4.2提取公因式（1）教学设计2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版（2026）八年级数学下册第四章《因式分解》教学设计 4.2提取公因式（1） 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四 课题 提取公因式（1） 课时 1 课标要求 进一步了解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的互逆关系；要求能够识别多项式中的公因式，并将其提取出来；掌握识别公因式的“三定”（定系数、定字母、定指数）。本节课渗透的数学思想方法是逆向思维和整体思想。 教材分析 本节课选自北师大版八年级下册第四章第三节因式分解的提公因式法。上节课学习了因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，本节课学习因式分解最基本的方法——提公因式法。因式分解是代数式的一种重要恒等变形．它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用．通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解奠定基础．因此，它起到了承上启下的作用． 学情 分析 学生已经学习了整式乘法，有了初步的逆变思维能力，具备一定的分析、判断和运用法则的能力，对乘法的分配律也有了进一步的理解。同时已经具备了一定的自学、互学能力，所以本节课中应努力为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究怎样确定公因式和如何用提公因式法分解因式。在教学中教师既要注意学法指导，更要重视培养他们的数学学习习惯和数学思想 核心素养目标 1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式. 2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法． 3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯． 教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。 教学难点 让学生识别多项式的公因式。 教学 准备 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 二、整式乘法与分解因式之间的关系；互为逆运算 三、简便计算 情境导入 如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，请用两种方法表示新长方形的面积。 ma+mb=m(a+b) 1、回顾知识 2、简便计算 3、两种方法表示面积 问题引导,自助探究，由浅入深,层层推进,使学生由数的运算类比得出式的运算,从而顺利过渡到提公因式法分解因式上来,逐步培养学生观察、分析、归纳的能力、自主学习的能力及逆向思维能力，同时向学生渗透类比的数学思想方法． 三、探究 一、认识公因式 1、认真观察等式两边各有什么特点？ ma+mb=m(a+b) 公因式 多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？多项式mb +nb–b呢？ 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、怎样确定多项式的公因式？ 找出 2x–6x的公因式。（定系数、定字母、定指数） 所以，2x–6x 的公因式是2x 3、练一练 ① 4a + 2b 的公因式是 2 ② ab+ac+ad 的公因式是 a ③3x + 9x 的公因式是 3x ④2x + 6x 的公因式是 2x ⑤ 7(a–3)–b(a–3) 的公因式是 (a-3)_ 二、提取公因式 ① 4a + 2b 提取公因式是 2（2a+b） ② ab+ac+ad 提取公因式是 a（b+c+d) ③3x + 9x 提取公因式是 3x(x+3) ④2x + 6x提取公因式是 2x(1+3x) ⑤ 7(a–3)–b(a–3) 提取公因式是 (a-3)(7-b) 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积 的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法。 1、认识公因式，并总结找公因式的方法。 2、 初步感知提取公因式。 让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验． 四、变式 例1、将下列各式分解因式： 注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。 注意：多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。 例题2、把下列多项式分解因式： （1）12xy+18xy； （2）-x+xy-xz；（3）2x+6x+2x 现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。 甲同学： 解:12xy+18xy=3xy(4x+6y) [不正确，系数的最大公因数是6] 乙同学： 解:-x+xy-xz =-x(x+y-z) [不正确，提取“-”时，第二、三项未变号] 丙同学： 解:2x+6x+2x=2x(x+3x) [不正确，第三项与公因式相同，提取后是1正确应为2x（x+3x+1)] 学生完成两个例题的自学，教师巡视完成情况，强调：①当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。②多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。 通过典例分析，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．通过例题的呈现归纳提取公因式应注意：①当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。②多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。 五、尝试 基础达标： 1．6ab与8ab的公因式是( C ) A．ab B．6ab C．2ab D．24ab 2．下列各个多项式的各项中，有公因式的是( D ) A．x－9y B．x－3x＋5 C．a＋b D．ab－ab＋ab 3．多项式9xy－36xy＋3xy提取公因式 3xy 后，另一个因式是． 4．(2016·宁波)分解因式：x－xy＝ x(x-y)． 5．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是( B ) A．x－y B．x＋2x C．x＋y D．x－xy＋y 6、用提公因式法将下列各式因式分解. (1)ax-ay； (2)6xyz-3xz； (3)-xz+xy； (4)36aby-12abx+6ab 解：(1)ax-ay==a(x-y); (2)6xyz-3xz==3xz(2y-z); (3)-xz+xy==-x(z-xy); (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1) 能力提升： 7.下列各组式子中，没有公因式的是( B   ) A.－a2＋ab与ab2－a2b B.mx＋y与x＋y C.(a＋b)2与－a－b D.5m(x－y)与y－x 8.边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( D  ) A.15       B.30        C.60       D.78 9.把多项式-3x-6x因式分解，结果为(　A　) A.-3x(x＋2) B.-3(x2＋2x) C.-3x(x2＋2) D.3(-x2-2x) 拓展迁移 10.分解因式：1+x+x（x+1）+x(x+1） =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)(1+x)=(1+x). （1）上述因式分解的方法是 提取公因式 ，共应用了 2 次； （2）若分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1) +x(x+1)，则需应用上述方法 3 次，结果是 ； （3）分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1) +⋯+x(x+1)（n 为正整数）的结果是 ． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 六、提升 1、公因式的定义： 多项式各项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、公因式的找法： (1)定系数：取各项系数的最大公约数； (2)定字母及指数：取各项相同字母的最低次幂 3、提公因式法的定义： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因 式法。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 提公因式法分解因式 ma+mb=m(a+b) 公因式（系数、字母、指数） 理论根据：乘法分配律 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1. 将 5x(a+b)−y(b+a )用提公因式法分解因式，应提取的公因式是 （ C ）   A. 5x−y B. 5b+a C. a+b D. 5x+y 2. 若 mn=−2，m−n=3，则代数式 m n−mn 的值是( A )    A. −6 B. −5 C. 1 D. 6 3. 分解因式 b(x−2)+b（2−x），正确的结果是 ( D )   A. （x−2)(b+b) B. b(x−2)(b+1) C. (x−2)(b−b) D. b(x−2)(b−1) 4. 多项式 xy(a−b)−xy(b−a)+y(a−b )提公因式后，另一个因式为( B  ) A. x−x+1 B. x+x+1 C. x−x−1 D. x+x−1 5.把下列各式分解因式： 解; 能力提升： 6.已知ab=7,a+b=6,求多项式的值 解：=ab(a+b)=7×6=42 7.已知a+b=5,ab=3,求ab+ab的值. 解：ab+ab=ab(a+b)=3×5=15 拓展迁移： 8.已知 x，y 满足：（x+y）=5，（x−y） =41；求 xy+xy的值． 解：由 （x+y=5 得：x+2xy+y=5． 由（ x−y）=41 得：x−2xy+y=41． 得；x+y=23；xy=−9， xy+xy=xy(x+y）=−9×23=−207． 9.若x-3x-4=1，求2029-2x+6x的值. 解：原式=2029-2(x-3x) =2029-2×5 =2019. 10.已知x，y都是自然数，且有x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=12，求x、y的值. 解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)； 因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4； 经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件； 所以x=4，y=2. 教学反思 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $