，，，，四点A，B，P，Q不共面，是线段的中点，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】过点作，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，易知，， 若，则，由，此时，所以； 对于A，易知，故A错误； 对于B，由题意得， 所以直线，所成角为，故B正确； 对于C，易知， 则点到直线AB的距离，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项是______． 【答案】 【解析】 【分析】将三项式转化为，根据展开式的通项，可知当时取得常数项. 【详解】， 展开式的通项为， 当，即时，可得展开式的常数项为. 故答案为：. 13. 如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 【答案】 ①. 66 ②. 96 【解析】 【分析】第一空：先分析由经到的走法，再由间接法即可求出不经过的走法；第二空：先分析经过的走法，再由间接法求解. 【详解】第一空：若先经过再到，需向下走3步，向左走2步，有种走法， 由到需向下运动2步，向左运动2步，有种走法， 故先经过再到共有， 所以不经过共有种走法. 第二空：经过，需要3步由到，再需要5步由到， 由到共有种走法，由到共有种走法， 所以经过的走法共有种， 故不经过的走法共有种. 14. 在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，而且两地同时下雨的概率为.求春季的一天里： （1）已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； （2）已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意可分别得出对应的概率，再由条件概率公式即可分别求出（1）（2）的结果； 【小问1详解】 记事件“甲地下雨”，事件“乙地下雨”，则由已知可得 . 根据题意可知，要求的是，因此 . 【小问2详解】 依题意，要求的是，因此 . 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出，再利用赋值法，即可求解； （2）两边同时对求导，再利用赋值法，即可求解； （3）根据条件得，，再利用裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 令，得到， 又由二项展开式知， 所以. 【小问2详解】 因为， 令得，. 【小问3详解】 依题意，，， 又 ， 所以 ， 所以的值为． 17. 如图，在五面体中，是等边三角形，，，平面平面，，是棱的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：取棱的中点O，连接． 因为O，P分别是棱AC，DF的中点，所以， 且．因为，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以．因为平面，平面，所以平面． （2） 证明：因为是等边三角形，且O是棱AC的中点， 所以OB⊥AC．因为平面平面， 且平面平面＝AC，平面， 所以平面． 因为AF平面，所以． 因为，AB平面，OB平面，且，平面， 所以AF⊥平面． （3） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点O，连接．先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理可得平面，则，再，由线面垂直的判定定理即可证得. （3）以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知OB，OC，OP两两垂直，则以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， ， 则，，，， 设平面DEF的法向量为， 则，令＝1，得＝（0，1，－1）． 设平面BCF的法向量为， 则，令＝1，得． 设平面DEF与平面BCF的夹角为， 则， 即平面DEF与平面BCF夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在，，使得，求a的最大值． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义求出切线方程； （2）求导，分、两种情况讨论导函数的正负性； （3）等价于，利用参变分离，构造函数，，求其最大值即可. 【小问1详解】 当时，，则， 故， 故在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题得，． 若，则在上恒成立，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）得，若存在，使得， 则必有，由得． 所以等价于， 即，化简得：． 设，， 则， 所以在上单调递减，所以， 此时，． 所以当，时等号成立，所以a的最大值为． 19. 如图所示，已知四棱锥，平面，点为的中点，，垂足分别为，，，． （1）证明：； （2）若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值； （3）若，点都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围． 【答案】（1），点为的中点， ， 又，， ， 、为等腰直角三角形， 由题意，可知， 如图， 取PE中点H，连接， ,， 平面，平面，， 平面， 平面， . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证明 平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）由平面 ，得，建立空间直角坐标系,由，得：，设平面 与平面的法向量分别为，， 求出计算即可求得的最大值. （3）由线面垂直得，设， 设的外心为， 由，利用两点间距离公式，整理得：，因此球心 即为过且垂直于平面的直线与的交点，得到， 令，代入及表达式， 分取值范围讨论即可. 方法二：设球心，利用，整理得，下同方法一. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与的交点为， ∵平面 ，平面 平面， 平面 ， ， 点为的中点， 为的中点， 平面，平面， ， 又，， ， 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，， 设，，， ， ， ， 得， 同理：可得， 不妨设，，其中，， 过，从而， 由，， 得，则 ， 设平面 与平面的法向量分别为 ， ， ，即， 可得， 同理可得：， ， 且易知，满足θ为钝角， 而，当且仅当，时取等号， 故， 二面角的平面角的余弦值的最大值为. 【小问3详解】 如图， 且， , 平面，平面， , 平面 ，平面 ， ， 由（2）知，， 关于平面 对称， 设，则，其中 且 ， 设的外心为，显然应在轴上， 设， ， 故有，整理得：， 同时在平面 的垂直平分线恰为， 因此球心 即为，过点且垂直于平面的直线与的交点， 故， 令，则且，代入及表达式， 得， 因此，令， 故，且， 且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值， 等价于有3个不同的解，即有3个不同的解， ①当时，关于的方程， 在区间上有唯一解， 此时关于v的方程仅在区间有一解，不满足题意； ②当时， 关于的方程恰有两解，， 方程在区间有1解，有唯一解， 故共有2组解，不满足题意； ③当时， 关于的方程在，分别有一解， 此时关于v的方程在区间有一解，在 有2解， 共3解，符合题意， 因此，即， 综上所述，该球半径的取值范围是； 解法二：令，则且， 代入的表达式为：， 则，结合，后同解法一的讨论． 方法二：（3），且， 故， 平面，平面， ， 平面 ， 平面 ， ， 由（2）知，， 关于平面 对称， 设，则，其中 且 ， 设球心，则， 化简整理得：，且，故， 下同方法一. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026第二学期限时训练一 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则复数在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则的值为（ ） A. 160 B. 243 C. 405 D. 810 6. 若函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ） A. B. C. D. 8. 若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（ ） A. 第80百分位数为93 B. 平均数为90 C. 极差为15 D. 方差为28 10. 已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则A，B独立 C. 若A，B独立，则 D. 11. 已知异面直线，，，，，，，，，四点A，B，P，Q不共面，是线段的中点，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项是______． 13. 如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 14. 在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，而且两地同时下雨的概率为.求春季的一天里： （1）已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； （2）已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在五面体中，是等边三角形，，，平面平面，，是棱的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在，，使得，求a的最大值． 19. 如图所示，已知四棱锥，平面，点为的中点，，垂足分别为，，，． （1）证明：； （2）若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值； （3）若，点都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $