4.1认识三角形（第3课时 探索三角形的高、中线、角平分线）（教学设计）数学新教材北师大版七年级下册

4.1认识三角形（第3课时：探索三角形的高、中线、角平分线） （教学设计） 1.教学内容 本节课为北师大版初中数学七年级下册第四章《三角形》第一节《认识三角形》第3课时探索三角形的高、中线、角平分线.本节课主要内容包括：通过折纸、画图等操作活动，认识三角形的三条重要线段——高、中线、角平分线；理解三角形的高、中线、角平分线的定义及其几何特征；掌握三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点（垂心、重心、内心）的性质；能正确画出任意三角形（包括锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的三条高、中线、角平分线. 2.内容解析 本节课是“认识三角形”的第三课时，是在学生已经掌握三角形的基本概念、内角和定理及三边关系的基础上进行的.从知识体系看，本节课从“整体认识”走向“局部特征”，研究三角形内部的三条重要线段，是后续学习全等三角形、等腰三角形、相似三角形等知识的基础，也是学习几何证明的重要工具.从思想方法层面看，本节课集中体现了“几何直观”——通过折纸、画图等操作活动，直观感受三条线段的位置关系；“分类讨论思想”——不同类型三角形中高的位置不同；“归纳思想”——从多个三角形中归纳出三条线段交于一点的规律.同时，通过“搭高”游戏等趣味活动，培养学生的动手能力和空间观念. 基于以上分析，本节课的教学重点为：理解三角形的高、中线、角平分线的定义及其几何特征，掌握它们的画法. 1. 教学目标 (1)理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能用符号语言准确表述；能正确画出任意三角形的三条高、三条中线、三条角平分线；了解三角形的三条高（或中线、角平分线）交于一点的性质. (2)经历折纸、画图等操作活动，培养几何直观和动手能力；通过对比不同类型三角形中高的位置，体会分类讨论思想；在小组合作探究中，培养观察、归纳和表达能力. (3)在“搭高”游戏和折纸活动中感受数学的趣味性，激发学习兴趣；通过发现“三条线段交于一点”的几何美，感受数学的内在和谐；培养严谨细致的作图习惯. 2.目标分析 目标1强调概念的准确理解和基本技能的掌握.学生需要能够准确区分高、中线、角平分线，并能规范画出这三条线段. 目标2侧重于过程体验和方法习得.通过操作活动，让学生在“做数学”中积累几何活动经验；通过分类讨论，培养思维的严谨性. 目标3通过游戏和折纸等趣味活动，让学生在轻松愉快的氛围中学习数学，增强学习兴趣. 学生在小学阶段已经初步接触过三角形的高，知道从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高，但对于钝角三角形的高（在三角形外部）可能没有接触过.对于三角形的中线和角平分线，学生可能是第一次正式学习.在本节课的学习中，学生可能遇到以下困难：①对钝角三角形的高感到困惑，难以理解“高”可以在三角形外部；②画钝角三角形的三条高时，需要延长对边，操作不够熟练；③混淆三角形的中线与角平分线的定义；④对“三条线段交于一点”的规律缺乏深入理解.因此，教学中应注重通过折纸、画图等操作活动，帮助学生建立直观感受，并通过对比分析，加深对概念的理解.教学中应注重从操作体验到理性认识的过渡，通过“搭高”游戏、折纸活动等多种方式，让学生在活动中感悟几何概念的本质. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是理解钝角三角形的高的位置（在三角形外部），以及三条高（或中线、角平分线）交于一点. 创设情景，引入新课 游戏呈现：桌上摆放着两块三角形积木，你能用一支铅笔搭在积木上，使铅笔保持水平吗？ 学生尝试：学生思考并尝试描述方法。 教师引导：要使铅笔水平，需要找到三角形的一个顶点，使对边与水平面平行，那么从顶点到对边的垂线段就是“高”. 引出课题：今天我们就来认识三角形的三条重要线段——高、中线、角平分线. （设计意图：通过“搭高”游戏，从生活情境引入，激发兴趣，同时为理解“高”的概念做好铺垫.） 探究点1：三角形的高 问题：什么是三角形的高？ 学生回顾：小学已学过，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高. 规范定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 几何语言：如图，AF是△ABC的高，记作AF⊥BC于点D（或∠AFB=∠AFC=90°）. 活动1——画三角形的高 任务：在练习纸上画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个，然后分别画出它们的三条高. 小组交流：互相检查画得是否正确. 观察思考： 追问1：锐角三角形的三条高在哪里？（都在三角形内部） 追问2：直角三角形的三条高在哪里？（两条直角边是两条高，斜边上的高在三角形内部） 追问3：钝角三角形的三条高在哪里？（一条在三角形内部，两条在三角形外部） 教师演示：用几何画板或黑板演示钝角三角形高的画法——需要延长对边。 归纳结论：三角形的三条高所在的直线交于一点. 介绍垂心：三角形的三条高的交点叫作三角形的垂心. （设计意图：从旧知引入，通过画图操作，让学生直观感受不同类型三角形中高的位置差异，突破钝角三角形高的难点；通过“三条高交于一点”的发现，感受几何的和谐美.） 探究点2：三角形的中线 问题：如图，如果E是BC的中点，连接AE，AE叫作三角形的什么？ 定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. 几何语言：如图，AE是△ABC的中线，记作BE=EC（或点E是BC的中点）. 活动2——画三角形的中线 任务：在刚才的三角形中，画出三角形的三条中线. 小组交流：互相检查。 观察思考： 追问1：三角形的三条中线有什么位置关系？（交于一点） 追问2：交点在哪里？（三角形内部） 介绍重心：三角形的三条中线的交点叫作三角形的重心. 追问3：重心有什么性质？有兴趣的同学可以课后探究. （设计意图：通过类比高的学习路径，学习中线的概念，培养类比学习能力；通过画图发现三条中线交于一点，感受几何规律.） 探究点3：三角形的角平分线 问题：如图，如果AD平分∠BAC，交对边BC于点D，AD叫作三角形的什么？ 定义：在三角形中，一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 强调：三角形的角平分线是一条线段，与角的平分线（射线）不同. 几何语言：如图，AD是△ABC的角平分线，记作∠BAD=∠CAD. 活动3——画三角形的角平分线 任务：在刚才的三角形中，画出三角形的三条角平分线。 小组交流：互相检查。 观察思考： 追问1：角形的三条角平分线有什么位置关系？（交于一点） 追问2：交点在哪里？（三角形内部） 介绍内心：三角形的三条角平分线的交点叫作三角形的内心. （设计意图：通过类比，学习角平分线的概念，强调与角的平分线的区别；通过画图发现三条角平分线交于一点，完善对三角形内部线段的认识.） 典型例题 例1．如图所示四个图形中，线段能表示三角形的高的是（    ） A．   B．   C．   D．   【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高．利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：根据三角形高的定义，可得B选项中，线段是的高． 故选：B． 例2．如图，线段把分为面积相等的两部分，则线段是（）    A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上都不对 【分析】作三角形的高，根据三角形面积公式，分别表示出和，即可得出，即线段是三角形的中线． 【详解】解：作， ∴，， ∵，即， ∴， 即线段是三角形的中线． 故选：B．    例3．如图，是的角平分线，是的高，已知，，求下列角的大小：    (1)； (2)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得的度数； （2）根据角平分线的定义求得角，然后在直角中，求得的度数，则即可求解． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴． （设计意图：强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，引导规范答题） 课堂练习：课本P92 随堂练习 参考答案：.1.∠ABD=29°.2.(1)三条高分别为AB，CB，BD;(2)三条高分别为BF,AD,CE. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图，在中，的角平分线交于点E，，．求的度数（温馨提示：用数字标角）．    【详解】解： ∵平分， ， ∴． ∵， ∴． ∴． （设计意图：强化考查了三角形内角和定理、角平分线的定义） 1．（2025.济宁校考）如图，是的高的线段是（    ）    A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【详解】解：由三角形的高的定义可知，选项C中的线段是的高， 故选：C． 2．（2025.淮安监测）如图，在中，，是边上的高，，，，求      【详解】解：在中，，是边上的高，，，， ，即：， 解得：． 3.（2025.宜宾统监）如图，在中，是边上的中线，的周长是．求的长．    【详解】解：∵的周长是为， ∴， 又∵是边上的中线， ∴． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：（1）三角形的高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段（三条高交于垂心）；锐角三角形：高在内部；直角三角形：两条高为直角边；钝角三角形：一条高在内部，两条在外部.（2）三角形的中线：连接顶点与对边中点的线段（三条中线交于重心）；中线将三角形分成面积相等的两部分.（3）三角形的角平分线：内角平分线与对边的交点与顶点之间的线段（三条角平分线交于内心）. 方法总结：（1）类比学习法：用学习高的方法学习中线和角平分线.（2）分类讨论思想：不同类型三角形中高的位置不同.（3）几何直观：通过折纸、画图等操作活动感知几何概念.（4）归纳思想：从多个三角形中归纳出“三条线段交于一点”的规律. 易错提醒：（1）高线混淆：钝角三角形的高不一定都在三角形内部，画高时需要延长对边.（2）中线与中垂线混淆：中线是连接顶点与对边中点，中垂线是垂直平分线段.（3）角平分线混淆：三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线.（4） 画图不规范：画高时忘记标垂直符号，画中线时未标中点.（5）交点名称混淆：垂心、重心、内心的对应关系. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题4..1第6、7、8题. 探究性作业：教材习题4.第13、14、15题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 4.1认识三角形（第3课时） 探究点1：三角形的高 探究点2：三角形的中线 探究点3：三角形的角平分线 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $