浙江省温州市乐清市荆山公学2025-2026学年高三下学期数学模拟卷

2025-2026学年下学期高三模拟卷 数 学 考试范围：高考内容；考试时间：120分钟； 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，为其子集，若，则． A. B. C. D. 2.设，则“”是“”的(    ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.设，则其共轭复数在复平面内对应的点位于(    ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 4.将编号为，，，的小球放入编号为，，，的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有个小球与所在盒子编号相同的概率为(    ) A. B. C. D. 5.若，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7.已知双曲线的左右焦点分别是，，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.现有一场流水席，共有荤素汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是(    ) A. 两份汤相邻的摆法共有种 B. 每道素菜不相邻的摆法共有种 C. 若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D. 两汤不摆在首尾的摆法共有 10.已知点是的中线上一点不包含端点，且，则下列说法正确的是(    ) A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 11.如图，已知正方体的棱长为， 为底面 的中心，交平面于点 ，点 为棱 的中点，则(    ) A. ， ， 三点共线 B. 异面直线 与所成的角为 C. 点到平面的距离为 D. 过点， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知非零向量，满足，，则，的夹角大小是          ． 13.已知，是椭圆的左、右焦点，是上一点过点作直线的垂线，过点作直线的垂线若，的交点在上均在轴上方，且，则的离心率为          ． 14.已知函数 则函数的零点个数为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 数列满足：，，． 数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； 数列满足：，求数列的前项和． 16.本小题分 已知双曲线的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． 求双曲线的标准方程 设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 17.本小题分 算法是搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性假设一个小型的互联网由，，，四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览记为第次停留． 求该用户第次停留在网页上的概率 某广告公司准备在网页，中选择一个投放广告，以用户前次在该网页上停留的平均次数作为决策依据试问该公司应该选择哪个网页请说明理由． 18.本小题分 如图，在直三棱柱中，点在上，． 证明：平面 若，，二面角的大小为． 求与平面所成角的正弦值 点在侧面内，且三棱锥的体积为， 求的轨迹的长度． 19.本小题分 已知函数，为的导数．证明： 在区间存在唯一极大值点； 有且仅有个零点． 答案和解析 1.【答案】  解：由全集，集合，为其子集，则，又，， ．故选C． 2.【答案】B 解：，当时，则，充分性成立， 当时，则，必要性不成立， 是的充分不必要条件，故选B． 3.【答案】  【解析】解：， 故，在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限．故选：． 4.【答案】  【解析】解：由题得任意放球共有种方法，如果有个小球与所在的盒子的编号相同， 第一步，从个小球中选择个，使其编号与盒子编号相同，选择的方式有种； 第二步：不妨设选的是号球，再对后面的，，进行排列， 且个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种， 所以有个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法． 由古典概型的概率公式得恰有个小球与所在盒子编号相同的概率为，故选：． 5.【答案】  【解析】解：由诱导公式得：，故； 由二倍角公式令，得： ．因此．故选：． 6.【答案】  【答案】C 【解答过程】当时， 当时，故选：C. 7.【答案】  【解析】解：设点坐标，双曲线渐近线方程为，则， 又，可得，整理为： 则的中点坐标为，又在双曲线上，代入可得： 结合得出代入式，经过化简可得，解得，．故选：． 8.【答案】  【解析】解：由为奇函数，得， 令，得，故，因为单调递增，所以  当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 设，求导得， 由奇函数性质， 故，即为常数， 令，得，故，即关于直线对称， 由，得，故，  由，得，故， 由，得，故， 由换底公式得，， 因为，，故， 同理，，，显然． 由，结合离越远值越大的性质，得． 故选：． 9.【答案】  【解答】对于选项A：相邻问题捆绑法，将两份汤摆好有摆法，作为份菜品，再与另份菜品在一起全排列，有种摆法，根据分步乘法计数原理，得到两份汤相邻的摆法共有种，选项A不正确． 对于选项B：不相邻问题插空法，先将除素外的道菜品摆好，有种摆法，在产生的个空档中任选个，将素摆进去，有种摆法，根据分步乘法计数原理，每道素菜不相邻的摆法共有种，选项 B正确． 对于选项C：先将十六道菜品进行排列，由种摆法；其中十二道菜品的顺序已经固定，利用定序被缩法可知有，共有种摆法，选项C正确． 对于选项D：设置个位置，先在中间的个位置中选个位置将两份汤摆进去，有种摆法，再把剩下的道菜品在下剩的个位置上摆好，有种摆法，根据分步乘法计数原理，两汤不摆在首尾的摆法共有，选项D正确． 10.【答案】  解：因为，所以， 又，，三点共线，所以，选项A正确； 且，，，当且仅当，时，等号成立， ，当且仅当，时，等号成立，选项 B错误； ，当时，有最小值，故C选项正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以选项D正确．故选ACD． 11.【答案】  解：对于，由题意知：平面，平面， 所以平面平面， 又平面，交平面于点，故点在上，故A正确 对于，在正方体中， 平面，平面， 所以，又，和平面，， 所以平面，平面， 故BD，所以异面直线与所成的角为，故B错误 对于，设点，到平面的距离分别为，， 因为，所以， 解得，所以，故C正确 对于，取的中点连接，，， 易证得，故过点，，的平面截该正方体所得截面为等腰梯形， 又，，，则等腰梯形的高为， 则等腰梯形的面积为，即所得截面的面积为，故D正确．故选ACD． 12.【答案】  解：方法一：作向量，，则，由题意且， ，，的夹角为． 方法二：由平方得， ，，代入 得，，，，的夹角为． 13.【答案】  解：设，，，， 由题可知，当直线或斜率不存在时，点在轴上，与题意不符，则， ，，由，， 可得，，则直线的方程为， 直线的方程为，联立直线和的方程，可得， 因为点在椭圆上且在轴上方，结合对称性可得，又， 所以，则， 因为，所以，则，解得，，可得， 则椭圆的离心率为． 14.【答案】  解：令，，则可得，即． 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示． 当时，， 则和的图象在区间上有一个交点，即， 当时，由图象可得，和的图象 在区间上有一个交点，即， 当时，， 故和的图象在区间上没有交点． 结合图象可知，当时有个根，当时有个根． 所以的零点共有个． 15.【答案】解：是等比数列，理由如下：因为，， 所以， 又，故数列是首项和公比都是的等比数列； 由得，则， 则 ， 则 ．  16.【答案】解：设双曲线的半焦距为，则右准线的方程为， 由题意，，在方程中，令，解得：，所以， 联立解得：，．所以双曲线的标准方程为：． 当直线与轴不重合时，设其方程为． 与双曲线方程联立：，． ，设，，有，直线的方程为：， 令，得到点坐标，所以直线的方程为：， 令，得到直线与轴交点的横坐标： ．所以直线过点． 当直线与轴重合时，直线也与轴重合，也过点．综上所述，直线过定点．  17.【答案】解：四个网页之间的链接如下：；；；； 记表示第次停留在网页上的概率，类似的、、分别表示第次停留在网页、、上的概率， 第次停留在网页，要求第次停留在或，； ，，，， 所以， ， ，， 所以，，故该公司应该选择网页．  18.【答案】解：在直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 又因为，，，平面，所以平面C. 在直三棱柱中，平面，， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，， 设平面的法向量，由得取，得，， 所以平面的一个法向量  又平面的法向量，所以，解得舍去负值  所以，，所以，． 设与平面所成角为，则． 因为，，，所以． 因为三棱锥的体积为，所以到平面的距离为， 因为在侧面上，可设，到平面的距离为， 所以在侧面上的运动轨迹是线段，所以的轨迹长度为．  19.【答案】证明：的定义域为，则， 令，则， 令，则在恒成立， 在上为减函数，又，， 由零点存在性定理可知，函数在上存在唯一的零点， 结合单调性可得，在上单调递增，在上单调递减， 可得在区间存在唯一极大值点； 由知，当时，单调递增， 则，则在上单调递减； 当时，单调递增， 则，则在上单调递增； 由于在上单调递减，且，， 由零点存在性定理可知，函数在上存在唯一零点，结合单调性可知， 当时，单调递减，则，故单调递增； 当时，单调递减，则，单调递减． 当时，，，于是，单调递减， 其中， ．于是可得下表：                减函数  增函数 大于 减函数 大于 减函数 小于 结合单调性可知，函数在上有且只有一个零点， 由函数零点存在性定理可知，在上有且只有一个零点， 当时，， 因此函数在上无零点．综上，有且仅有个零点．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $