2025-2026学年人教版数学八年级下学期章节重难点攻略--第20章勾股定理重难点专项训练

第20章 勾股定理——重难点 内容范围：20.1~20.2 一、选择题 1．下列各组线段能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2， C．2，3，4 D．7，12，13 2．在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 3．如图，数轴上点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 5．如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 7．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，点是平面坐标系中一点，则点到原点的距离是______． 9．如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，，则的周长为________________； 10．如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距______海里． 11．一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，吸管长的取值范围是_______． 三、解答题 12．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 13．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 14．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． (1)求梯子底端与墙角的距离； (2)如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 15．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)求的长． (2)当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值． (3)当点在的垂直平分线上时，求的长． (4)当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第20章 勾股定理重难点专项训练》参考答案： 1．A 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断能否构成直角三角形，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，∴ 能构成直角三角形，本选项符合题意； B、，∴ 不能构成直角三角形，本选项不符合题意； C、，∴ 不能构成直角三角形，本选项不符合题意； D、，∴ 不能构成直角三角形，本选项不符合题意． 2．A 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∴， 故选A． 3．B 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形，数轴上的点和实数的一一对应关系． 首先根据得到，根据勾股定理得到的长度，进而得到的长度，即可得到点表示的数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为. 4．C 【分析】本题考查长方形的折叠问题，利用勾股定理列方程求线段的长度；，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，， 设，则， 解得， 故选C． 5．A 【分析】本题主要考查了勾股定理； 由勾股定理结合正方形的面积可知，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 6．C 【分析】如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 7．C 【分析】将蚂蚁路过的表面进行展开，由勾股定理求解的长度即可． 【详解】解：将所经过的表面展开如下： 最短路径为上图中的长度， 由题意可知，，， ∴由勾股定理得． 8．3 【分析】直接利用勾股定理求解． 【详解】解：点到原点的距离是． 9．14 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴的周长． 10．34 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了30海里和16海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，第一艘船（西北方向）：速度海里时，航行小时， ∴； 第二艘船（西南方向）：速度15海里时，航行2小时， ∴海里， ∴． 11． 【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵圆柱形杯子底面半径， ∴底面直径， 杯子内最短长度：吸管垂直放入杯内时，长度等于杯子的高，即； 杯子内最长长度：吸管斜放至杯底边缘时，长度为， ∴吸管总长度a需满足：最小值：， 最大值：， 吸管长的取值范围是：． 12．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 13．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， ， 点表示的数是． 14．(1) (2) 【分析】（1）在中，已知梯子长和墙高，利用勾股定理直接计算梯子底端到墙角的距离； （2）先根据下滑距离求出的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后用减去得到梯子底端外移的距离． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得 ， 所以． （2）解： 在中，根据勾股定理得 ， 所以， 所以． 所以梯子底端外移． 15．(1) (2) (3) (4)2或 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）表示出，，然后根据题意得到，列方程求解即可； （3）由垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （4）分2种情况讨论，分别根据勾股定理和等面积法列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，点E的运动速度为每秒， ∴点E到达点A的时间为（秒） ∴当点在边上运动时，， ∴ ∵ ∴当为等腰三角形时， ∴ ∴； （3）解：如图，当点在的垂直平分线上时， ∴ ∵，， ∴，即 ∴ ∴点E运动的路程为 ∴； （4）解：如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点H，过点E作于点G， ∴ ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 综上所述，当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值为2或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $