第2章 等式与不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

第二章 等式与不等式
第1讲 等式与不等式的性质

【知识梳理】
1.方程的解集
方程：含有未知数的等式.
方程的解：使得方程左右两边相等的未知数的值.
方程的解集：以方程的所有解为元素组成的集合.
2.韦达定理
若一元二次方程的两个根为、，则，.
3.两个实数的大小关系（常常转化为运算关系，是作差比较法的依据）

；；.
4.不等式的性质连接起来，就得到一个不等式.
（1）传递性
设、、均为实数，如果，且，那么.

（2）加法单调性
设、、均为实数，如果，那么.
（3）乘法单调性
设、、均为实数，如果，且，那么；
如果，且，那么.
5.常用不等式
定理对任意的实数、，总有，且等号当且仅当时成立

6.比较两个代数式值的大小
“作差法”的基本步骤：（1）作差并整理；（2）常用因式分解或配方（针对某个参数配方）；
（3）判断因式或各部分的符号；（4）利用不等式基本性质得出结论.
7.常用结论
（1）不等式的同向可加性：如果，，那么；
如果，，那么；

（2）不等式的倒数性质：如果，那么；
如果，，那么；
（3）不等式的同正同向的可乘性：如果，，那么；
（4）不等式的乘方性质：如果，那么（其中是正整数）；
（5）不等式的开方性质：如果，那么（其中是正整数）.

【典型例题】
【例1】已知关于的方程.
（1）当时，求此方程的解集；
（2）若该方程仅有两个实数根，且这两个实数根的平方和比这两个根的积大，求的值.

 

 

 

 

 

【例2】（1）以下四个命题中属于真命题的是___________________

（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）不等式与不等式等价.

（2）若，则下列结论中不正确的是（      ）
A.；       B.；        C.；       D..
（3）已知，问：是的什么条件？

 

 

【例3】（1）设，且，比较与的大小；
（2）比较与的大小.

 

 

 

 

【例4】设，，，，比较与的大小.

 

 

 

【备用题】（1）已知，，，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，，且，求证：或；
（4）已知，求证：.