4.1认识三角形（第2课时 探索三角形三边的数量关系）（教学设计）数学新教材北师大版七年级下册

4.1认识三角形（第2课时: 探索三角形三边之间的数量关系）（教学设计） 1.教学内容 本节课为北师大版初中数学七年级下册第四章《三角形》第一节《认识三角形》第2课时探索三角形三边之间的数量关系.本节课主要内容包括：通过动手操作和观察比较，探索并掌握三角形三边之间的不等关系——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；能运用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形；能利用三角形三边关系解决简单的几何问题. 2.内容解析 本节课是“认识三角形”的第二课时，是在学生已经掌握三角形的基本概念、表示方法及内角和定理的基础上进行的.从知识体系看，本节课从“角”的角度转向“边”的角度，研究三角形三边之间的数量关系，完善了对三角形的整体认识.三角形三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，也是后续学习等腰三角形、不等边三角形、三角形的稳定性等知识的基础.从思想方法层面看，本节课集中体现了“归纳思想”——通过大量实例归纳出一般结论；“几何直观”——通过操作活动直观感知三边关系；“分类讨论思想”——在探究三边关系时需要对各种情况进行讨论；“转化思想”——将几何问题转化为代数问题（比较线段长度）.这些思想方法对培养学生的逻辑推理能力和空间观念具有重要意义. 基于以上分析，本节课的教学重点为：探索并掌握三角形三边关系定理及其推论. 1. 教学目标 (1)探索并掌握三角形三边关系定理——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；能运用三边关系判断三条线段能否构成三角形；能利用三边关系解决简单的几何问题（如求第三边的取值范围）. (2)经历“动手操作—观察发现—归纳猜想—验证结论”的完整探究过程，体会从特殊到一般的归纳思想；通过对比分析，理解“两边之差小于第三边”与“两边之和大于第三边”的等价性. (3)在小组合作探究中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过发现三角形三边关系的对称美，感受数学的内在和谐；在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心. 2.目标分析 目标1强调定理的准确理解和基本技能的掌握。学生需要能够准确表述三角形三边关系，并能运用定理判断三条线段能否构成三角形. 目标2侧重于过程体验和方法习得。通过操作探究，让学生亲历知识形成的过程，培养归纳推理能力；通过理解两个结论的等价性，培养逻辑思维. 目标3通过探究活动和小组合作，让学生在“做数学”中感受数学的趣味性和严谨性，培养科学探究精神. 学生已经学习了三角形的基本概念、内角和定理，对三角形有了初步的认识。同时，学生在小学阶段已经通过操作活动直观感知了“三角形两边之和大于第三边”，但可能停留在感性认识层面，缺乏理性的理解和系统的表述.在本节课的学习中，学生可能遇到以下困难：①对“任意”一词的理解不够深刻，容易忽略“任意”二字，只关注某两边之和大于第三边；②对“两边之差小于第三边”的推导和理解存在困难；③在判断三条线段能否构成三角形时，习惯于计算所有情况，缺乏优化意识（只需计算最短两边之和与最长边比较）；④在求第三边取值范围时，容易遗漏“两边之差小于第三边”这个条件.因此，教学中应注重通过大量的操作实例和正反例辨析，帮助学生深入理解三边关系的本质. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是:理解“三角形任意两边之差小于第三边”与“两边之和大于第三边”的内在联系，并能灵活运用三边关系解决实际问题. 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）三角形的内角之和等于多少度？如何说明这一结论是正确的？ （2）直角三角形两锐角之间有什么关系？ （3）三角形按角如何分类？ 引出课题：三角形按边如何分类？三角形三边之间的一条重要数量关系如何？今天我们就来探究三角形三边之间的数量关系。 （设计意图：建立新旧知识的联系，为新课做铺垫.） 探究点1：三角形分类——按边分 问题：观察下图4的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗? 这些三角形的三边有的各不相等，有的两边相等，有的三边都相等. 追问：观察每个三角形各自三边之间的关系，它们“是否有两边相等”？ 有，有两相等和三边互不相等. 追问2：有两边相等的三角形叫作什么三角形？ 等腰三角形. 追问3：等腰三角形的边和内角分别叫什么？ 如图，相等的边叫腰，另一边叫底；相等边所夹的角叫顶角，腰和底所夹的角叫底角. 追问4：将三角形按边分为两类，怎样分？ 三边各不相等的三角形，有两边相等的三角形. 追问5：三边都相等的三角形叫什么三角形？它和等腰三角形之间什么关系？ 三边都相等的三角形叫等边三角形，它是等腰三角形的特例. 归纳总结：回顾三角形的不同分类方法，每种方法分别选用了怎样的分类标准?在对其他对象进行分类时，你是如何选择不同标准的? 引导学生回顾本节对三角形进行分类的过程，体会分类标准对分类结果的影响，感悟分类思想。鼓励学生用日常生活中的例子，说明分类标准的确定性，以及分类标准不同分类结果就会不同. 探究点2：哪条路最近？ 问题呈现：如图，从Ｂ点到C点，可以走哪几条路线？哪条路线最短？为什么？ 学生回答：路线1：Ｂ→C（直接走）;路线2：B→Ａ→C（经过Ａ点）或B→Ｄ→C（经过Ｄ点） 根据“两点之间，线段最短”，路线Ｂ→C最短. 追问：在△ABC中，你能得到什么结论？ 学生发现：AB + AC > BC（折线长度大于线段长度） （设计意图：从学生熟悉的“两点之间线段最短”公理出发，自然引出三角形三边关系，建立新旧知识的联系，激发探究兴趣.） 探究3：发现三角形三边的关系 活动1——摆三角形（小组合作）： 提供长度分别为：① 3cm, 4cm, 5cm；② 3cm, 3cm, 5cm；③ 2cm, 3cm, 5cm；④ 2cm, 3cm, 6cm 的四组小棒 任务：尝试用每组小棒摆三角形，记录哪些能摆成，哪些不能摆成 组别 边长（cm） 能否摆成三角形 ① 3, 4, 5 能 ② 3, 3, 5 能 ③ 2, 3, 5 不能 ④ 2, 3, 6 不能 观察思考：能摆成三角形的三边，它们之间有什么关系？不能摆成三角形的三边，又有什么特征？ 小组讨论：学生尝试归纳发现. 教师引导：计算每组中较小两边之和与最大边进行比较. 组别 　　较小两边之和 与最大边比较 ① 　　　3+4=7 7 > 5 ② 　　　3+3=6 6 > 5 ③ 　　　2+3=5 5 = 5 ④ 　　　2+3=5 5 < 6 学生发现：当较小两边之和大于最大边时，能摆成三角形；当较小两边之和等于或小于最大边时，不能摆成三角形. （设计意图：通过动手操作和数据记录，让学生从具体实例中初步感知三角形三边的关系，为归纳定理提供感性材料.) 探究4：归纳定理——三角形三边关系 问题：是否只需验证较小两边之和大于最大边，就能保证任意两边之和都大于第三边？ 学生思考：如果a≤b≤c，且a+b>c，那么： a+c > b 一定成立（因为a+c ≥ a+b > c ≥ b，且a+c > b显然） b+c > a 一定成立（因为b+c ≥ a+b > c ≥ a，且b+c > a显然） 归纳定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边. 追问：“两边之差小于第三边”与“两边之和大于第三边”有什么关系？ 学生推导：由a+b>c可得a>c-b；由a+c>b可得a>b-c；由b+c>a可得b>a-c即三角形任意两边之差小于第三边，这两个结论是等价的. （设计意图：从感性操作上升到理性归纳，引导学生理解“任意”的含义和两个结论的等价性，培养逻辑推理能力.） 典型例题 例1：在△ABC中，AB=5cm，BC=8cm，求AC的取值范围. 【分析】根据三角形三边数量关系确定边AC的取值范围. 【详解】解：由三角形三边数量关系AB+BC > AC，即5+8 > AC，得AC < 13 BC-AB < AC，即8-5 < AC，得AC > 3，同理，AC+AB > BC，即AC+5 > 8，得AC > 3，所以3cm < AC < 13cm. 归纳：三角形第三边的取值范围——大于两边之差，小于两边之和. （设计意图：通过求第三边取值范围，深化对三边关系的理解，培养代数与几何的综合运用能力.） 例2.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?用长度为13cm的木棒呢? 【分析】根据三角形三边数量关系进行判断. 【详解】解：用长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形. 用长度为13 cm的木棒时，由于5+8-13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形. 例3：等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，求这个等腰三角形的周长. 【分析】根据三角形三边数量关系和等腰三角形定义分类讨论进行求解. 【详解】解：若腰长为4cm，则三边为4,4,9 → 4+4=8<9，不能构成三角形，舍去 若腰长为9cm，则三边为9,9,4 → 9+4=13>9，能构成三角形. 周长=9+9+4=22cm. （设计意图：通过等腰三角形的分类讨论，让学生体会三边关系在解题中的“检验”作用，培养严谨的解题习惯.） 课堂练习：课本P90随堂练习 参考答案：1.第三边的长不可能是8，因为另两边长度之和为8，所以第三边的长度必须小于8，而不可能等于8;第三边的长也不可能是2，因为另两边长度之差为2，所以第三边的长度必须大于2，而不能等于2. 2.c=4.提示:根据已知条件，c的长必须大于a与b之差而小于a与b之和，即必须大于2且小于6。因为c 是偶数，在2与6之间的偶数只能是4，所以c=4. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.四条线段的长分别为2cm, 3cm, 4cm, 5cm，从中任取三条，能构成三角形的概率是多少？ 【详解】从4条线段中选3条，共有4种选法： 2,3,4：2+3=5>4，能构成； 2,3,5：2+3=5=5，不能构成（退化三角形）；2,4,5：2+4=6>5，能构成； 3,4,5：3+4=7>5，能构成；能构成三角形的有3种，概率P=3/4. （设计意图：强化对三角形三边数量关系的综合应用） 1．（2025•连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、2+3＞4，能构成三角形，故本选项符合题意； C、3+5＝8，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、5+4＜10，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．(2025霍山监测)在中，．若是整数，求的长． 【详解】解：在中， ， 即， 又∵是整数， ∴． 3．（2025聊城校考）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)请用含m的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为米？为什么？ 【详解】（1）解：∵第二条边长为米， ∴米； ∴第三条边长为米； （2）解：不能， 因为当时，三边长分别为， 由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米. （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：（1）三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形分为只有二边相等的等腰三角形和等边三角形.（2)三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.（3）判断方法（优化）：只需计算较小两边之和，与最大边比较，第三边取值范围：|a-b| < c < a+b. 方法总结：(1)归纳思想：从具体实例中归纳出一般结论.(2)分类讨论思想：等腰三角形问题中需要对腰的情况进行分类.(3)转化思想：将几何问题转化为代数比较问题.(4)优化思想：判断三角形存在性时，只需验证一种情况. 易错提醒:(1)忽略“任意”：只验证某两边之和大于第三边，忽视其他情况（但只要验证了最小两边之和大于最大边，其他情况自动成立）.(2)分类遗漏：等腰三角形问题中，漏掉某种情况（如只考虑腰为4或只考虑腰为9）.(3)忘记检验：求出边长后忘记用三边关系检验是否构成三角形.(4)取值范围遗漏：求第三边范围时，只考虑“小于两边之和”，忽略“大于两边之差”. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题4.1第5、10、11题. 探究性作业：教材习题4.1第12题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 4.1认识三角形（第2课时） 探究点1：三角形分类——按边分 探究点2：哪条路最近？ 探究3：发现三角形三边的关系 探究4：归纳定理——三角形三边关系 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $