4.2提公因式法第1课时（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

4.2 提公因式法 第1课时 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版八年级下册数学第四章“因式分解”第1课时，核心知识点是“提公因式法”。内容主要包括：公因式的概念、确定多项式各项公因式的步骤，以及如何利用提公因式法将多项式分解为两个或多个因式的乘积。本节课是学生学习因式分解系列内容的开端，重点在于熟练寻找并提取公因式，难点在于准确处理符号与系数负号的变换。 2.内容解析 因式分解与整式乘法互为逆运算。本节通过对多项式各项中系数和字母的“最大公因式”进行提取，形成“公因式 × 多项式”的结构，帮助学生理解提公因式法的本质。过程中需特别强调“公因式要提尽”，以及在提取负公因式时，需要将括号内每一项变号，保证等式恒等成立。例如，对 ，先找系数最大公约数 3，再找字母 的最低次幂，故公因式为 ，最后分解得 。 1.教学目标 •能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题。 •能简单运用提公因式法进行因式分解。 •通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想. 2.目标解析 •通过示例引导学生比较观察多项式的各项，明确寻找系数和字母公因式的方法，落实目标1。 •让学生利用公因式完成多项式因式分解练习，逐步内化解题思路，达到目标2。 •在完成提公因式法后，引导学生与整数分解类比，激发对数与式相通性的认识，达成目标3。 3.重点难点 • 教学重点：找出公因式并提取。 • 教学难点：灵活处理负号以及确保公因式“提尽”。 学生已具备整式运算基础，对整式乘法较熟悉，但在“逆向思维”上还需更多训练。对符号问题常出现疏漏。通过本节课的循序渐进与多样变式练习，可帮助他们形成系统的因式分解思路，为后续学习更复杂的分解方法奠定基础。 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾： o因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也可称为“分解因式”。 o因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式. 情景引入： 问题：观察下列各算式有什么共同的特点？ （1） 5×3+5×(-6)+5×2； （2）2πR+2πr； （3）ma+mb； （4）cx-cy+cz. 学生回答：公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式. 教师提问：你能尝试将(2)~(4)式分别写成几个因式的乘积吗？ 【设计意图】以上情境引导学生从熟悉的算式入手，发现它们都有公因式，激发思考“如何把相同因素提取出来”，为新课探究作铺垫。 探究点1：公因式的定义 1.观察交流 多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式呢？多项式 呢？ 解：多项式ab+bc各项都含有相同因式：b. 多项式各项都含有相同因式：x. 多项式各项都含有相同因式：b. 你能尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积吗？并与同伴进行交流. 2.新知探究 教师提问：找 3– 6 x y 的公因式. 解： 所以3– 6xy的公因式是3x. 3.知识归纳 ①公因式的定义： 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如b就是多项式ab+bc各项的公因式. ②正确找出多项式各项公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 4.练一练 多项式6ac-3bc+12中各项的公因式是(　　) A.abc 　　　　　 B.3 　　　　　 C.3c 　　　　　 D.3ab 解：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D. 【设计意图】通过小组讨论与演示，学生在“数与式”的共同点上形成“公因式”概念，掌握“最大公约数”和“最低次幂”两大核心要素，突破公因式寻找的难点，培养抽象概括能力。 探究点2：提公因式因式分解 1.尝试交流 (1)多项式2+6中各项的公因式是什么？ 解：多项式2+6中各项的公因式是2. (2)你能尝试将多项式2+6因式分解吗？与同伴进行交流. 解：2+6 =2·1+2·3x =2(1+3x) 2.知识归纳 提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. pa+ pb +pc=p( a+b+c ) 3.尝试思考 分解因式：8 + 12ac. 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. 解：8 + 12ac =4a ·2+4a ·3bc =4a(2+3bc)； 教师提问：如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？ 解：另一个因式将是2b+3c,它还有公因式是b. 4.例题探究 例 把下列各式因式分解： (1)2mn+4; (2)7-21p; (3)8-12ac+ab; (4)-24+12-28x. 解：(1)2mn+4 =2m·n+2m·2m =2m(n+2m)； (2)7-21p =7p·p －7p·3 =7p(p－3)； (3)8-12ac+ab =ab·8b－ ab·12c +ab·1 = ab(8b－12c+1). 注：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. (4)-24+12-28x =－(24 －12+28x) =－(4x·6 －4x·3x+4x·7) =－4x(6 －3x+7). 注：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号. 5.知识归纳 提公因式法因式分解的注意事项： 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号. 6.练一练 下列多项式因式分解正确的是（　　） A. 8abx-12=4abx(2-3ax) B. -6+6-12x=-6x(-x+2) C. 4-6xy+2x=-2x(2x-3y) D. -3y+9ay-6y=-3y(+3a-2) 解：B 7.思考交流 提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？与同伴进行交流. 提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算. 8.典例分析 例1把下列多项式因式分解： ； 解：(1)-3+6xy-3xz =(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z =-3x·(x-2y+z). (2) =3b·a+3b·3b-3b·2 =3b(a+3b-2) 例2已知 求 的值。 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b) ＝4×7 ＝28. 方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可. 【设计意图】通过典型例题，聚焦“提公因式法”的操作流程和细节，把“找公因式”“提公因式”贯穿到底，帮助学生在应用中强化公因式分解技能，为后续更复杂的因式分解做好铺垫。 1.多项式 各项的公因式是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 解：A 2.多项式 可分解为 ，则 表示的整式为(　　) A.　 B. C. D. 解：D 3.计算 的结果是(　　) A.3.9 B.-3.9 C.1.3 D.-1.3 解：B 4. 的值为(　　) A.　　 B. C.　 D. 解：D 5.将多项式 因式分解时，应提取的公因式是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解：D 6.将 提公因式 后，另一个因式是(　　) A. B. C. D. 解：A 7.多项式 中各项的公因式是_____。 解：2x 8.多项式 中各项的公因式是。 解：9b 9.把下列各式因式分解: ; ; ; . 解：2a(a-6)，3b(-2)，7x(3-2x+y)，-b(-5a+9)，30 10.若 则 . 解：30 11.把下列各式因式分解: ； ； . 解：(1)=4a(2+3bc). (2)=a(a-2). (3)=2a(2-3a-1). 12.把下列多项式分解因式： ； . 解：(1) =(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z =-3x·(x-2y+z). (2) =3b·a+3b·3b-3b·2 =3b(a+3b-2) 13.已知 (2x - y =)，，求 的值。 解: =(2x-y)=(2x-y). 当2x-y=，xy=2时, 原式=×=1. 14.计算： 解: =++3× =-++3× =(-2+1+3) = . 【设计意图】 通过多种形式的练习（选择题、填空题、计算题、综合题等），强化学生对“公因式及提公因式法”的理解与运用，形成对本节课知识的系统掌握。题目顺序与选项严格与原文件保持一致，便于学生有效对照与自我检测。 主板书 4.2 提公因式法 第1课时 探究点1 公因式的定义 探究点2 提公因式因式分解 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题4.2第1~2题。 2.探究性作业：习题4.2第5题。 学科网（北京）股份有限公司 $