精品解析：2025山东省青岛市城阳第六中学中考数学第一次模拟试卷

2025青岛市城阳第六中学数学第一次模拟试卷 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，（），其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算的结果是___________． 12. 甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队员组成．其中两队队员的平均身高为，身高的方差分别为，．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是________．（填“甲队”或“乙队”） 13. 一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最大是 ___________． 14. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____． 15. 如图，是矩形的对角线上一点，于点，于点，连接，则的最小值为___________． 16. 如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是________． 17. 已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 三、解答题（共9小题，满分68分） 18. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：． 19. 2023年2月6日土耳其发生7.8级地震，牵动世界各国人民的心！为进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，现随机抽取部分学生的测试成绩（单位：分）整理成，，，四个等级，绘制成如下频数分布表和扇形统计图： 被抽取学生的测试成绩的频数表 等级 成绩/分 频数/人 各组总分/分 10 650 1050 21 1785 5 455 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，_____________； （2）此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在____________等级，求此次被抽取学生的测试成绩的平均数； （3）如果90分以上（含90分）为优秀，请估计全校2000名学生中此次测试成绩优秀的学生人数． 20. 恰逢学校20周年校庆，某项参观活动需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率． 21. 如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与．若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点间的距离为，求点到地面的距离．（结果保留一位小数参考数据：，，） 22. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 23. 如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 24. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ （3）水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 26. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；交于点E，于点F，于点G．设运动时间为，解答下列问题： （1）是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． （2）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值； （3）如图②，点是点P关于的对称点，连接，，求t为何值时，点，C，D在同一条直线上？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025青岛市城阳第六中学数学第一次模拟试卷 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可得到答案． 根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 4. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果． 【详解】7358万， 故选：A． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 观察图像可知： 故选：C． 6. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小． 【详解】由图可得,∠CDE=40° ,∠C=90°， ∴∠CED=50°， 又∵DE∥AF， ∴∠CAF=50°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAF=60°−50°=10°， 故选A. 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法法则即可逐一判断． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查里合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法法则，解答本题的关键是掌握基本的运算法则． 8. 如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 切，于点M，N， ， 又五边形的内角和为， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式． 9. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出，，判定是的中位线，推出，求出，即可得到答案； 解法二：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法三：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解法二：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法三：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，（），其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据抛物线对称轴为直线，且经过点，即可得出，根据图象可得，，即可判断①，根据和关于对称轴对称，得出，即可判断③，根据，代入，即可判断④，根据抛物线与轴有两个交点，得出，即可判断②，根据当时，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ， ， 根据图象可得，， ∴，故①正确， ∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③错误， ， ∴，故④错误， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，，故②正确， 当时，， 当时，， ∴， ∴， 即，（），故⑤正确， 故正确的有3个， 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队员组成．其中两队队员的平均身高为，身高的方差分别为，．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是________．（填“甲队”或“乙队”） 【答案】乙队 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴应该选乙队参赛； 故答案为：乙队 【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定;反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最大是 ___________． 【答案】53 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是解题的关键．分别求出最右边的正方体、最上边的正方体、左下角的正方体所能看到的数字之和最大的情况即可． 【详解】解：要使几何体能看得到的面上数字之和最大， 最右边的那个正方体所能看到的4个数字为3，4，5，6，和为18； 最上边的那个正方体所能看到的6个数字为2，3，4，5，6，和为20； 左下角的那个正方体所能看到的3个数字为4，5，6，和为15； 所以这个几何体能看得到的面上数字之和最大为：， 故答案为：53． 14. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键． 15. 如图，是矩形的对角线上一点，于点，于点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为． 故答案为：． 16. 如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解． 【详解】解：依题意，设，则， 则 ∴ ∵，二次函数图象开口向下，有最大值， ∴当时面积的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 17. 已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． 【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 理由：平分 到和的距离相等 垂直平分 是半径 即为的弦． 故即为所求． 三、解答题（共9小题，满分68分） 18. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：． 【答案】（1），当时，；（2）； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值和解一元一次不等式组．掌握分式的混合运算法则和求不等式组解集的口诀是解题关键． （1）根据分式的混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可； （2）分别解出每一个不等式，再根据求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求出解集即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 故原不等式组的解集为． 19. 2023年2月6日土耳其发生7.8级地震，牵动世界各国人民的心！为进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，现随机抽取部分学生的测试成绩（单位：分）整理成，，，四个等级，绘制成如下频数分布表和扇形统计图： 被抽取学生的测试成绩的频数表 等级 成绩/分 频数/人 各组总分/分 10 650 1050 21 1785 5 455 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，_____________； （2）此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在____________等级，求此次被抽取学生的测试成绩的平均数； （3）如果90分以上（含90分）为优秀，请估计全校2000名学生中此次测试成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）20，14 （2）（或）；78.8分 （3）200人 【解析】 【分析】（1）结合扇形统计图与频数表，找到对应的量用频数÷百分比即可算出总数，然后再计算即可； （2）根据中位数的概念，把数据从小到大排列，如果数据个数是偶数个，则排在中间的两个数的平均数即为中位数，然后利用平均数公式计算平均数即可； （3）先利用样本数据估算总的优秀率，再计算全校的优秀人数． 【小问1详解】 解：总人数：（人） 等级所占百分比为： （人） ∴， 【小问2详解】 解：将成绩从小到大排列，可知总共有50个数据，则中位数为第25、26个数据的平均数； ∵等级有10人，等级有14人， ∴中位数落在等级； 平均分为：（分） 此次被抽取学生的测试成绩的平均数为78.8分 【小问3详解】 解：（人）. 答：估计全校2000名学生中成绩优秀的学生人数有200人 【点睛】本题主要考查频数分布表和扇形统计图，熟练掌握中位数以及平均数的计算，频数频率的计算以及扇形统计图的计算是解决本题的关键． 20. 恰逢学校20周年校庆，某项参观活动需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种， ∴则A，B两名志愿者被选中的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与．若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点间的距离为，求点到地面的距离．（结果保留一位小数参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为 【解析】 【分析】过点作于点，过点作垂直的延长线于点，设，则，，由解之求得的长，再由根据点E到地面的距离为可得答案． 【详解】解：过点作于点，过点作垂直的延长线于点． 设，则，． 由知， 解得． ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 22. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4；（2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． 【小问2详解】 过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 24. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元 （2）该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据再次购买的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元； 【小问2详解】 解：设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据题意得： ， 解得：， 设总利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w最a的增大而增大， ∴当时，w有最大值， 此时，， 答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 25. 如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ （3）水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 【答案】（1） （2）米 （3）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键． （1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为．故设该二次函数的解析式为：，再结合经过原点，求出a即可得解； （2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：，从而可得当时，，进而可以判断得解； （3）依据题意，可得，B的坐标为，再设的解析式为，建立方程组可得k，b进 而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意得：二次函数的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为： 二次函数经过原点， 解得： 该二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解： 当时， 答：护栏的最大高度为米． 【小问3详解】 解：点的坐标为，点的坐标为 设的解析式为 解得： 解得：（不合题意，舍去）， 当时， 答：河水降至离路面距离米时，水柱刚好落在水面上． 26. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；交于点E，于点F，于点G．设运动时间为，解答下列问题： （1）是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． （2）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值； （3）如图②，点是点P关于的对称点，连接，，求t为何值时，点，C，D在同一条直线上？ 【答案】（1）存在，时，点P在的垂直平分线上 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，根据线段垂直平分线的性质得：，由菱形的性质得，最后由勾股定理即可解答； （2）证明得，求出，证明得，求出，然后根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求出最大值； （3）如图3，延长交于K，由'求出，从而．证明，利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴，，， ∴， 解得：， 答：存在，时，点P在的垂直平分线上． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，S随t的增大而增大， ∴当时，； 【小问3详解】 解：如图，当点，C，D在同一条直线上时，延长交于点K，则四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 由（2）知，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的面积，二次函数的最值等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $