精品解析：2026年山东省青岛市西海岸新区中考一模九年级数学试题

九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 石墨烯是一种由单层碳原子构成的二维材料，其理论厚度仅为，是目前已知最薄的材料之一．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是 B. 该组数据的平均数是 C. 该组数据的方差是 D. 若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 8. 如图，是的内切圆，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 因式分解=______． 11. 若点，都在函数的图象上，则____________（填“”，“”或“”）． 12. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为________． 13. 如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为____________． 14. 如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________． 15. 已知抛物线（，，是常数，且）过和两点，且，下列四个结论中：①；②；③若关于的方程有实数根，则；④若抛物线过点，则．其中正确的结论是____________． 三、作图题（本题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 16. 已知：如图，，分别是两边，上的点，连接．求作：，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 化简和解不等式组： （1） （2）． 18. 《出圉图》现藏于故宫博物院，为元代画家任仁发精心创作．此图以唐代为灵感源泉，将历史与艺术完美融合．2026年3月3日，中国邮政发行了《出圉图》特种邮票，一套三枚（如图，分别记为A，B，C）．将这三枚邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取一张，则抽取的邮票恰好是C的概率为            ； （2）从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 19. 为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，小明想测量斜坡上树的高度，测得树根部E到坡脚B的距离为5米，斜坡的坡度为，小明在距离B点1米远的D处测得树顶点F的仰角为，树，斜坡的剖面，点D在同一平面上，树与地面垂直，求树的高度．（结果精确到米．）（参考数据：，，） 20. “七秩问天路 携手探九霄”，2026年恰逢中国航天事业创建70周年．某校为了解学生对 “航空航天知识” 的掌握情况，举行了航空航天知识竞赛，竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．学校随机抽取部分学生的成绩（用表示），分为四组：A组，B组，C组，D组，进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：96，87，83，78，94，68，88，89，87，97，81，93，82，72，80 八年级：81，75，80，93，91，65，89，95，97，94，86，69，92，89，79 【整理数据】 七年级 1 2 4 八年级 2 2 5 6 【描述数据】 【分析数据】 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 87 八年级 85 89 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是            ； （3）填空：            ；            ； （4）该校有300名七年级的学生和330名八年级的学生参加此次竞赛，请估计所有参赛学生中不低于80分的人数． 21. 科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元． （1）求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？ （2）该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？ 22. 【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”． 【理解新定义】 （1）如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____． 【应用新定义】 （2）如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____． 【拓展新定义】 （3）如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____． 23. 如图，在中，E，F分别是，的中点，，交的延长线于点M． （1）求证：； （2）已知            （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：平分； 条件②：． 24. 某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点正上方米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球与原点的水平距离． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米） （3）鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？ 25. 如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值； （3）是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 石墨烯是一种由单层碳原子构成的二维材料，其理论厚度仅为，是目前已知最薄的材料之一．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法形式为，要求满足，为负整数，等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：． 4. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形完全相同的几何体即可． 【详解】解：A．四棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误； B．圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； C．圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； D．球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，掌握三视图都相同的常见的几何体有球和正方体是解答本题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴A计算正确． ∵不是同类项，无法合并， ∴B计算错误． ∵， ∴C计算错误． ∵， ∴D计算错误． 6. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为人，银两为两，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设客人为人，银两为两， 根据题意得， 故选：． 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是 B. 该组数据的平均数是 C. 该组数据的方差是 D. 若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 8. 如图，是的内切圆，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，，然后利用解直角三角形求得点坐标，接着求出第1次旋转后，第2次旋转后，第3次旋转后，第4次旋转后，发现 4次为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵边长为2的正六边形的中心与原点重合， ，； ， 是等边三角形， ， ∵， ， ∵轴，， ∴， ，， ； ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第1次旋转，得，第2次旋转，得，第3次旋转，得，第4次旋转，得， 4次为一个循环， ， ∴第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标与相同， 即为． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 11. 若点，都在函数的图象上，则____________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，图象过第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，再结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵，其中， ∴图象过第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点，的横坐标均为正，两点都位于第四象限，且， ． 12. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，利用三角板的特征求得的度数，再根据平行线的性质，即可解答，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：如图，∵一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，进而可得是等边三角形，，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与半圆相切于点， ∴ ， ， ∵ ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴的长为 14. 如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论：当时，当时，分别利用矩形的性质和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图1，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， ，，三点共线， ，， ， ， 解得， ；    如图2，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， 四边形是正方形， ；    综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 15. 已知抛物线（，，是常数，且）过和两点，且，下列四个结论中：①；②；③若关于的方程有实数根，则；④若抛物线过点，则．其中正确的结论是____________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，逐一判断各结论即可． 【详解】解： 抛物线过和两点，， 抛物线对称轴为直线， ， ，即对称轴， ， ， 抛物线开口向下，与轴交点为和，在两根之间， 时，， ，故①错误． 将代入得：，即， 在两根之间，开口向下， 时，， 将代入得：， ，故②正确． 抛物线可写为交点式， 方程可化为， 方程有实数根， ， 整理得：，即， ， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得，故③错误． 抛物线过，代入得：， 联立，两式相加得，即， 由根与系数的关系，两根之积， ， ， ， 整理得， ，解得且， ∴，故④正确． 故正确的结论是②④． 三、作图题（本题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 16. 已知：如图，，分别是两边，上的点，连接．求作：，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作即可． 【详解】解：先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作． 则即为所求． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 化简和解不等式组： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式组的解法步骤求解即可； （2）根据分式的混合运算求解即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解集为． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 《出圉图》现藏于故宫博物院，为元代画家任仁发精心创作．此图以唐代为灵感源泉，将历史与艺术完美融合．2026年3月3日，中国邮政发行了《出圉图》特种邮票，一套三枚（如图，分别记为A，B，C）．将这三枚邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取一张，则抽取的邮票恰好是C的概率为            ； （2）从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意，列出表格，可得共有6种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是和的有2种结果，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，从中随机抽取一张，则抽取的邮票恰好是C的概率为 【小问2详解】 解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是和的有2种结果． ∴ 抽到的两张邮票恰好是A和B的概率为． 19. 为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，小明想测量斜坡上树的高度，测得树根部E到坡脚B的距离为5米，斜坡的坡度为，小明在距离B点1米远的D处测得树顶点F的仰角为，树，斜坡的剖面，点D在同一平面上，树与地面垂直，求树的高度．（结果精确到米．）（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】延长交于点，则，根据，，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：延长交于点，则， 在中，， ∴ 设 由勾股定理得，，即 解得（舍） ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ 答：树的高度为米． 20. “七秩问天路 携手探九霄”，2026年恰逢中国航天事业创建70周年．某校为了解学生对 “航空航天知识” 的掌握情况，举行了航空航天知识竞赛，竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．学校随机抽取部分学生的成绩（用表示），分为四组：A组，B组，C组，D组，进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：96，87，83，78，94，68，88，89，87，97，81，93，82，72，80 八年级：81，75，80，93，91，65，89，95，97，94，86，69，92，89，79 【整理数据】 七年级 1 2 4 八年级 2 2 5 6 【描述数据】 【分析数据】 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 87 八年级 85 89 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是            ； （3）填空：            ；            ； （4）该校有300名七年级的学生和330名八年级的学生参加此次竞赛，请估计所有参赛学生中不低于80分的人数． 【答案】（1），见解析 （2） （3）， （4）482人 【解析】 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，确定，再补全频数分布直方图即可； （2）根据圆心角的计算方法求解即可； （3）根据众数，中位数的定义求解即可； （4）利用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得本次随机抽样的样本容量为15，且频数之和等于样本容量， 故，补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：根据题意，得． 【小问3详解】 解：根据题意，96，87，83，78，94，68，88，89，87，97，81，93，82，72，80中，87分出现的次数最多，故七年级成绩的众数为分； 数据81，75，80，93，91，65，89，95，97，94，86，69，92，89，79排序如下： ， 根据题意，中位数是第8个数据，故（分）． 【小问4详解】 解：根据题意，得（人）， 答：所有参赛学生中不低于80分的有482人． 21. 科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元． （1）求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？ （2）该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？ 【答案】（1）型激光雷达传感器的单价是600元，型激光雷达传感器的单价是1000元 （2）购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个，总费用最少，总费用最少是18000元． 【解析】 【分析】（1）设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元，根据“用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等”，列分式方程求解即可； （2）设购进型激光雷达传感器个，根据“购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍”列不等式求出m的取值范围，设总费用为元，求出w关于m的一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解即可。 【小问1详解】 解：设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元． 由题意得 解得 经检验，是原方程的解 （元） ∴型激光雷达传感器的单价是元，型激光雷达传感器的单价是元． 【小问2详解】 解：设购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个． 由题意得 解得 设总费用为元 ∵ ∴随的增大而减小 ∵ ∴当时，取得最小值，最小值为元 （个） ∴购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个时，总费用最少． 总费用最少是元． 22. 【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”． 【理解新定义】 （1）如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____． 【应用新定义】 （2）如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____． 【拓展新定义】 （3）如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____． 【答案】（1）与（答案不唯一） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据“镜移三角形”的定义判断即可； （2）根据“镜移三角形”的定义和相似三角形的性质可得的面积； （3）两个三角形可以通过平移重合，首先两个三角形要是全等三角形，其次要两个三角形对应边平行且方向相同或者在一条直线上，或者是两个三角形对应点的连线平行且相等，据此即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，作与关于成轴对称，连接，连接交于点， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ， ∵，， ，， ， ∴点为中点，点为中点， ∵，点D是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：，， ∴，且对应点的连线互相平行且相等，即，， ∴将沿着方向平移的长度即可与重合， ∴与是一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”． 【小问2详解】 解：∵与互为“镜移三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接， ∵F是的中点，，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴与关于对称， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，、在同一条直线上， ∴与全等，且对应边平行且方向一致， ∴沿着方向平移4即可与重合， ∴与是以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”， ∵四边形是正方形， ∴， ∴与的其他“镜移轴”都与平行，即与的“镜移轴”与直线所夹的锐角为， 取的中点，作交于， ∴即为与过的中点的“镜移轴” 过作交于点，过作交延长线于， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴关于对称， 同理：关于对称， ∴作与关于对称，点、点在直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴与全等，且对应边平行方向相同或者在同一条直线上， ∴沿着方向平移的长度即可与重合， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 综上：与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为，若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为． 23. 如图，在中，E，F分别是，的中点，，交的延长线于点M． （1）求证：； （2）已知            （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：平分； 条件②：． 【答案】（1）见解析 （2）选择条件①或②，四边形是矩形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）选择①，先证明四边形、是平行四边形，根据平行四边形的性质、等角对等边等可得到，即可得出结论；选择②，先证明四边形、是平行四边形，再推出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∵是的中点 ∴ ∴ 【小问2详解】 若选择条件①，四边形是矩形 由（1）可知， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是的中点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 若选择条件②，四边形是矩形 由（1）可知， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是的中点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 24. 某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点正上方米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球与原点的水平距离． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米） （3）鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？ 【答案】（1） （2）球离球网顶端的高度差为米 （3）的最小值是2米 【解析】 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求得，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入可得， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意，把代入得， ， ， ∴球离球网顶端的高度差为米． 【小问3详解】 解：由题意，把代入得，， 解得，（舍去）， （米）， ∴的最小值是米． 25. 如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值； （3）是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），当时，四边形的面积最小，最小值为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，结合旋转的性质，得到，用t表示两条线段的长，建立等式求解即可； （2）证明，得到，表示，利用二次函数的最值解答即可； （3）证明，得到，整理得到一元二次方程，求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴当时， ∴ ∴ 即 解得 ； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即， ∴， ∴ ， ， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为． 【小问3详解】 解：假设存在合题意的，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，延长交于点 ∵，， ∴ ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴ 即， 解得，(舍) ∴当时，线段经过点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $