专题06概率初步期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题06概率初步期中复习讲义 期中复习◆重点 1.事件分类：准确区分必然事件、不可能事件、随机事件，掌握三类事件的概率取值范围，辨析易混淆概念。 2.概率意义：理解概率的定义，明确频率与概率的区别与联系，知道大量重复试验中频率可估计概率。 3.等可能事件概率计算：掌握古典概型概率公式，熟练运用列表法、树状图求随机事件概率，区分放回与不放回试验。 4.几何概型概率：会利用面积比计算简单几何图形的概率，掌握基础图形面积计算与概率结合题型。 5.游戏公平性判断：通过计算双方获胜概率，判断游戏是否公平，能设计公平的游戏规则。 核心题型◆归纳 题型1事件类型判断 题型2由频率估计概率 题型3列举法求概率 题型4根据概率公式计算概率 题型5已知概率求数量 题型6几何概率计算 题型7游戏公平性判断 题型8概率在比赛中的应用 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点（一）事件的分类与概率 1.确定事件： 必然事件：一定发生的事件，概率P=1； 不可能事件：一定不发生的事件，概率P=0。 2.随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率取值0<P<1。 例如：太阳从西边落下→必然事件；投一枚普通骰子，点数为7→不可能事件；明天会下雪→随机事件。 3.核心辨析：概率很小的事件≠不可能事件，概率接近1的事件≠必然事件。 易错点提醒：把“很可能发生”当成必然事件；把“不太可能”当成不可能事件；忽略实际背景，仅凭感觉判断事件类型。 知识点（二）频率与概率的意义 1.频率：在多次重复试验中，某一事件发生的次数（频数）与试验总次数的比值，用公式表示：频率= 关键特征：频率是变化的，会随着试验次数的改变而波动。 例如：抛硬币10次和100次，正面朝上的频率可能不同。 2.概率：事件本身固有的属性，是一个固定不变的数值，用于表示事件发生的可能性大小，取值范围为0≤P≤1。 例如：抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率恒为。 关键特征：概率与试验次数无关，只由事件本身的性质决定。 3. 二者核心关系 1.当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定到某个常数，这个常数就可以作为该事件概率的估计值。 2.重点提示：频率是概率的“估计值”，概率是频率的“稳定值”；试验次数越多，频率越接近概率，但永远不会完全等于概率（除非是必然事件或不可能事件）。 知识点（三）求概率的常用方法 1.直接列举法：适用于试验结果较少、易全部列举的随机事件； 2.列表法：适用于两步试验（如两次摸球、掷两枚骰子），清晰列出所有等可能结果； 3. 树状图法：适用于两步及以上试验，逐层分析所有可能结果，不重不漏。 知识点（四）摸球类、抽卡类概率计算 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用符合条件的数量÷总数计算 例如：袋中有3红2白共5球，随机摸一个是红色的概率：P= 易错点提醒：未看清“有放回”还是“无放回”；第2次摸球时总数未减1. 知识点（五）几何概型（面积型概率） 转转盘、涂色区域等几何图形问题：P=， 核心是准确计算图形面积，再代入比值求解。 例如：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 知识点（六）概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 例如：某产品合格率为98%，则1000件中大约980件合格。 易错点提醒：把概率当成精确数量；实际问题中忽略限制条件，直接套公式。 知识点（七）游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 例如：两人投骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为，游戏公平。 易错点提醒：只看结果多少，不计算概率是否相等；漏算某种情况导致判断错误。 题型解析◆精准备考 题型1事件类型判断 1．下列事件中，必然事件是（    ） A．袋中只有5个红球，摸出一个球是白球 B．任意三条线段可以组成一个三角形 C．打开电视机正在播放“屏南新闻” D．明天太阳从东方升起 2．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 3．请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 题型2由频率估计概率 1．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 2．某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 3．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况： 下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据： 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地 的频数m 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.63 0.60 0.62 0.63 0.62 a 0.62 b 0.61 c (1)填写表中的空格； (2)画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图； (3)根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖不着地”的概率为______． 题型3列举法求概率 1．班级举办抽奖活动，设置了A、B两个抽奖箱：A箱中有3张除数字外完全相同的奖券，数字分别为1、2、4；B箱中有2张除数字外完全相同的奖券，数字分别为4、6．从A箱中随机无放回抽取2张奖券，将数字之和记为十位数字；从B箱中随机抽取1张奖券，数字记为个位数字，组成一个两位数．若组成的两位数中至少包含一个数字“6”，则中奖．求一次抽奖中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 2．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是_______． 3．某班共有35名同学，其中参加音乐社团和美术社团的情况统计如下表（单位：人）．例如，表中数据6表示同时参加两个社团的同学有6人． 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率； (2)在同时参加两个社团的6名同学中，有4名男同学、、、，2名女同学、，现从中随机选取男、女同学各1人，求未被选中但被选中的概率． 题型4根据概率公式计算概率 1．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．化学老师制作了四张卡片，四张卡片除正面图案外其余都相同．把这4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．小明从中随机抽取一张，则抽取的卡片上图案是“化学变化”的概率是（   ） A． B． C． D． 2．将这7个数分别写在7张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是__________． 3．劳动是创造物质财富和精神财富的过程，是人类特有的基本社会实践活动．劳动教育是义务教育阶段必须开展的教育活动．为此，某校拟组建钩织、种植、烹饪、木工4个劳动小组，规定七、八年级的学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示两个不完整的统计图．请根据信息，解决下列问题： (1)参加这次调查的学生总人数为_________，请将条形统计图补充完整． (2)随机咨询两名同学的意愿，他们都选择“木工”小组的概率是多少？ (3)基于调查数据，请你提炼出一条信息，并就劳动课程开设向学校提出相应建议． 题型5已知概率求数量 1．一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共50张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下统计图．估计箱子绿色卡片的最可能是___________张． 3．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的______；“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (2)估算口袋中白球有多少个？ (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球? 题型6几何概率计算 1．七巧板又称“七巧图”、“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具．现在由七巧板拼成一个飞镖盘，任意投掷飞镖一次且击中飞镖盘，则击中1号板块的概率是（    ） A． B． C． D． 2．某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 3．综合实践 实践任务：如图所示，一张海报上有一个不规则的图案（图中画图部分） 实践方案设计：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），记录结果如下： 扔球的次数n 100 200 300 500 800 1000 小球落在不规则图案内次数m 24 51 76 b 201 250 小球落在不规则图案内频率（精确到0.001） 0.240 a 0.253 0.248 0.251 0.250 数据整理与计算 (1)_____，_____，画出小球落在不规则图案内频率的折线统计图； (2)随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为_____；（精确到0.01） (3)估计此不规则图案的面积大约为_____． 题型7游戏公平性判断 1．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 2．甲、乙两班进行拔河比赛，采用“抛硬币”的方法决定优先选择比赛场地的班级：抛两次硬币，若两次均为正面朝上，则甲班优先选择；若两次均为反面朝上，则乙班优先选择．此方法对两个班级________（填“公平”或“不公平”）． 3．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有______人，______； (2)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 题型8概率在比赛中的应用 1．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 24．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法中错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率介于0和1之间 C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 D．不可能事件发生的概率为0 2．桌上有3张不透明的卡片分别记上字母，，，这些卡片背面朝上，随机翻开一张卡片记录下字母后翻回打乱，再次翻开一张卡片记录下字母后翻回打乱，如此继续．当小苍第三次翻卡片时，下列说法正确的是（   ） A．一定翻到卡片 B．一定翻不到卡片 C．可能会翻到卡片 D．翻到卡片比翻到卡片的可能性大 3．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 4．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 5．飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 二、填空题 6．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是____________． 7．不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有8个白球，则袋中红球有_________个． 8．如图所示的是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形）．转动转盘，计算转盘停止时指针落在红色区域的概率_____． 9．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 10．一个总体中有编号为1、2、3、4、5的5个个体．用简单随机抽样的方法从中抽取1个容量为2的样本，这样的样本共有________个，所有可能的样本为_________________． 三、解答题 11．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数 20 50 100 200 500 1000 击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905 击中靶心频率 (1)计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数） (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数） 12．过马路时，有的行人“不管路口是否是红灯，只要凑够一撮人就走”，被网友调侃为中国式过马路.针对这种现象，某记者采访了闯红灯的行人，得出形成这种现象的四个原因：①马路红灯时间长．占；②侥幸心态，只图自己节省时间；③惩罚不严，占；④从众心理．该记者将此次调查情况进行整理，绘制成如图所示的统计图（尚不完整）． 请根据如图所示的相关信息，解答下列问题： (1)该记者本次一共调查了 名行人； (2)图1中，②所在扇形的圆心角为 度，并补全图2； (3)在本次调查中，记者随机采访其中的一名行人，求这名行人属于第④种情况的概率． 13．某市林业局考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活的概率为 （精确到0.1）； (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉．估计还需要移植多少棵？ 14．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 15．已知在一个盒子里共有红、黄、绿三种颜色的棋子共20枚，每次在盒子里随机摸一个棋子，记录下颜色，再放回去．下面是总共摸了1000次后的频数表． 棋子颜色 红 黄 绿 次数 539 137 324 (1)遵循“四舍五入”原则，估计各色棋子各有多少枚？ (2)用你的估计数据计算，若在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06概率初步期中复习讲义 期中复习◆重点 1.事件分类：准确区分必然事件、不可能事件、随机事件，掌握三类事件的概率取值范围，辨析易混淆概念。 2.概率意义：理解概率的定义，明确频率与概率的区别与联系，知道大量重复试验中频率可估计概率。 3.等可能事件概率计算：掌握古典概型概率公式，熟练运用列表法、树状图求随机事件概率，区分放回与不放回试验。 4.几何概型概率：会利用面积比计算简单几何图形的概率，掌握基础图形面积计算与概率结合题型。 5.游戏公平性判断：通过计算双方获胜概率，判断游戏是否公平，能设计公平的游戏规则。 核心题型◆归纳 题型1事件类型判断 题型2由频率估计概率 题型3列举法求概率 题型4根据概率公式计算概率 题型5已知概率求数量 题型6几何概率计算 题型7游戏公平性判断 题型8概率在比赛中的应用 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点（一）事件的分类与概率 1.确定事件： 必然事件：一定发生的事件，概率P=1； 不可能事件：一定不发生的事件，概率P=0。 2.随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率取值0<P<1。 例如：太阳从西边落下→必然事件；投一枚普通骰子，点数为7→不可能事件；明天会下雪→随机事件。 3.核心辨析：概率很小的事件≠不可能事件，概率接近1的事件≠必然事件。 易错点提醒：把“很可能发生”当成必然事件；把“不太可能”当成不可能事件；忽略实际背景，仅凭感觉判断事件类型。 知识点（二）频率与概率的意义 1.频率：在多次重复试验中，某一事件发生的次数（频数）与试验总次数的比值，用公式表示：频率= 关键特征：频率是变化的，会随着试验次数的改变而波动。 例如：抛硬币10次和100次，正面朝上的频率可能不同。 2.概率：事件本身固有的属性，是一个固定不变的数值，用于表示事件发生的可能性大小，取值范围为0≤P≤1。 例如：抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率恒为。 关键特征：概率与试验次数无关，只由事件本身的性质决定。 3. 二者核心关系 1.当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定到某个常数，这个常数就可以作为该事件概率的估计值。 2.重点提示：频率是概率的“估计值”，概率是频率的“稳定值”；试验次数越多，频率越接近概率，但永远不会完全等于概率（除非是必然事件或不可能事件）。 知识点（三）求概率的常用方法 1.直接列举法：适用于试验结果较少、易全部列举的随机事件； 2.列表法：适用于两步试验（如两次摸球、掷两枚骰子），清晰列出所有等可能结果； 3. 树状图法：适用于两步及以上试验，逐层分析所有可能结果，不重不漏。 知识点（四）摸球类、抽卡类概率计算 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用符合条件的数量÷总数计算 例如：袋中有3红2白共5球，随机摸一个是红色的概率：P= 易错点提醒：未看清“有放回”还是“无放回”；第2次摸球时总数未减1. 知识点（五）几何概型（面积型概率） 转转盘、涂色区域等几何图形问题：P=， 核心是准确计算图形面积，再代入比值求解。 例如：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 知识点（六）概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 例如：某产品合格率为98%，则1000件中大约980件合格。 易错点提醒：把概率当成精确数量；实际问题中忽略限制条件，直接套公式。 知识点（七）游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 例如：两人投骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为，游戏公平。 易错点提醒：只看结果多少，不计算概率是否相等；漏算某种情况导致判断错误。 题型解析◆精准备考 题型1事件类型判断 1．下列事件中，必然事件是（    ） A．袋中只有5个红球，摸出一个球是白球 B．任意三条线段可以组成一个三角形 C．打开电视机正在播放“屏南新闻” D．明天太阳从东方升起 【答案】D 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义判断各选项，必然事件是指一定条件下一定发生的事件． 【详解】解：袋中只有5个红球，不可能摸出白球，A是不可能事件，不符合题意； 任意三条线段不一定满足三角形三边关系，不一定能组成三角形，故B是随机事件，不符合题意； 打开电视机播放的内容不确定，播放“屏南新闻”是可能发生也可能不发生的，故C是随机事件，不符合题意； 太阳一定从东方升起，明天太阳从东方升起是一定发生的事件，故D是必然事件，符合题意． 2．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】根据事件的分类方法，进行判断即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数是奇数，可能发生也可能不发生，是随机事件． 3．请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件；不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，掌握其定义是解题的关键． （1）根据不可能事件的含义设计游戏即可； （2）根据必然事件的含义设计游戏即可； （3）根据随机事件的含义设计游戏即可； 【详解】（1）解：在一个不透明的口袋中装有4个白球和2个黑球，每个球除颜色外其他全部相同，从中任意摸出1个球是黄球是不可能事件．（答案不唯一） （2）解：在一个不透明的口袋中装有1个黄球和1个白球，每个球除颜色外其他全部相同，任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． （3）解：在一个不透明的口袋中装有4个黄球和2个白球，任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件．（答案不唯一） 题型2由频率估计概率 1．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，试验次数越大，频率对概率的估计越准确，计算不同试验的频率后，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：根据表格数据，计算各次试验的投中频率：，，，，，，， ∵试验次数越大，频率越接近真实概率，精确到为， ∴估计这位同学投篮一次投中的概率约是． 2．某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.5 【分析】大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，计算不同投篮次数对应的投中频率，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：计算各组投中频率如下： ． ． ． ． ． ． ． 由计算结果可知，随着投篮次数不断增加，投中的频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率，可得这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为． 3．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况： 下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据： 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地 的频数m 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.63 0.60 0.62 0.63 0.62 a 0.62 b 0.61 c (1)填写表中的空格； (2)画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图； (3)根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖不着地”的概率为______． 【答案】(1)0.60；0.61；0.61 (2)见解析 (3)0.61 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）根据实验数据，先描点，再用线段顺次连接，即可得到折线统计图； （3）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，． （2）解：如图所示： （3）解：通过大量实验，发现图钉“钉尖不着地”的频率逐渐稳定在附近， 估计“钉尖不着地”的概率为． 题型3列举法求概率 1．班级举办抽奖活动，设置了A、B两个抽奖箱：A箱中有3张除数字外完全相同的奖券，数字分别为1、2、4；B箱中有2张除数字外完全相同的奖券，数字分别为4、6．从A箱中随机无放回抽取2张奖券，将数字之和记为十位数字；从B箱中随机抽取1张奖券，数字记为个位数字，组成一个两位数．若组成的两位数中至少包含一个数字“6”，则中奖．求一次抽奖中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出所有等可能的两位数结果，再找出满足“至少包含一个数字6”的结果数，利用古典概型概率公式计算即可． 【详解】解：∵ 从A箱无放回抽取2张奖券，所有可能的数字和为：，，，共3种等可能的结果；从B箱抽取1张奖券，有，共2种等可能的结果； ∴ 组成两位数的所有结果是：，，，，，，即共有种等可能结果， 其中满足“至少包含一个数字6”的结果为：，，，，共4种， 则一次抽奖中奖的概率为：． 2．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是_______． 【答案】 【分析】先列举出随机抽取两张卡片所有等可能的结果. 再找出其中满足较大数能被较小数整除的结果个数. 最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，从写有，，的三张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，共种等可能的结果， 其中较大数能被较小数整除的结果有：，，共种， 根据概率公式，可得所求概率为． 3．某班共有35名同学，其中参加音乐社团和美术社团的情况统计如下表（单位：人）．例如，表中数据6表示同时参加两个社团的同学有6人． 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率； (2)在同时参加两个社团的6名同学中，有4名男同学、、、，2名女同学、，现从中随机选取男、女同学各1人，求未被选中但被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的计算公式，用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率是关键． （1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先列表列举所有等可能结果，再根据概率的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：共有35种等可能结果，其中两个社团都未参加的等可能结果有20种， 所以从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率是； （2）解：列表如下： 共有8种等可能结果，其中未被选中但被选中的等可能结果有3种， 所以未被选中但被选中的概率． 题型4根据概率公式计算概率 1．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．化学老师制作了四张卡片，四张卡片除正面图案外其余都相同．把这4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．小明从中随机抽取一张，则抽取的卡片上图案是“化学变化”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得一共有4种等可能性，其中抽取的卡片上图案是“化学变化”的有2种， 故抽取的卡片上图案是“化学变化”的概率是． 2．将这7个数分别写在7张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是__________． 【答案】 【分析】先根据有理数的定义，从7个数中找出所有有理数，再根据概率公式计算抽取到有理数的概率． 【详解】解：在，，，，，，这7个数中， 有理数为，，，，共4个， 从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是． 3．劳动是创造物质财富和精神财富的过程，是人类特有的基本社会实践活动．劳动教育是义务教育阶段必须开展的教育活动．为此，某校拟组建钩织、种植、烹饪、木工4个劳动小组，规定七、八年级的学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示两个不完整的统计图．请根据信息，解决下列问题： (1)参加这次调查的学生总人数为_________，请将条形统计图补充完整． (2)随机咨询两名同学的意愿，他们都选择“木工”小组的概率是多少？ (3)基于调查数据，请你提炼出一条信息，并就劳动课程开设向学校提出相应建议． 【答案】(1)200，条形统计图见详解 (2) (3)提炼的信息为参加钩织小组的学生人数最多，给学校的建议为根据学生的兴趣适当增加钩织小组的活动资源（答案不唯一） 【分析】（1）根据统计图可知参加这次调查中“木工”人数占比为，人数为20人，然后可得总人数，进而问题可求解； （2）根据概率公式可直接进行求解； （3）根据题意可直接进行求解，合理即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：参加这次调查的学生总人数为（人）， ∴钩织的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：随机咨询两名同学的意愿，他们都选择“木工”小组的概率， 答：他们都选择“木工”小组的概率是． （3） 答：提炼的信息为参加钩织小组的学生人数最多，给学校的建议为根据学生的兴趣适当增加钩织小组的活动资源． 题型5已知概率求数量 1．一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）． 2．某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共50张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下统计图．估计箱子绿色卡片的最可能是___________张． 【答案】15 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图可得抽到绿色卡片的概率约为，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，抽到绿色卡片的频率逐步稳定在附近， ∴抽到绿色卡片的概率约为， ∴估计箱子绿色卡片的最可能是张． 3．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的______；“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (2)估算口袋中白球有多少个？ (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球? 【答案】(1)，0.6； (2)12； (3)2． 【分析】(1) 根据频率的定义，频率等于频数除以总数，计算a的值；随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.6附近，故“摸到白球”的概率估计值为0.6． (2) 用总球数乘以摸到白球的概率，即可估算白球个数． (3) 设取出个黑球，则放入个白球，根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近， "摸到白球"的概率的估计值是0.6． （2）解：口袋中共有20个球，摸到白球的概率估计值为0.6， 口袋中白球的个数约为：（个） （3）解：设取出了个黑球，则放入了个白球， 此时口袋中白球有个，总球数仍为20个， 根据题意：， ， ， 经检验，符合题意， 取出了个黑球． 题型6几何概率计算 1．七巧板又称“七巧图”、“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具．现在由七巧板拼成一个飞镖盘，任意投掷飞镖一次且击中飞镖盘，则击中1号板块的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何概率计算．注意面积之比=几何概率．击中1号板块的概率等于1号板块面积与正方形总面积之比． 【详解】解：由图可知：1号板块面积等于正方形面积的， 所以击中1号板块的概率是． 2．某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 【答案】/度 【分析】用360度乘以落在一等奖区域的概率即可得到答案． 【详解】解：， ∴一等奖区域所对的圆心角度数为． 3．综合实践 实践任务：如图所示，一张海报上有一个不规则的图案（图中画图部分） 实践方案设计：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），记录结果如下： 扔球的次数n 100 200 300 500 800 1000 小球落在不规则图案内次数m 24 51 76 b 201 250 小球落在不规则图案内频率（精确到0.001） 0.240 a 0.253 0.248 0.251 0.250 数据整理与计算 (1)_____，_____，画出小球落在不规则图案内频率的折线统计图； (2)随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为_____；（精确到0.01） (3)估计此不规则图案的面积大约为_____． 【答案】(1)，，折线图见解析 (2)0.25 (3)3 【分析】（1）根据频率的公式计算，描点画折线图即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用长方形面积乘以概率即可． 【详解】（1）解：， 折线统计图如下： （2）解：由题可知，小球落在不规则图案内频率稳定在， 则随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为； （3）解：长方形面积为， 则估计此不规则图案的面积大约为． 题型7游戏公平性判断 1．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 2．甲、乙两班进行拔河比赛，采用“抛硬币”的方法决定优先选择比赛场地的班级：抛两次硬币，若两次均为正面朝上，则甲班优先选择；若两次均为反面朝上，则乙班优先选择．此方法对两个班级________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】列出抛两次硬币所有等可能的结果，分别计算甲班优先与乙班优先的概率，通过比较概率判断方法是否公平. 【详解】解：抛两次硬币，所有等可能的结果共有种，分别为：两次正面朝上，第一次正面朝上第二次反面朝上，第一次反面朝上第二次正面朝上，两次反面朝上. 满足甲班优先的结果有种，满足乙班优先的结果有种. 根据概率公式得：，. ， ∴此方法对两个班级公平. 3．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有______人，______； (2)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 【答案】(1)400，45 (2)此游戏规则不公平． 【分析】（1）用B等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，再求解C等级的人数，据此计算即可； （2）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数或偶数的结果，再确定出和为奇数或偶数的概率，最后比较即可解答． 【详解】（1）解：（人）， C等级人数：（人）， ， ∴； （2）解：根据题意画出树状图如下： 可发现共有12种等可能的结果，且和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， ∴和为奇数的概率为，和为偶数的概率为， ∵， ∴此游戏规则不公平． 题型8概率在比赛中的应用 1．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 2．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 24．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法中错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率介于0和1之间 C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 D．不可能事件发生的概率为0 【答案】C 【分析】只需根据不同事件的概率意义判断各选项正误即可． 【详解】解：A、必然事件一定发生，因此其发生的概率为，故A选项说法正确，不符合题意； B、随机事件可能发生也可能不发生，因此其发生的概率介于和之间，故B选项说法正确，不符合题意； C、概率为的事件，概率大于，说明该事件是可能发生的随机事件，仅发生可能性很小，并非不可能事件，故C选项说法错误，符合题意； D、不可能事件一定不会发生，因此其发生的概率为，故D选项说法正确，不符合题意． 2．桌上有3张不透明的卡片分别记上字母，，，这些卡片背面朝上，随机翻开一张卡片记录下字母后翻回打乱，再次翻开一张卡片记录下字母后翻回打乱，如此继续．当小苍第三次翻卡片时，下列说法正确的是（   ） A．一定翻到卡片 B．一定翻不到卡片 C．可能会翻到卡片 D．翻到卡片比翻到卡片的可能性大 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的概率计算． 根据概率计算公式，计算每次翻到卡片的概率和每次翻到卡片的概率，即可判断A、B、D选项；由于卡片只有和，无，即可判断C选项． 【详解】解：卡片共3张，其中卡片有2张，卡片有1张， 每次翻到卡片的概率为，翻到卡片的概率为， 翻到卡片的可能性大于翻到卡片的可能性， 选项D是正确的，符合题意． 而选项A、B，因可能翻到，所以选项A、B错误，不符合题意； 选项C，因无卡片，所以不可能翻到卡片，所以选项C错误，不符合题意． 故选D． 3．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 4．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计“钉尖向上”的概率是． 5．飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 二、填空题 6．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是____________． 【答案】 【分析】先求出3张卡片所有等可能的排列结果数，再找出从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解: 将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为、、， 把三张卡片随机排成一行，所有等可能的结果为：、、、、、，共种， 其中从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果只有种， 故恰好排成“2026中考必胜”的概率是． 7．不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有8个白球，则袋中红球有_________个． 【答案】12 【分析】根据概率公式求出小球的总数量，即可求解． 【详解】解：袋中红、白两种颜色的小球的总数量为个， ∴袋中红球有个． 8．如图所示的是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形）．转动转盘，计算转盘停止时指针落在红色区域的概率_____． 【答案】 【分析】先确定总结果数，再确定符合题意的结果数，即可得出概率． 【详解】解：共有种结果，这种结果中，有三种结果满足题意要求， 故概率为． 9．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 10．一个总体中有编号为1、2、3、4、5的5个个体．用简单随机抽样的方法从中抽取1个容量为2的样本，这样的样本共有________个，所有可能的样本为_________________． 【答案】 10 1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5 【分析】本题主要考查了总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 从5个不同个体中随机抽取2个组成样本，样本容量为2，所有不重复的配对即为可能样本，通过列举可得总数． 【详解】解：所有可能的样本为：1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5，共10个． 故答案为：10；1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5． 三、解答题 11．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数 20 50 100 200 500 1000 击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905 击中靶心频率 (1)计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数） (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数） 【答案】(1)见解析 (2)0.90 【分析】本题考查了频率分布表与用频率估计概率的应用问题，是基础题． （1）计算频率即可填表； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解：填表如下， 射击次数 20 50 100 200 500 1000 击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905 击中靶心频率 0.950 0.880 0.910 0.895 0.908 0.905 （2）解：由于击中靶心的频率都在0.90左右摆动，故这位射手击中靶心的概率约是0.90． 12．过马路时，有的行人“不管路口是否是红灯，只要凑够一撮人就走”，被网友调侃为中国式过马路.针对这种现象，某记者采访了闯红灯的行人，得出形成这种现象的四个原因：①马路红灯时间长．占；②侥幸心态，只图自己节省时间；③惩罚不严，占；④从众心理．该记者将此次调查情况进行整理，绘制成如图所示的统计图（尚不完整）． 请根据如图所示的相关信息，解答下列问题： (1)该记者本次一共调查了 名行人； (2)图1中，②所在扇形的圆心角为 度，并补全图2； (3)在本次调查中，记者随机采访其中的一名行人，求这名行人属于第④种情况的概率． 【答案】(1)100 (2)198，补全统计图见解析 (3)这名行人属于第④种情况的概率为 【分析】（1）根据①的人数和所占的百分比得出调查的总人数； （2）用②所占的百分比乘以可得圆心角度数，再分别求出另外两种情况的人数补全统计图即可； （3）根据概率公式计算即可； 【详解】（1）解：（名）， 所以本次调查了100名行人； （2）解：，②所占的圆心角为198度； ， ， ∴第③种情况的人数是8，第④种情况的人数是35 ， 补全统计图如下： （3）解：这名行人属于第④种情况的概率是． 13．某市林业局考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活的概率为 （精确到0.1）； (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉．估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①18000棵，②80000棵 【分析】（1）根据统计图可得频率，利用频率估计概率可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． （2）解：①（棵）， ∴估计这批花卉成活的棵数为18000棵； ②（棵）， ∴估计还需要移植80000棵． 14．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 15．已知在一个盒子里共有红、黄、绿三种颜色的棋子共20枚，每次在盒子里随机摸一个棋子，记录下颜色，再放回去．下面是总共摸了1000次后的频数表． 棋子颜色 红 黄 绿 次数 539 137 324 (1)遵循“四舍五入”原则，估计各色棋子各有多少枚？ (2)用你的估计数据计算，若在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是多少？ 【答案】(1)估计红色棋子有11个，黄色棋子有3个，绿色棋子有6个 (2) 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式，理解在大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键． （1）根据部分的具体数目＝总数×（频数÷试验总次数）即可解答； （2）求出分别从盒子中摸到红色棋子的概率，摸到黄色棋子的概率，再分别求出第一次摸到红色棋子，第二次摸到黄色棋子和第一次摸到黄色棋子，第二次摸到红色棋子的概率，它们之和即为所求． 【详解】（1）解：红色棋子有（个）， 黄色棋子有（个）， 绿色棋子有（个）． 答：估计红色棋子有11个，黄色棋子有3个，绿色棋子有6个． （2）解：从盒子中摸到红色棋子的概率为，摸到黄色棋子的概率为， ∴在盒子里随机摸两次，第一次摸到红色棋子，第二次摸到黄色棋子的概率是， 第一次摸到黄色棋子，第二次摸到红色棋子的概率是， ∴在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $