第20章 勾股定理重难点专题练习 2025--2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理重难点专题 一、勾股定理的简单运用 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是， 故选：C． 2．平面直角坐标系中有两点和点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵点，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟记两点间的距离的公式是解题的关键． 3．平面直角坐标系中有两个点A、B，点A的坐标为，点B的坐标为，线段的长度为 ． 【答案】 【详解】线段的长度为， 故答案为． 【点睛】本题考查了用勾股定理求两点间的距离，任意两点，，之间的距离为． 4．如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ， 点表示的数是 故选：A ． 5．如图，，则数轴上点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点C所表示的数为：． 故选：B． 6．如图所示边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于， 由网格特征和勾股定理可得， ，，， ， 是直角三角形， ， 即， ， 故选：C． 7．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由勾股定理得 ， ，即， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积利用面积法求得线段的长度是解题的关键． 8．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，，， 设中边上的高的长度是， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，割补法求面积，一元一次方程的应用你，分母有理化，利用属数形结合的思想解决问题是解题关键． 9．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设边上的高为h， 根据题意，得的面积为：， ， 所以， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形网格的面积计算，熟练掌握网格计算的基本方法是解题的关键． 10．如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：如图，满足条件的点有6个； 故选：D． 11．若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．先根据非负数的性质求出m与n的长，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， ∵，是直角三角形的两直角边， ∴直角三角形的第三条边长为． 故选D． 12．在中，，，，分别是，，的边，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴，，故D选项正确， 又∵，，分别是，，的边， ∴，故C选项正确， ∴，故A选项错误， ，故B选项正确， ∴说法错误的是A， 故选：A． 13．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 【答案】B 【详解】解：当12是斜边时，第三边是； 当12是直角边时，第三边是． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14．在中，，，边上的高，求的长． 【答案】5或1 【详解】解：（1）如图，锐角中，，，边上高， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得： ∴； （2）钝角中，，，边上高， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得： ∴． 综上可得的长为5或1． 15．如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A．10 B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：∵， ，， ∴， ∵于点， ∵， ∴， 故选B． 16．如图，和都是等腰直角三角形，，，点D在的斜边AC上，且，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 和都是等腰直角三角形，，，， ，， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 17．如图，，且，，，则线段的长为（  ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够依次求出、的长是解题的关键． 18．如图，在中，，，，点在上，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 19．如图，在中，，，，，是的角平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作关于的对称点， ∴， ∵是是的平分线， ∴在上，， ∴， 当时，取得最小值， 过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．如图，中，，，，是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：作，，垂足分别为和， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 21．如图，在四边形中，，，．若，，则的面积为 ． 【答案】20 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 22．如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 ． 23．如图，这是某零件的平面图，其中，，，，，求该零件的面积． 【答案】 【详解】解：连接 ∵，，， ∴. ∵，， ∴， ∴. ∴ ∵， ∴零件的面积： 24．已知在中，，，，，过点作于点． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，，， 中，由勾股定理得：， ． （2）， ， ， ． 25．如图，在中，，，点是线段上一点，连接，，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）在中，，，， 是直角三角形，且，即． （2）设，则 由（1）可知，所以． 在中，， ，解得 二、与直角三角形三边有关的面积问题 26．如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． 【答案】6 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， 故答案为：6． 27．如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为(      ) A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【详解】解：标记字母如图： 为直角三角形， ， 又， ， ， 同理，，， 在中，，， 所以阴影部分的面积为 ． 故选：D． 28．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】解：∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ∴， 故选：D． 29．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设正方形A、B、C、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、e、f，    ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∴正方形E、F的面积和为正方形A、B、C、D面积的和， ∵最大的正方形的边长为7， ∴， ∴最大正方形G的面积等于正方形E、F的面积和， ∴正方形A、B、C、D的面积之和等于最大正方形G的面积， ∴正方形A、B、C、D的面积之和为， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积． 30．如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B． 【详解】如图所示，连接， 在中， 即； 同理，在中， 即 则 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长平方即可． 31．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为若，则（    ） A．183 B．87 C．119 D．81 【答案】B 【详解】解：连接， 根据勾股定理可得，， 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键． 32．如图，面积分别为的四个正方形围成的四边形中，，若，．则 ． 【答案】10 【详解】解：根据题意可知：，，，， 在与中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：10． 33．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是    【答案】56 【详解】解：如图，    在中，， 在中，， ∴ ， 故答案为：56． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 34．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 【答案】 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 35．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2， ∴， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 故答案为：． 36．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， 图1中所有正方形面积和为：， 图2中所有正方形面积和，， 图3中所有正方形面积和， ⋯ ∴第n个图形中所有正方形的面积和为， ∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确． 故选：B． 37．如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 首先根据勾股定理求出，然后根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即，然后代数求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 故答案为：30． 38．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为， 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵中，，， ∴， ． 故答案为：24． 三、弦图 39．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 40．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故A选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故B选项能证明勾股定理； C、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴ ，故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴D选项不能证明勾股定理． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意义是解题的关键． 41．如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图形可得，，，故正确； ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，故错误； 故选：． 42．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是（    ） A．6 B．5 C． D．4 【答案】B 【详解】解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、完全平方式等知识点，正确根据图形的关系求得和ab的值是解答本题的关键． 43．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（    ） A．6 B．7 C．12 D．15 【答案】C 【详解】设直角三角形两条直角边长分别为和， 由题意可知：中间小正方形的边长为：， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： ， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 所以一个直角三角形的周长是12． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理及赵爽弦图、灵活使用完全平方公式是本题的关键． 44．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵大正方形的面积， ∴， 故选：D． 45．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 46．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，则的值为 ． 【答案】49 【详解】由题意可知，图中小正方形的边长是，图中直角三角形的面积是，根据已知数量可得： ，， 解得，， ∴. 故答案为：49 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，掌握勾股定理是解题的关键． 47．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是 ．    【答案】 【详解】解：， ， 小正方形的面积为：， 由图可得，的值等于小正方形的面积的2倍，即， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确的值等于小正方形的面积的2倍. 48．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是 ． 【答案】5 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， 根据题意得， 解得：， 解得：或舍去， 故大正方形的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 49．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【详解】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， ∵S1+S2+S3＝45， ∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45， 即3S2＝45， 解得S2＝15． 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 50．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点， 且， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 51．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，阴影部分的面积为60，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：由四边形 与四边形均为正方形，点H是的中点，可知E、F、G分别为、 、 的中点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：10 【点睛】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键． 52．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 四、图形折叠问题 53．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得， ∴ 故选：B． 54．如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 55．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 56．如图，将长方形纸片折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处，已知，，线段的长度为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处， ∴,由折叠可知：， ∴， 设，则， 在中，， ∴,解得， ∴． 故答案为：． 57．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为 ． 【答案】30 【详解】∵长方形折叠，使点B与点D重合， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即 ∴的面积为：， 故答案为：30． 58．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，点分别在边、上，将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处， 由折叠性质可知，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即， ，解得， 点的坐标为， 故答案为：． 59．如图，在中，．将分别沿折叠，使点都与点重合，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 60．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 61．如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 ． 【答案】3 【详解】∵，且，， ∴， 又由于翻折， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 故答案为：3． 62．如图，长方形纸片中，，，将它沿对角线折叠，使点落在点处，则 ． 【答案】 【详解】解：∵长方形纸片，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 63．如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 64．如图,在中,,分别是边上的点,将沿折叠,使点的对称点恰好落在的中点处．若,,则的长为 cm． 【答案】 【详解】解:∵将沿折叠, ∴,设,即, ∵, ∴, ∵恰好落在的中点,, ∴, ∴在中应用勾股定理:, ∴,解得：, 故答案为:． 65．如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 66．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：，，， ， 垂直平分， ，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， 在中，， 由对称的性质可知，， ， 故答案为：． 67．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 68．在矩形中，，，点在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点，连接．若点为的中点，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，如图所示： 点为的中点，， ， 将沿翻折， ，， 在中，， ， ，解得， 在矩形中，，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求的长是本题的关键． 五、最短路径问题 69．如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（）是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：如图，将圆柱展开： ∵圆柱高，底面圆半径为， ∴， 根据勾股定理得：， 即爬行的最短路程是， 故选：A． 70．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意得，，，， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为， 故选：．    71．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ． 【答案】5 【详解】解：圆柱体玻璃容器展开图如下，，作于F， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 故答案为：5． 72．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 cm．（容器厚度忽略不计）    【答案】 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，过作交的延长线于D，则四边形为矩形，连接交于F，则即为最短距离．    ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴，， ∴在直角中，． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 73．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【详解】解：如图展开，连接，则线段的长就是小虫爬的最短路线， 在中，，， 由勾股定理得：． 故选：B． 74．如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 【答案】25 【详解】解：如图， ∵长方体盒子的宽为，高为，， ∴， 故答案为：． 75．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【答案】 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 76．如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， ∵正方体的棱长为2，M是的中点， ∴，，， 由勾股定理得， 如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， ∵正方体的棱长为2，M是的中点， ∴，，， 由勾股定理得， 如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， ∵正方体的棱长为2，M是的中点， ∴，，， 由勾股定理得， ∵， ∴最短路程为：， 故选：C． 77．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是6和3， 则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5和4， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和2， 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短． ∵ ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故选：B． 78．如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分三种情况： （1）经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （2）经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （3）经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． 比较（1）（2）（3）的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为． 故选：C 79．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ）    A． B．25 C． D．35 【答案】B 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1，    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：B． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 80．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【详解】解：依题意，如图， 根据题意可得：展开图中的，． 在中，， ∴， 即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是． 故答案为：26． 81．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ， ． 故选C． 82．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 dm． 【答案】25 【详解】解：展开图为： 则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）, 在Rt△ABC中， （dm）. 所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm. 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 六、勾股定理的其他应用 83．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 84．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示， 则OA=3，AB=4，由勾股定理得：， ∴a=10-5=5； 当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6； 综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据情况进行分类讨论、及勾股定理的应用是本题的关键． 85．如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得：盒子底面对角长为 盒子的对角线长为 则细木棒露在外面的最短长度为 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理在长方体中的应用，理解题意，求出长方体中的最长线段是解题关键． 86．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱 【答案】680 【详解】如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得， （m）． 则地毯总长为12+5=17（m）， 则地毯的总面积为17×2=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20=680元． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 87．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．    【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽和积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 铺完这个楼道至少需要（元）． 故填：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 88．“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？    【答案】超速了，16.8千米/时 【分析】根据题意得出由勾股定理得出的长，进而得小汽车行驶速度为76.8千米/时，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，， 所以， 小汽车1.5秒行驶32米，则1小时行驶76800（米）， 即小汽车行驶速度为76.8千米/时，因为 ， 所以小汽车已超速行驶,超速千米/时． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，算术平方根的含义，掌握根据已知得出的长是解题关键． 89．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 90．如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？ 【答案】(1) (2)轮船需小时赶到C处 【分析】本题考查三角形的内角和定理，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）利用三角形的内角和定理即可求解； （2）在中由勾股定理求得，在中，利用含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ，， ∴， 在中，； （2）解：作于F， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴轮船需小时赶到C处． 91．甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里． (1)求乙搜救艇的航行方向； (2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？ 【答案】(1)北偏东方向 (2)30海里 【分析】（1）由勾股定理的逆定理求得，再结合甲搜救艇的航行方向即可求解； （2）先求得和的长度，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：海里，海里， ∵海里， ∴，， ∵， ∴， 即乙搜救艇的航行方向是北偏东方向； （2）解：由题意，海里，海里， ∴海里，海里， ∵， ∴海里， 答：甲、乙两艘搜救艇相距30海里． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，能熟练运用勾股定理及和其逆定理是解决本题的关键． 92．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 93．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由． (3)如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？ 【答案】(1) (2)宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由见解析 (3)村庄C一共能听到分钟的宣传． 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）证明，则由勾股定理的逆定理可知； （2）利用等面积法求出，再由即可得到结论； （3）在上取两点E、F使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度可得答案． 【详解】（1）解：∵村庄C到A、B两站点的距离分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∵， ∴宣讲车P宣传时，村庄C能听到； （3）解：如图所示，在上取两点E、F使得，连接， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ∵分， ∴村庄C一共能听到分钟的宣传． 94．第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1)8小时 (2)5小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出的长度． （1）根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】（1）在中，根据勾股定理， 得， ∴（小时）， 则台风中心经过8小时从B移动到D点； （2）如图，设 ∵距台风中心的圆形区域内都会受到台风破坏的危险， ∴人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵， ∴（小时）， 答：游人在5小时内撤离才可脱离危险． 95．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向的B处，以的速度向北偏西的方向移动，距台风中心范围内是受台风影响的区域． (1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响? (2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长? 【答案】(1)会受到台风的影响 (2)5小时 【分析】（1）根据题意得出的长，进而得出答案； （2）首先求出的长，进而得出的长，进而求出市受这次台风影响的时间． 此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键． 【详解】（1）解： 市会受到台风的影响． 理由：过点作于 中，， ， 市会受到台风的影响； （2）解：以为圆心，为半径画弧交于点、 在中，， ∵以的速度向北偏西的方向移动， ∴（小时）． 市受这次台风影响的时间为5小时． 96．如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 【答案】312.5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，弄清题意，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；根据题意，，，由、的长易求，设米，米，在中运用勾股定理得关系式求解． 【详解】解：根据题意得：，， 在直角三角形中， 米，米， （米）， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 答：该超市C与车站D的距离是312.5米． 97．如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？ 【答案】站应建在离站处． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键．根据使得，两村到站的距离相等，则，再利用勾股定理得出的长． 【详解】解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ． 答：站应建在离站处． 98．如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？ 【答案】E站应建在离A地的地方 【分析】本题考查勾股定理，根据设，则，利用勾股定理结合C，D两村到E站距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即：， 解得：， 答：E站应建在离A地的地方． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理重难点专题 目 录 一、勾股定理的简单运用 1 二、与直角三角形三边有关的面积问题 6 三、弦图 9 四、图形折叠问题 13 五、最短路径问题 17 六、勾股定理的其他应用 21 一、勾股定理的简单运用 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．平面直角坐标系中有两点和点，则线段的长为 ． 3．平面直角坐标系中有两个点A、B，点A的坐标为，点B的坐标为，线段的长度为 ． 4．如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，则数轴上点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 6．如图所示边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（   ） A． B．2 C． D． 7．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为(    )    A． B． C． D． 8．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高的长度是（　　） A． B． C． D． 9．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 10．如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 11．若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 12．在中，，，，分别是，，的边，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 13．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 14．在中，，，边上的高，求的长． 15．如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A．10 B． C． D．5 16．如图，和都是等腰直角三角形，，，点D在的斜边AC上，且，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 17．如图，，且，，，则线段的长为（  ）．    A． B． C． D． 18．如图，在中，，，，点在上，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 19．如图，在中，，，，是的角平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 20．如图，中，，，，是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 21．如图，在四边形中，，，．若，，则的面积为 ． 22．如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数；(2)求四边形的面积． 23．如图，这是某零件的平面图，其中，，，，，求该零件的面积． 24．已知在中，，，，，过点作于点． (1)求的长； (2)求的长． 25．如图，在中，，，点是线段上一点，连接，，． (1)证明：； (2)求的长． 二、与直角三角形三边有关的面积问题 26．如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． 27．如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为(      ) A．6 B．9 C．12 D．18 28．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 29．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是（     ）    A． B． C． D． 30．如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 31．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为若，则（    ） A．183 B．87 C．119 D．81 32．如图，面积分别为的四个正方形围成的四边形中，，若，．则 ． 33．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是    34．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 35．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ． 36．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 37．如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 38．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 三、弦图 39．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 40．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 41．如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（       ） A． B． C． D． 42．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是（    ） A．6 B．5 C． D．4 43．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（    ） A．6 B．7 C．12 D．15 44．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 45．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 46．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，则的值为 ． 47．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是 ．    48．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是 ． 49．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 50．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 51．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，阴影部分的面积为60，则的长为 ． 52．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 四、图形折叠问题 53．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 54．如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 55．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 56．如图，将长方形纸片折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处，已知，，线段的长度为 ． 57．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为 ． 58．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，点分别在边、上，将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则点的坐标为 ． 59．如图，在中，．将分别沿折叠，使点都与点重合，若，则 ． 60．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 61．如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 ． 62．如图，长方形纸片中，，，将它沿对角线折叠，使点落在点处，则 ． 63．如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 64．如图,在中,,分别是边上的点,将沿折叠,使点的对称点恰好落在的中点处．若,,则的长为 cm． 65．如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 66．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为 ． 67．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 68．在矩形中，，，点在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点，连接．若点为的中点，则的面积为 ． 五、最短路径问题 69．如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（）是（    ） A． B． C． D．无法确定 70．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 71．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ． 72．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 cm．（容器厚度忽略不计）    73．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 74．如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 75．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 76．如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 77．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（    ） A．7 B． C． D． 78．如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 79．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ）    A． B．25 C． D．35 80．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 81．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 82．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 dm． 六、勾股定理的其他应用 83．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 84．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 85．如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（    ）    A． B． C． D． 86．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱 87．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．    88．“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？    89．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 90．如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？ 91．甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里． (1)求乙搜救艇的航行方向； (2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？ 92．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 93．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由． (3)如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？ 94．第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 95．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向的B处，以的速度向北偏西的方向移动，距台风中心范围内是受台风影响的区域． (1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响? (2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长? 96．如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 97．如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？ 98．如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $