9.1.1正弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

《 正弦定理》 人教版普通高中数学B版必修第四册 第九章 不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。 ——罗巴切夫斯基  Независимо от того, насколько абстрактна та или иная ветвь математики, всегда есть день, который будет применен в этом реальном мире.  —— Лобачевский  发现问题，提出问题 在实际生活中，土地的测量是重要的生产实践活动，包括距离、面积的测量与计算．因此，图形也成为数学的研究对象。在现代生活中，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成．请思考，在这些工具出现以前，人们是怎样间接获得两点间距离的呢？ 问题1 发现问题，提出问题 若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？ 实际问题 发现问题，提出问题 在ABC中，已知BC=m，∠ABC=α，∠ACB=β，求AB． 数学问题 发现问题，提出问题 1.解三角形 我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素． 已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 分析问题，构建模型 回顾旧知 1.解三角形 在ABC中， A B C a h b c (1) A + B+ C =180°； (2) a+b>c,a-b＜c； (3) A >B 的充要条件是a > b ． 回顾旧知 解直角三角形 在ABC中，C为直角 (1) A + B+ C =180°； (2)锐角三角函数 ,； (3)的充要条件是 ． C A B b c a 一般化 解三角形 （1）如图，已知中，，你能求出这个三角形的面积吗？ （2）一般地，在中，如何根据的值，求出这个三角形的面积？ 探索新知 问题2，用的元素表示的面积 （1）如图，已知中，，你能求出这个三角形的面积吗？ 探索新知 （2）一般地，在中，如何根据的值，求出这个三角形的面积？ 探索新知 猜想：任意三角形的面积 这个猜想对于所有的三角形都适用吗？ 探索新知 当C为钝角时，如下图所示，仍设的BC边上的高为AD，则可知 ，因此仍有成立； 当C为直角时，由，可知仍成立. 探索新知 1.三角形的面积公式 从结构上看，已知两边及夹角，即可求出任意三角形的面积。 思考：由这个连等式，你还能得到三角形的什么边角关系呢？ 探索新知 由此可知： 又因为，因此可得 探索新知 2.正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等. 问题：你还有其他的方法证明这个结论吗？ 探索新知 A B C b a c A B C b a c A B C b a c 方法二：几何法 D ⇓ D 探索新知 17 思考：正弦定理的比值是定值吗？有什么几何意义吗？ =？ 探索新知 证明：作ΔABC外接圆O, 过B作直径BC'，连AC', O C′ c b a C B A A B C b a c c =2R (R为外接圆半径） 探索新知 探索新知 思考：正弦定理有怎样的结构特点，它可以解决哪些问题？ ①结构特征：边角相对，体现数学的对称美； ②方程观点：一对边角与外接圆半径，知二求一，任意两对边角，知三求一； ③定理实质：刻画了边角的对应关系，已知任意两角及一边或两边及一边对角即可解出其他的量． 探索新知 探索新知 三边及其三边对角 两边及其两边对角 方程：知三求一 两角及一角对边 两边及一边对角 在△ABC中，已知b=，A=45°，B=60°，求a。 解： ∵ ∴ = = 探索新知 例1.已知中，求. 探索新知 问题：如果已知，请预判解的个数？为什么？ 发现问题，提出问题 在ABC中，已知BC=m，∠ABC=α，∠ACB=β，求AB． 数学问题 已知两角一边，三角形的解唯一 三角形全等的判定定理AAS（或ASA） 探索新知 解：由正弦定理 得 例2.已知中，求解这个三角形. 当时，, 当时，, 由于，所以或 探索新知 例3.已知中，求及三角形面积. 探索新知 ，大边对大角，，所以C=45° 例3.已知中，求及三角形面积. 探索新知 例4.判断满足条件的是否存在，并说明理由. 又因为sinC≤1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形. 探索新知 问题：对比例2，例3，例4，为什么解的个数不确定呢？ 两解 一解 无解 探索新知 已知两边及一边对角，此时三角形的形状不确定，所以解的个数不确定． SSA不能作为三角形全等的判定定理 探索新知 解：由正弦定理 得 例2.已知中，求解这个三角形. 当时，, 当时，, 由于，所以或 探索新知 例2.已知中，求解这个三角形. 探索新知 当时. 当时. 当时. 当时. 1 代数角度 条件 解的个数 0，即无解 1 1或2（由可得 有两个值，一个 为钝角，一个为锐角，此时需进行讨论） . . 下面以已知,和 解三角形为例进行说明. 35 知识延伸 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定. 设为锐角，若，则，从而 为锐角，有一解. 若，则，由正弦定理得 ， ①当,即 时，无解； ②当 时，有一解； ③当，即 时，有两解. 事实上，三角形解的个数就是根据大边对大角、三角形内角和定理、正弦函数 的有界性等进行判断的.#1.1.3 36 几何角度 角的 类型 为锐角 条件 图形 解的 个数 无解 一解 两解 一解 37 角的 类型 为钝角或直角 条件 图形 解的 个数 一解 无解 续表 38 本节课你有哪些收获？ 你还想进一步了解哪些知识？ 课堂小结 数学实例 数学模型 定理 证明 外延 应用 数学 建模 数学 抽象 特殊一般 解决问题 转化化归 实际问题 已知两角及一边，或两边及一边对角（讨论解的个数）解三角形 积 1.面积法 2.几何法 3.外接圆法（分类讨论，数形结合） （R为三角形外接圆半径） 课堂小结 一般地，若记 的面积为S，则 解：由已知得： . 由正弦定理可知： ，所以 解：假设满足条件的三角形存在，则由 可知 又因为 ，所以这是不可能的，因此不存这样的三角形. 解：假设满足条件的三角形存在，则由 可知 又因为 ，所以这是不可能的，因此不存这样的三角形. $