4.1因式分解（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

4.1 因式分解 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版八年级下册·第四章·4.1因式分解，核心知识点包括因式分解的概念及其与整式乘法的关系，聚焦多项式转化为若干整式乘积的过程。 2.内容解析 本节从“数式—多项式—整式乘积”逐步阐明因式分解的内涵，通过比较、逆用公式等方式强化对 等典型形式的掌握，突出因式分解在简化计算及解决实际问题中的意义。 1.教学目标 •理解并掌握因式分解的概念，会判断变形是否为因式分解。 •理解因式分解与整式乘法的互逆关系，并能运用其解决问题 2.目标解析 • 学生能一方面熟练辨识并分解结构化多项式 • 学生能自如地从多项式与乘积之间双向转换。 3.重点难点 • 教学重点：因式分解的概念认知与形式判断。 • 教学难点：准确运用互逆原理进行灵活转化。 学生已具备整式乘法和多项式初步运算基础，对公式应用尚缺乏逆向思维经验，需要通过典型示例与适当训练强化因式化思维，并提高运算技巧与准确度。 创设情景，引入新课 问题情境： ①你能把-99化成几个整数乘积的形式吗？类似地，你能把-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 我们已经学习过整式的乘法运算. 本章将学习如何把一个多项式化为几个整式乘积的形式. 你将体会这一过程与整式乘法的联系，感受这种变形对解决相关问题的意义，进一步提升思维品质和运算能力. ②某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”. 问题：这两位同学的回答正确吗？你们觉得他们计算出的总金额一样吗？它们之间又有怎样的关系？ 【设计意图】通过生活化的购物场景，让学生体会到“多项式”与“几个整式乘积”之间的联系，为后续探究“因式分解”做铺垫。同时激发学生的学习兴趣，明确本节课的学习方向。 探究点1：因式分解的定义 1.问题思考 -99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 小明是这样做的： 所以，-99能被100整除. 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 教师提问：-99还能被哪些正整数整除? 2.尝试交流 你能把-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. 在这里，解决问题的关键是把一个整式化成了几个整式的积的形式. 3.观察思考 观察下列拼图过程，写出相应的代数式. 解：ma+mb+mc=m(a+b+c) 解：+2x+1= 4.交流讨论 教师提问：观察以下等式，等号两边的代数式有什么不同？ -a=a(a+1)(a-1), ma+mb+mc=m(a+b+c) , +2x+1= 学生思考：等式左边都是多项式，等式右边都是整式的积 教师总结：像这样的变形叫做因式分解. 你能总结出因式分解的定义吗？ 5.练一练 下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(　　) A.a(m+n)=am+an B.--=(a-b)(a+b)- C.10-5x=5x(2x-1) D.-xy+= 解：C 6.知识归纳 ①因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. ②判定一个变形是因式分解的条件： (1)等式左边是多项式； (2)等式右边是积的形式； (3)等式右边的因式全是整式. 【设计意图】通过具体问题引入，让学生感受“化为几个数的积”对运算和理解的简化意义，从实际出发逐步抽象到“因式分解”的本质，突破“因式分解”概念的理解难点，培养学生的抽象概括能力。 探究点2：因式分解与整式乘法的关系 1.操作思考 ①计算下列各式: (1)3x(x-1)=___, (2) m(a+b+c) =___, (3)(m+4)(m-4)=___, (4)=___. 解：（1）3-3x，（2）ma+mb+mc，（3） -16，（4）-6y+9 是整式乘法 ②根据左面的算式进行因式分解: (1) 3-3x=_________; (2) ma+mb+mc=_________; (3) -16=__________; (4) -6y+9=________. 解：（1）3x(x-1),（2）m(a+b+c)，（3）(m+4)(m-4)，（4） 是因式分解 ③因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明. 例如:如图，一块草坪被分成三部分，用不同的方式表示这块草坪的面积。 2.知识归纳 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式. 3.练一练 对于:①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=+2x-3从左到右的变形,下列表述正确的是(　　) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 解：C 4.典例分析 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①--1＝(x+y)(x-y)-1； ②+x＝x(+1)； ③＝-2xy+； ④-9＝(x+3y)(x-3y). A.1个 　　　　 B.2个 　　　　C.3个 　　　　　 D.4个 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B. 例2 若多项式+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值. 解：∵+ax+b=a(x﹣2)(x+3) =a+ax-6a. ∴a=1，b=﹣6a=﹣6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 【设计意图】通过典型例题帮助学生进一步认识：1.判断是否为因式分解时，要同时满足“原式是多项式，结果是乘积，因式均为整式”三个条件。2.因式分解与整式乘法相互逆转，在具体解题中往往先利用乘法展开，再比较系数求解，突破学生对“系数对应法”运用不熟练的难点。 1．下列各式，从左到右的变形是因式分解的是( ) A.3x+3y−5＝3(x+y)−5 B.(x+1)(x−1)＝−1 C.−＝ (x+)(x−) D.x+y＝x(1+) (x≠0) 解：C． 2. −(3a+b)(3a−b)是下列某个多项式因式分解的结果，这个多项式是( ) A.9−　　　　　　　B.+9 C.−9　　　　　　　D.−9− 解：C 3. 把−x因式分解，正确的结果是( ) A.+xy(x−y)　　　　 　　　B.x(−) C.x(x−)　　　　　　　　　　D.x(x+y)(x−y) 解：D 4.如果多项式-mx-35可因式分解为(x-5)(x+7),那么m的值是(　　) A.2 B.-2 C.12 D.-12 解：B 5.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,正确的是 (　　) A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198 解：B 6.对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是______，从右到左的变形是______. 解：整式乘法 ,因式分解 7.如图所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形,请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解:_______________. 解：ab+(a2+b2)=(a+b)2 8.完成下列题目： （1）x(x-2)＝_______， （2）(x+y)(x-y)＝_______， （3）＝________. 解：-2x,-,+2x+1 根据上面的填空，解决下列问题： （1）-2x＝(    )(          ), （2）-＝(          )(           ), （3）+2x+1＝. 解：x,x-2;x+y,x-y;x+1 9.小明在解答“因式分解:(1)3-9x+3;(2)9-4.”这道题目时,是这样做的: 解:(1)3-9x+3=3(-6x+1). (2)9-4=(3x+2)(3x-2). 请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明分解得对不对. 解: (1)因为3(-6x+1)=3-18x+3≠3-9x+3, 所以小明分解得不对. (2)因为(3x+2)(3x-2)=-4=9-4, 所以小明分解得对. 10. 通过计算说明+能否被30整除. 解: 原式=+=+5× =6× =6×5×59 =30×59. ∵30×59能被30整除, ∴+能被30整除. 11.若多项式-mx+4可分解为(x-2)(x+n)，求mn的值. 解: 因为-mx+4=(x-2)(x+n)=+(n-2)x-2n, 所以-m=n-2，-2n=4, 解得m=4，n=-2, 则mn=-8. 【设计意图】本部分练习题由浅入深、覆盖面广，涵盖多项式基本因式分解、因式分解与乘法互逆、简便运算等多种形式。让学生在反复练习与对比中熟练掌握因式分解的判定与操作方法，进一步夯实基础知识，为后续学习做好铺垫。 主板书 4.1 因式分解 探究点1 因式分解的定义 探究点2 因式分解与整式乘法的关系 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题4.1第1~3题。 2.探究性作业：习题4.1第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $