精品解析：山东省日照市东港区田家炳中学2022年中考数学一模试卷

2022年山东省日照市东港区田家炳中学中考数学一模试卷 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 据国家卫健委网站消息，截至2022年3月13日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约31.9亿剂次，将数据31.9亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（    ）. A. (x+y)2=x2+y2 B. (－xy2）3=－ x3y6 C. x6÷x3=x2 D. =2 5. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ） A. x≥-1且x≠1 B. x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1 6. 关于的方程的两个根互为相反数，则值是（ ） A. B. C. 2 D. 7. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 8. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( ) A. 15° B. 35° C. 25° D. 45° 9. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　） A. 800sinα米 B. 800tanα米 C. 米 D. 米 10. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点的坐标为（ ） A. (3，) B. (3，) C. (，) D. （，） 11. 如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论： ①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM； ②无论点M运动到何处，都有DM＝HM； ③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为(　　) A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①②③ 12. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13. 因式分解：2a2﹣8=_____． 14. 一个圆锥，其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则侧面展开图圆心角度数是 ____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，按照如此规律进行下去，点的坐标为 _____． 三、解答题（共6小题，满分68分） 17. 计算、解方程、化简求值 （1）； （2） （3），其中． 18. 达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整． （2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示） 19. 在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题： （1）求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （2）当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？ （3）矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？ 20. 在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E． （1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线； （2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值． 21. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： （1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． （2）如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． （3）如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 22. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年山东省日照市东港区田家炳中学中考数学一模试卷 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最小的数是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小是解题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图 形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重 合 3. 据国家卫健委网站消息，截至2022年3月13日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约31.9亿剂次，将数据31.9亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法的一般形式为，其中，为整数，只需先将31.9亿化为整数形式，再确定和的值即可． 【详解】解：∵ 31.9亿 ， 将改写为的形式时，得，满足，原数小数点向左移动了9位， ∴， 即． 4. 下列计算正确的是（    ）. A. (x+y)2=x2+y2 B. (－xy2）3=－ x3y6 C. x6÷x3=x2 D. =2 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即可． 详解：（x+y）2=x2+2xy+y2，A错误； （-xy2）3=-x3y6，B错误； x6÷x3=x3，C错误； ==2，D正确； 故选D． 点睛：本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及算术平方根的计算，掌握完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键． 5. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ） A. x≥-1且x≠1 B. x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 详解：根据题意得到：， 解得x≥-1且x≠1， 故选A． 点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆． 6. 关于的方程的两个根互为相反数，则值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】若方程的两根互为相反数，则两根的和为；可用含的代数式表示出两根的和，即可列出关于的方程，解方程求出的值，再把所求的的值代入判别式进行检验，使的值应舍去． 【详解】解：∵ ∴设原方程的两根为，则 由题意，得 ∴ 又∵ ∴当时，，原方程无实根； 当时，，原方程有实根． ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式，是解决本题的关键． 7. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得. 【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7， 排序后最中间的数是7，所以中位数是7， ， =4.4， 乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8， 排序后最中间的数是4，所以中位数是4， ， =6.4， 所以只有D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键. 8. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( ) A. 15° B. 35° C. 25° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A =50°，再根据平行线的性质可得∠ACD=∠A=50°，由圆周角定理可行∠D=∠A=50°，再根据三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数. 【详解】∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=65°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°， ∵DC//AB， ∴∠ACD=∠A=50°， 又∵∠D=∠A=50°， ∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°， 故选A. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 9. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　） A. 800sinα米 B. 800tanα米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题. 【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=， ∴AB=， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 10. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点的坐标为（ ） A. (3，) B. (3，) C. (，) D. （，） 【答案】D 【解析】 【分析】根据角度的计算可得，过作轴，勾股定理求解即可 【详解】如图，过作轴， 将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至的位置， 四边形是菱形, ∠C＝120°， ,， 是等腰直角三角形 OB＝， 点的坐标为 故选D 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，求得是解题的关键． 11. 如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论： ①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM； ②无论点M运动到何处，都有DM＝HM； ③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为(　　) A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证得△MEH≌△DAH，再得到△DHM是等腰直角三角形，故DM＝HM，②正确；当∠DHC＝60°时，可求得∠ADM＝45°﹣15°＝30°，故Rt△ADM中，DM＝2AM，DM＝2BE，①正确；再根据点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，∠AHM＜∠BAC＝45°，即可判断. 【详解】由题可得，AM＝BE， ∴AB＝EM＝AD， ∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC， ∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH， ∴EH＝AH， ∴△MEH≌△DAH(SAS)， ∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH， ∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形， ∴DM＝HM，故②正确； 当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°， ∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°， ∴Rt△ADM中，DM＝2AM， 即DM＝2BE，故①正确； ∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB， ∴∠AHM＜∠BAC＝45°， ∴∠CHM＞135°，故③正确； 由上可得正确结论的序号为①②③． 故选D． 【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知全等三角形、30°直角三角形的性质. 12. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，即b=-4a， ∴4a+b=0，故（1）正确； ∵由x=-3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0， ∴9a+c＞-3b，故（2）正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为(-1，0) ∴a-b+c=0， ∵b=-4a， ∴a+4a+c=0，即c=-5a． 代入可得7a﹣3b+2c=7a+12a-10a=9a， ∵函数的图像开口向下， ∴a＜0， ∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）不正确； ∵当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小， ∴若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y2，故（4）不正确； 根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0）， ∴若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2，故（5）正确． 正确的共有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 14. 一个圆锥，其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则侧面展开图圆心角度数是 ____． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】设圆心角为， 则， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标________． 【答案】 【解析】 【分析】由于C、D是定点，则是定值，如果的周长最小，即有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点，当点E在线段上时的周长最小． 考查轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质等，找出点E的位置是解题的关键. 【详解】解：如图，作点D关于x轴的对称点连接，与x轴交于点E，连接. 若在边上任取点与点E不重合，连接 由， 可知的周长最小， ∵在矩形中，，D为边的中点， ∴， ∵， ∴ 则 故 ∴， ∴点E的坐标为. 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，按照如此规律进行下去，点的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先由点计算出，再结合在直线上且，求出坐标；接着根据的横坐标与相同、在上的条件，依次求出的坐标并归纳出的坐标规律为，最后代入，得到的坐标为． 【详解】解：，则， ∵在， ∴设，且， ∴，即， 解得（第一象限取正），，得， ∵横坐标和相同为，​在上，得， ∴， 同理，解得，，得， 同理可得， ∴可得规律：点的坐标为， ∴代入，得​的坐标为． 三、解答题（共6小题，满分68分） 17. 计算、解方程、化简求值 （1）； （2） （3），其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值和零指数幂的意义计算； （2）方程组利用加减消元法求出解即可； （3）先计算括号内的减法，再计算除法，然后进行约分化简，最后代入化简后的式子中计算即可；掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 由得： 由得：，解得：； 将代入①得：，解得：； ∴方程组的解为：； 【小问3详解】 解：原式 当时；原式. 18. 达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整． （2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示） 【答案】（1）40，20，30，作图见试题解析；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），然后根据扇形统计图的知识，可求得m，n的值，继而补全统计图； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案． 试题解析：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），∵n%=×100%=30%，∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，∴m=20，n=30； 如图： 故答案为40，20，30； （2）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：=． 考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图． 19. 在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题： （1）求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （2）当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？ （3）矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？ 【答案】（1），此时自变量的取值范围是 （2） （3）9小时 【解析】 【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，再由图象所经过点的坐标，求出与的值，然后得出函数式，从而求出自变量的取值范围．再由图象知过点，求出的值，再由函数式求出自变量的取值范围． （2）结合以上关系式，当时，由得，从而求出撤离的最长时间，再由速度． （3）由关系式知，时，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：爆炸前浓度呈直线型增加， 可设与的函数关系式为， 由图象知过点，， ， 解得， ，此时自变量的取值范围是， 爆炸后浓度成反比例下降， 可设与的函数关系式为． 由图象知过点， ， ， ，此时自变量的取值范围是； 【小问2详解】 当时，由得： ， 解得， 撤离的最长时间为（小时）． 撤离的最小速度为； 【小问3详解】 当时， 由得，， （小时）． 矿工至少在爆炸后9小时才能下井． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，数形结合是解题的关键． 20. 在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E． （1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线； （2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值． 【答案】（1）见详解； （2）． 【解析】 【分析】（1）因为点D在⊙O上，所以只要连结圆心和圆上这点，证明OD和AC垂直即可. 利用角平分线、等腰三角形、直角三角形两锐角互余，完成证明. （2）利用勾股定理求得AB的长.；利用△ADO∽△ACB对应线段成比例求得BE的长；利用△BEF∽△BAC得=，从而问题得解. 【详解】（1）证明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆， ∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连结OD， ∵，∴． 又∵BD为∠ABC的平分线，∴． ∵，∴． ∴，即∴ 又∵OD是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． （2） 解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中，， ∴ ∵，，∴△ADO∽△ACB． ∴．∴． ∴．∴ 又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC ∴． 21. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： （1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． （2）如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． （3）如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； 【小问3详解】 过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）. 【解析】 【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t. 【详解】解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得： ×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1， 所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1； (2)∵AC∥x轴，A(0，1)， ∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)， ∵点A(0，1)，点B(-9，10)， ∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)， ∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m. ∵AC⊥PE，AC＝6， ∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF ＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP ＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m. ∵-6<m<0， ∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()； (3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2， P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3， ∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘， 同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF， ∴在直线AC上存在满足条件的点Q， 设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝， ∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当△CPQ∽△ABC时， CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)； ②当△CQP∽△ABC时， CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1). 综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1). 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $