数学（全国一卷01）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 1．【答案】C 【解析】由题可知， 所以． 故选：C. 2．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．5 2．【答案】C 【解析】因为，所以， 则，故. 故选：C. 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 3．【答案】C 【解析】因为，，， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：C. 4．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A． B． C．2 D． 4．【答案】A 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 因为直线，整理得，其斜率为， 因为两直线垂直，所以，即， 又因为，代入，得，所以, 故离心率. 故选：A. 5．若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（   ） A．1 B．   C． D． 5．【答案】D 【解析】令，得， 所以函数的对称中心为， 又函数的对称中心为， 函数的对称中心与函数的对称中心重合， 所以，即， 故选：D. 6．（新情境）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 6．【答案】B 【解析】由题意得，即，化简得，解得， 代入得，当时，得， 化简得，两边取对数得，解得. 故选：B. 7．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 7．【答案】D 【解析】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D. 8．（改编题）已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ） A． B．e C． D．2e 8．【答案】B 【解析】由题意可知的定义域为， 由条件可得， 所以. 设 ， 则在上单调递增. 求导得 ， 则在上恒成立，所以，即恒成立， 易知在上单调递增，故只需，即在时恒成立即可. 设，则，可知在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即的最大值为e. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄众数的估计值为40 C．该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D．该场观众年龄平均数的估计值为35 9．【答案】AC 【解析】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间的观众频率最大， 故该场观众年龄众数的估计值为，B错误； C选项，由于，， 故该场观众年龄50%分位数处于中，设为， 则，解得， 所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确； D选项，该场观众年龄平均数的估计值为 ，D错误. 故选：AC. 10．（新考法）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．【答案】AB 【解析】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 11．【答案】BCD 【解析】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以 . 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式的第4项的系数是___________． 12．【答案】 【解析】展开式的通项为， 则， 故展开式的第4项的系数是. 故答案为：. 13．已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 13．【答案】 【解析】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 故答案为：. 14．某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为__________元． 14．【答案】 【解析】解法一：当相邻卡片上的数字都不同时，如6868，有，则； 当相邻卡片的数字只有一对相同时，如6886，有，则； 当相邻卡片的数字只有两对相同时，如6688，有，则， 故所求期望． 解法二：两个6和两个8四张卡片，共有6种排法， 其中相邻卡片上的数字都不相同的排法有2种， 相邻卡片上数字只有一对相同的排法有2种， 相邻卡片上数字有两对相同的排法有2种， 可得， 故所求期望． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 (1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 15．（13分） 【解析】（1）抽取的10人中，男孩有6人，女孩有4人， 故至少有1人是女孩的概率为． （2）零假设：是否喜欢豪车模型与性别无关， 则 故不能拒绝零假设，即根据的独立性检验，不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 16．（15分） 在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 16．（15分） 【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得， 解得， 所以． （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 从而， 所以 ． 17．（15分） 如图，在正四棱台中，为的中点，. (1)证明：； (2)平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分） 【解析】（1）由题意知四边形为正方形，则， 将正四棱台还原为正四棱锥， 如图，作出符合题意的图形， 则平面，又平面，得到， 因为，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，即. （2）利用平面把棱台分成三棱锥和几何体， 设，由题意得， . 因为， 所以，，故. （3）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，可得， 取，则，，得到， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求面积的最大值； (3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 【解析】（1）由椭圆的左右顶点可知， 设，则， 化简可得，则， ， 所以， 则椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为， ，将直线和椭圆方程联立， 代入可得， 由韦达定理可知， 则， 而， 代入可得， 根据点到直线距离公式， 所以， 令则，所以， 函数在上单调递增， 所以即时，， 此时的面积最大，最大值为； （3）假设存在使得，分别求出， 因为在直线上， 所以， 故， 化简可得， 由（2）知， 则，所以可得， 整理化简可得， 要对任意的都成立，需系数满足， 解得，故存在，使得. 19．（17分） 已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． 19．（17分） 【解析】（1）当时，，求导得， 切线与轴平行，即切线斜率为0，故． 由，得，又， 故点的坐标为． （2）要证对任意且，都有， 等价于证， 令，只需证在上单调递增， 求导得， 令，， 又，则，在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，又， ，因此在上单调递增，原不等式得证． （3），求导得， 令，得，又， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故在处取得极小值，， 当，， 当时，，从而，结合在上单调递减， 可知当时，恒有，故在上无零点； 当时，，又且在上单调递增， 由零点存在定理及单调性知，在上存在唯一的零点， 综上，当，有且只有一个零点. 由于在上单调递增，且，要证， 只需证，      ， 因为，所以，从而，故， 又，所以，从而，得证. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C A D B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AB BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）抽取的10人中，男孩有6人，女孩有4人， 故至少有1人是女孩的概率为．（5分） （2）零假设：是否喜欢豪车模型与性别无关， 则（10分） 故不能拒绝零假设，即根据的独立性检验，不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，（2分） 解得， 所以．（5分） （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以．（8分） 从而， 所以 ．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意知四边形为正方形，则， 将正四棱台还原为正四棱锥， 如图，作出符合题意的图形， 则平面，又平面，得到， 因为，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，即.（4分） （2）利用平面把棱台分成三棱锥和几何体， 设，由题意得， .（7分） 因为， 所以，，故.（9分） （3）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，可得， 取，则，，得到，（11分） 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，可得，（13分） 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由椭圆的左右顶点可知， 设，则， 化简可得，则， ， 所以， 则椭圆的标准方程为；（3分） （2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为， ，将直线和椭圆方程联立， 代入可得， 由韦达定理可知，（5分） 则， 而， 代入可得， 根据点到直线距离公式， 所以， 令则，所以， 函数在上单调递增， 所以即时，， 此时的面积最大，最大值为；（8分） （3）假设存在使得，分别求出， 因为在直线上， 所以， 故， 化简可得， 由（2）知， 则，所以可得，（13分） 整理化简可得， 要对任意的都成立，需系数满足， 解得，故存在，使得.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，，求导得， 切线与轴平行，即切线斜率为0，故． 由，得，又， 故点的坐标为．（3分） （2）要证对任意且，都有， 等价于证， 令，只需证在上单调递增， 求导得， 令，，（5分） 又，则，在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，又， ，因此在上单调递增，原不等式得证．（8分） （3），求导得， 令，得，又， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故在处取得极小值，， 当，， 当时，，从而，结合在上单调递减， 可知当时，恒有，故在上无零点； 当时，，又且在上单调递增，（13分） 由零点存在定理及单调性知，在上存在唯一的零点， 综上，当，有且只有一个零点. 由于在上单调递增，且，要证， 只需证，（15分）      ， 因为，所以，从而，故， 又，所以，从而，得证.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $null………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．5 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 4．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A． B． C．2 D． 5．若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（   ） A．1 B．   C． D． 6．（新情境）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 7．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 8．（改编题）已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ） A． B．e C． D．2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B． B．该场观众年龄众数的估计值为40 C． 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D． D．该场观众年龄平均数的估计值为35 10．（新考法）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式的第4项的系数是___________． 13．已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 14．某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为__________元． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 (1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 17．（15分） 如图，在正四棱台中，为的中点，. (1)证明：； (2)平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求面积的最大值； (3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．5 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 4．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A． B． C．2 D． 5．若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（   ） A．1 B．   C． D． 6．（新情境）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 7．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 8．（改编题）已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ） A． B．e C． D．2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B． B．该场观众年龄众数的估计值为40 C． 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D． D．该场观众年龄平均数的估计值为35 10．（新考法）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式的第4项的系数是___________． 13．已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 14．某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为__________元． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 (1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 17．（15分） 如图，在正四棱台中，为的中点，. (1)证明：； (2)平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求面积的最大值； (3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． / 学科网（北京）股份有限公司 $