数学（全国二卷04）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 1．【答案】C 【解析】， 则集合的元素个数为6. 故选：C. 2．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．【答案】B 【解析】由，得， 所以复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 3．【答案】C 【解析】已知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由， 该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7. 故选：C. 4．已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．【答案】B 【解析】由题意可知，，，所以，，即，. 又，所以，，所以，. 因为，所以当时，取得最小值：. 故选：B. 5．已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 5．【答案】B 【解析】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则， 又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 6．（新情境）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】B 【解析】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B. 7．已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 7．【答案】B 【解析】抛物线，直线与交于两点（点在第一象限）， 联立，解得或； 所以， 又抛物线的准线为， 则直线与的准线交于点， 则. 故选：B. 8．（改编题）已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】由题意，，则， 则圆锥母线，底面半径，高， 圆锥内能放入的最大球即为圆锥的内切球，且其半径为，轴截面如图所示， ，得， 则，而， 设水面高度为，则，得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一个不透明的箱子中有3个白球4个黑球，每次从中随机抽取一个球，不放回连续抽取两次，记事件：第二次取到的球是黑球，事件：两次取到的球颜色相同，事件：两次取到的球颜色不相同，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．【答案】BC 【解析】依题意，，，A错误，B正确； ，则，C正确； ，，D错误. 故选：BC. 10．若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（   ） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值是4050 10．【答案】ABD 【解析】因为，所以， 所以，又， 所以，所以，A对， 由，，可知单调递增， 又，所以， 所以，B对， 当时，，当时，， 所以最小，故C错， 因为为正项递增数列，且， 所以使成立的最小正整数的值是4050，D对， 故选：ABD. 11．已知函数．则下列说法中正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时， C．当时，有一个零点 D．最多有两个不同的零点 11．【答案】ACD 【解析】对于A，，，令， 则在上单调递增，故A正确； 对于B，，因，则. 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，故B错误； 对于C，，令，得或. 若，则 在R上单调递增，又， ，则有R上有唯一零点；若， 则，， 则在上单调递增，在上单调递减. 则极大值为， 极小值为，又，则此时只有1个零点； 若，由以上分析，类似可得 在上单调递增，在上单调递减， 则极小值为， 极大值为，又，则此时只有1个零点； 综上，当时，只有一个零点，故C正确； 对于D，由C分析，当时，只有一个零点.当，易得只有一个零点. 当，由B分析可知，， 又注意到，， 则，使， 故时，有2个零点.则最多有两个不同的零点，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则__________. 12．【答案】 【解析】因为随机变量，且， 所以， 则. 故答案为：. 13．已知，则___________． 13．【答案】 【解析】因为 ， 所以， 则. 故答案为：. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为__________. 14．【答案】 【解析】 因为，所以， 所以，即. 因为，，所以 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得. 因为，所以， 即，解得，所以. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，，求的面积． 15．（13分） 【解析】（1）由，得， 代入条件得：， 即， 则，即， 因为，则， 所以，则． （2）由余弦定理得， 代入，可得， 整理得，解得（舍去负根）， 因此，的面积为． 16．（15分） 如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，，且，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求平面与平面的夹角. 16．（15分） 【解析】（1） 设，连，则， 又为线段的中点，所以， 又，，，即， 故，所以四边形为平行四边形， 故，而平面，平面，故平面. （2）延长交于，则为的中点，连，， 由，，故，故， 而为的中点，故， 由（1）知，故， 故四边形为平行四边形，所以， 因为，，， 平面， 所以平面，又平面，所以平面平面 又平面平面，，平面， 所以平面，又，所以平面. 而平面，故，由正方形可得， 而平面，故平面. 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的法向量 ，则即， 不妨令，则，即. 故平面的法向量， 设两平面所成的角为，则， 故，所以. 则平面与平面的夹角为. 17．（15分） 已知点分别为椭圆：的左、右顶点，且，的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求弦长； (3)若直线：与椭圆C交于两点，设直线，的斜率分别为，且，求的值. 17．（15分） 【解析】（1）由题意可得，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：. （2）由（1）左顶点 ，直线​倾斜角为，斜率， 故直线方程为 ， 联立椭圆方程消去得： ， 又，由韦达定理，得， 由弦长公式得： ； （3）如图，作出符合题意的图形， 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程，消去可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：， 即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立， 则，解得. 18．（17分） 已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）由得， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； （2）当时，不等式可化为， 变形为即， 同构函数，求导得， 所以在上是增函数. 所以原不等式可化为， 根据单调性可得:， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的， 所以的最小值为； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得: 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故，又由且可得， 而， 令， 则， 因为所以，即， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数的取值范围. 19．（17分） （新情境）2026年马年春晚《武》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． (1)当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望； (2)设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 19．（17分） 【解析】（1）当时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为， ， , 所以X的分布列为： 2 3 0.52 0.48 ； （2）①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为， 由题可知为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：或， 所以， 为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：或或， ， 所以， 所以时，局胜制对机器人更有利. ②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大. 证明如下： 由①可知，， 下面讨论局与前局的递推关系： （i)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为，即. （ii)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为，即. （iii）若前局中机器人至少赢了局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 其获胜概率为. ， ， ，，即 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C B B B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由，得， 代入条件得：， 即，（2分） 则，即， 因为，则， 所以，则．（5分） （2）由余弦定理得， 代入，可得，（8分） 整理得，解得（舍去负根）， 因此，的面积为．（13分） 16．（15分） 【解析】（1） 设，连，则， 又为线段的中点，所以， 又，，，即，（2分） 故，所以四边形为平行四边形， 故，而平面，平面，故平面.（5分） （2）延长交于，则为的中点，连，， 由，，故，故， 而为的中点，故， 由（1）知，故， 故四边形为平行四边形，所以， 因为，，， 平面， 所以平面，又平面，所以平面平面 又平面平面，，平面， 所以平面，又，所以平面. 而平面，故，由正方形可得， 而平面，故平面. 如图，建立空间直角坐标系，（10分） 则，，，， ，， 设平面的法向量 ，则即， 不妨令，则，即. 故平面的法向量，（13分） 设两平面所成的角为，则， 故，所以. 则平面与平面的夹角为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意可得，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：.（4分） （2）由（1）左顶点 ，直线​倾斜角为，斜率， 故直线方程为 ， 联立椭圆方程消去得： ， 又，由韦达定理，得，（7分） 由弦长公式得： ；（9分） （3）如图，作出符合题意的图形， 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程，消去可得. 则，，（11分） 根据，可得，即， 整理得：， 即， 可得：，（13分） 因为，为常数，则不恒成立， 则，解得.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由得， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；（3分） （2）当时，不等式可化为， 变形为即， 同构函数，求导得， 所以在上是增函数. 所以原不等式可化为， 根据单调性可得:， 再构造，则，（5分） 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的， 所以的最小值为；（8分） （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得: 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故，又由且可得， 而，（13分） 令， 则， 因为所以，即， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数的取值范围.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为， ， , 所以X的分布列为： 2 3 0.52 0.48 ；（3分） （2）①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为， 由题可知为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：或， 所以， 为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：或或，（5分） ， 所以， 所以时，局胜制对机器人更有利.（8分） ②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大. 证明如下： 由①可知，， 下面讨论局与前局的递推关系： （i)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为，即.（11分） （ii)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为，即.（13分） （iii）若前局中机器人至少赢了局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 其获胜概率为. ， ， ，，即（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $null………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 2．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 4．已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 6．（新情境）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 8．（改编题）已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一个不透明的箱子中有3个白球4个黑球，每次从中随机抽取一个球，不放回连续抽取两次，记事件：第二次取到的球是黑球，事件：两次取到的球颜色相同，事件：两次取到的球颜色不相同，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（   ） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值是4050 11．已知函数．则下列说法中正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时， C．当时，有一个零点 D．最多有两个不同的零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则__________. 13．已知，则___________． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，，求的面积． 16．（15分） 如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，，且，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求平面与平面的夹角. 17．（15分） 已知点分别为椭圆：的左、右顶点，且，的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求弦长； (3)若直线：与椭圆C交于两点，设直线，的斜率分别为，且，求的值. 18．（17分） 已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数的取值范围． 19．（17分） （新情境）2026年马年春晚《武》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． (1)当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望； (2)设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 2．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 4．已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 6．（新情境）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 8．（改编题）已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一个不透明的箱子中有3个白球4个黑球，每次从中随机抽取一个球，不放回连续抽取两次，记事件：第二次取到的球是黑球，事件：两次取到的球颜色相同，事件：两次取到的球颜色不相同，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（   ） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值是4050 11．已知函数．则下列说法中正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时， C．当时，有一个零点 D．最多有两个不同的零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则__________. 13．已知，则___________． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，，求的面积． 16．（15分） 如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，，且，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求平面与平面的夹角. 17．（15分） 已知点分别为椭圆：的左、右顶点，且，的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求弦长； (3)若直线：与椭圆C交于两点，设直线，的斜率分别为，且，求的值. 18．（17分） 已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数的取值范围． 19．（17分） （新情境）2026年马年春晚《武》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． (1)当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望； (2)设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． / 学科网（北京）股份有限公司 $