专题07认识三角形期中复习讲义(14大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题07认识三角形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握三角形定义、表示法及边 / 角 / 顶点三要素 2.牢记三边关系（和大第三边、差小第三边）、内角和 180°+ 直角三角形两锐角互余 3.认识角平分线 / 中线 / 高，掌握定义、画法及核心性质（如中线平分面积） 4.会按角给三角形分类（锐角 / 直角 / 钝角三角形） 1.能判断线段能否构成三角形，求第三边取值范围 2.熟练用内角和定理求未知角，会画三类重要线段 3.能结合边、角性质判断三角形形状，解决简单面积问题 4.用规范几何语言书写推理过程 1.基础题秒解不丢分，中档题无计算 / 作图失误 2.搞定边 + 角小综合题，精准判断三角形形状 3.规避高频坑：忽略三边 “任意性”、画错钝角三角形的高、内角和计算漏减 题型1.三角形计数与概念辨析 题型2.三边关系判定与范围计算 题型3.等腰三角形边长与周长计算 题型4.三边关系的绝对值化简 题型5.三角形三线辨析与作图 题型6.网格中三角形面积计算 题型7.三角形重心性质应用 题型8.平行线与三角形内角和 题型9.直角三角形性质与判定 题型10.三边关系最值计算问题 题型11.等腰三角形多解分析问题 题型12.三角形高的位置分类讨论 题型13.折叠三角形角度推理 题型14.三角形比例的角度计算题 解答题5题 知识点01.三角形基础认知 定义：由 3 条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 规范表示：△ABC（读作：三角形 ABC） 知识点02.三边关系（核心考点） 核心定理：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边 实用结论：已知两边、（a>b），第三边c取值范围：a−b<c<a+b 判断技巧：三条线段能否构成三角形，只需验证最短两边之和 > 最长边（一步判定，避繁琐） 知识点03.内角性质（必考） 内角和定理：三角形内角和为180∘ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180∘ 直角三角形推论：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A+∠B=90∘（两锐角互余） 按角分类： 锐角三角形：三个内角都是锐角（都 < 90°） 直角三角形：有一个内角是直角（=90°，标注 “┐”） 钝角三角形：有一个内角是钝角（>90° 且 < 180°） 知识点04.三大重要线段（作图 + 性质双考点） 线段类型 定义 核心性质 图形 角平分线 平分三角形一个内角，且交对边于一点的线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等 中线 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 三角形三条中线交于一点（重心），中线平分三角形面积 高 从三角形一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段 三角形三条高交于一点（垂心）；高的位置随三角形形状变：锐角△高都在内部，直角△两直角边为高，钝角△两条高在外部 1.三边关系忽略任意性，仅验证一组和 / 差 2.画钝角三角形的高时，漏画对边的延长线，误将高画在三角形内部 3.内角和计算时，漏减已知角，或忽略直角三角形的锐角互余结论 4.混淆中线、角平分线的性质，如误认角平分线平分面积 题型01.三角形计数与概念辨析 【典例】如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． .【跟踪专练1】图中直角三角形的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【跟踪专练3】如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型02.三边关系判定与范围计算 【典例】已知等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为______． 【跟踪专练1】已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【跟踪专练3】一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 题型03.等腰三角形边长与周长计算 【典例】如果一个等腰三角形的一边长为，周长为，那么这个等腰三角形的底边长为_____． 【跟踪专练1】等腰三角形的两边长分别为5和3，则这个三角形的周长为（     ） A．11 B．11或13 C．13 D．12 【跟踪专练2】已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 【跟踪专练3】一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（   ）． A．18 B．24 C．45 D．60 题型04.三边关系的绝对值化简 【典例】若a、b、c是三角形的三边，则____________． 【跟踪专练1】三角形的三边长分别是2，5，m，则|m﹣3|＋|m﹣7|等于___． 【跟踪专练2】△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b＋c|＋|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为___． 【跟踪专练3】已知a，b，c分别为三角形的三边长，化简得__________． 【跟踪专练4】已知的三边长分别为，，，化简________． 【跟踪专练5】已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 题型05.三角形三线辨析与作图 【典例】如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【跟踪专练1】如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，则平分___________，______________________，且点在边上． 【跟踪专练3】如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 题型06.网格中三角形面积计算 【典例】如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． . 【跟踪专练1】如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练2】如图，在中，于点D，，于点F，则线段与的比值为__________ 【跟踪专练3】在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型07.三角形重心性质应用 【典例】如图，点O是的重心，则___________，___________，___________． 【跟踪专练1】如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【跟踪专练2】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【跟踪专练3】如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 题型08.平行线与三角形内角和 【典例】如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【跟踪专练1】如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 【跟踪专练2】若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 【跟踪专练3】如图，，，，求的度数． 题型09.直角三角形性质与判定 【典例】如图，线段AD为△ABC的角平分线，DE⊥AD，过点C作CE⊥BC交直线DE于点E，若∠B＝74°，∠ACB＝36°，那么∠E的度数为____． 【跟踪专练1】如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，   (1)试说明CD是△CBE的角平分线；   (2)和∠B相等的角是 ． 题型10.三边关系最值计算问题 【典例】若三角形三边长分别为5，12，，且为整数，则的最大可能值是________． 【跟踪专练1】已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 【跟踪专练2】四面体棱长为4，7，20，22，28，t，其中t为整数，则t的最小值为_______ ． 【跟踪专练3】（爱国情怀）学校举办纪念“五四运动”106周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，弘扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．在演讲比赛举办前夕，王老师想设计一款等腰三角形彩旗悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长，若其底边长度为整数，则底边长度的最大值为____________． 【跟踪专练4】不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是_________ 题型11.等腰三角形边长多解分析问题 【典例】等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【跟踪专练1】.已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是__________． 【跟踪专练2】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 【跟踪专练3】使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误 题型12.三角形高的位置分类讨论 【典例】的面积为，是边上的高，，，则______． 【跟踪专练1】已知在中，，是边上的高，若，则________． 【跟踪专练2】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（   ） A．或 B． C． D．或 【跟踪专练3】已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 题型13.折叠的三角形角度推理 【典例】如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 【跟踪专练1】如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则______度． 【跟踪专练2】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A． B．与互余 C． D．与互补 【跟踪专练3】.如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则______． 题型14.三角形内角比例的角度计算题 【典例】在中，，若，则m的值是______． 【跟踪专练1】（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形． （2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形． （3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形． 【跟踪专练2】中，的度数之比为，则是____________三角形（填直角、锐角或钝角） 【跟踪专练3】在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答题】 1．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 2．如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 3．如图，在方格纸中，每个小正方形边长为，点、、在格点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 4．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07认识三角形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握三角形定义、表示法及边 / 角 / 顶点三要素 2.牢记三边关系（和大第三边、差小第三边）、内角和 180°+ 直角三角形两锐角互余 3.认识角平分线 / 中线 / 高，掌握定义、画法及核心性质（如中线平分面积） 4.会按角给三角形分类（锐角 / 直角 / 钝角三角形） 1.能判断线段能否构成三角形，求第三边取值范围 2.熟练用内角和定理求未知角，会画三类重要线段 3.能结合边、角性质判断三角形形状，解决简单面积问题 4.用规范几何语言书写推理过程 1.基础题秒解不丢分，中档题无计算 / 作图失误 2.搞定边 + 角小综合题，精准判断三角形形状 3.规避高频坑：忽略三边 “任意性”、画错钝角三角形的高、内角和计算漏减 题型1.三角形计数与概念辨析 题型2.三边关系判定与范围计算 题型3.等腰三角形边长与周长计算 题型4.三边关系的绝对值化简 题型5.三角形三线辨析与作图 题型6.网格中三角形面积计算 题型7.三角形重心性质应用 题型8.平行线与三角形内角和 题型9.直角三角形性质与判定 题型10.三边关系最值计算问题 题型11.等腰三角形多解分析问题 题型12.三角形高的位置分类讨论 题型13.折叠三角形角度推理 题型14.三角形比例的角度计算题 解答题5题 知识点01.三角形基础认知 定义：由 3 条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 规范表示：△ABC（读作：三角形 ABC） 知识点02.三边关系（核心考点） 核心定理：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边 实用结论：已知两边、（a>b），第三边c取值范围：a−b<c<a+b 判断技巧：三条线段能否构成三角形，只需验证最短两边之和 > 最长边（一步判定，避繁琐） 知识点03.内角性质（必考） 内角和定理：三角形内角和为180∘ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180∘ 直角三角形推论：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A+∠B=90∘（两锐角互余） 按角分类： 锐角三角形：三个内角都是锐角（都 < 90°） 直角三角形：有一个内角是直角（=90°，标注 “┐”） 钝角三角形：有一个内角是钝角（>90° 且 < 180°） 知识点04.三大重要线段（作图 + 性质双考点） 线段类型 定义 核心性质 图形 角平分线 平分三角形一个内角，且交对边于一点的线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等 中线 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 三角形三条中线交于一点（重心），中线平分三角形面积 高 从三角形一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段 三角形三条高交于一点（垂心）；高的位置随三角形形状变：锐角△高都在内部，直角△两直角边为高，钝角△两条高在外部 知识点05.高频避坑点 1.三边关系忽略任意性，仅验证一组和 / 差 2.画钝角三角形的高时，漏画对边的延长线，误将高画在三角形内部 3.内角和计算时，漏减已知角，或忽略直角三角形的锐角互余结论 4.混淆中线、角平分线的性质，如误认角平分线平分面积 题型01.三角形计数与概念辨析 【典例】如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． .【跟踪专练1】图中直角三角形的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义：直角三角形的三个内角中一个角等于90度． 根据直角三角形的定义判断即可． 【详解】图中直角三角形的个数有共4个， 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 【跟踪专练3】如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 题型02.三边关系判定与范围计算 【典例】已知等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为______． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．根据等腰三角形两腰相等的性质，分第三边长为和两种情况讨论，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行验证，进而确定第三边的长度． 【详解】解：若第三边长为，则三边分别为，，，，，，能构成三角形； 若第三边长为，则三边分别为，，，，，，能构成三角形． 故第三边长为或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 【跟踪专练2】已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可得．解题的关键是熟记三角形的三边关系．根据，解答． 【详解】解：∵三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x， ∴， 解得， ∵x最小， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长是解题关键． 分两种情况讨论：当腰长为4时，不满足三边关系；当腰长为8时，满足三边关系，计算周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为4和8， ∴可能情况：腰为4，底为8；或腰为8，底为4， 当腰为4，底为8时， ∵ ，不符合三角形三边关系， ∴该情况不成立； 当腰为8，底为4时， ∵，，，均满足三边关系， ∴ 周长为． 故选：C． 题型03.等腰三角形边长与周长计算 【典例】如果一个等腰三角形的一边长为，周长为，那么这个等腰三角形的底边长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，腰长相等，周长为，一边长为，可能为腰长或底边长，结合三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：若腰长为，则底边长为 ， 验证三角形三边关系：，成立； 若底边长为，则腰长为， 验证三角形三边关系：，成立； 这个等腰三角形的底边长为或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】等腰三角形的两边长分别为5和3，则这个三角形的周长为（     ） A．11 B．11或13 C．13 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，等腰三角形有两边相等，需分两种情况讨论：腰为5底为3或腰为3底为5，并验证是否满足三角形三边关系，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为5和3， ∴可能情况一：腰为5，底为3， ∵，，满足三边关系， ∴周长； 可能情况二：腰为3，底为5， ∵，，满足三边关系， ∴周长． 综上，周长为11或13． 故选B． 【跟踪专练2】已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【详解】解：当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为：10． 【跟踪专练3】一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（   ）． A．18 B．24 C．45 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形三边关系，分类讨论，是解题的关键． 根据等腰三角形两边之比为，设等腰三角形两边长为，（），若腰为，底边为，此时无法构成三角形．若腰为，底边为，可以构成三角形．此时三边为、、，当底边时，三角形周长为．当腰时， 周长为，即得． 【详解】解：∵等腰三角形两边之比为， ∴设等腰三角形两边长为，（）， 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴无法构成三角形，三角形不存在． 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴可以构成三角形． 当底边时，． 腰长为． ∴此时三角形周长为． 当腰时，， 底边长为， ∴此时周长为． ∴这个等腰三角形的周长最大可以是 故选：D． 题型04.三边关系的绝对值化简 【典例】若a、b、c是三角形的三边，则____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系、绝对值化简，根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质进行求解即可． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练1】三角形的三边长分别是2，5，m，则|m﹣3|＋|m﹣7|等于___． 【答案】4 【分析】根据构成三角形的条件可得出m的取值范围，再根据m的取值范围化简绝对值即可求解． 【详解】解：∵2、5、m是某三角形三边的长， ∴5﹣2＜m＜5+2， 故3＜m＜7， ∴|m﹣3|+|m﹣7| ＝m﹣3+7﹣m ＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件及化简绝对值，熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键． 【跟踪专练2】△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b＋c|＋|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为___． 【答案】b+c﹣a 【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，去掉绝对值号后合并同类项即可． 【详解】∵a、b、c是△ABC的三边， ∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ∴|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a| ＝（a﹣b+c）﹣（a﹣c﹣b）+（b﹣c﹣a） ＝a﹣b+c﹣a+c+b+b﹣c﹣a ＝b+c﹣a． 故答案为：b+c﹣a． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，绝对值的应用，合并同类项，解题的关键是根据三边关系来判定绝对值内式子的正负． 【跟踪专练3】已知a，b，c分别为三角形的三边长，化简得__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系及化简绝对值是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再化简绝对值即可． 【详解】解：a，b，c分别为三角形的三边长， ，， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练4】已知的三边长分别为，，，化简________． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为，，， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练5】已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 题型05.三角形三线辨析与作图 【典例】如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，则平分___________，______________________，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 【跟踪专练3】如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 题型06.网格中三角形面积计算 【典例】如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． . 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知当时，的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积是解题的关键．利用面积公式找到其中一个，做平行线即可得到所有满足的点． 【详解】解：根据题意画出， 满足条件的格点6个， 故选D． 【跟踪专练2】如图，在中，于点D，，于点F，则线段与的比值为__________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形高的定义，求线段的比，利用三角形的面积作为桥求解是解的关键． 设，则，令,，根据求出，即可求解比值． 【详解】， 设，则， ， ， 令,， ，， ， ， ，， ， ， ； 故答案是． 【跟踪专练3】在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 题型07.三角形重心性质应用 【典例】如图，点O是的重心，则___________，___________，___________． 【答案】 / / / 【分析】本题考查了三角形的重心的概念，熟练掌握三角形的重心的概念是解题的关键．根据三角形的重心的概念即可解答． 【详解】解：点O是的重心， 、、是的中线， ，，． 故答案为：；；． 【跟踪专练1】如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】B 【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，进而得到3S△BCG＝S△ABC，即可求解． 【详解】解：连接AG延长交BC于点D， ∵G是△ABC的重心， ∴D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG， ∵AG＝2GD， ∴2S△BGD＝S△ABG，2S△CGD＝S△ACG， ∴3S△BCG＝S△ABC， ∴S△BCG：S△ABC＝1：3， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键． 题型08.平行线与三角形内角和 【典例】如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 先根据平行线的性质求得的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 【答案】A 【分析】先由题意画出图形，结合图形根据平行线的判定与性质可得∠BPQ＋∠DQP＝180°，再由角平分线的定义可求得∠MPQ＋∠NQP＝90°，利用三角形的内角和为180°可求得∠POQ＝90°，进而求解． 【详解】解：如图， ∵∠APE＝∠CQE， ∴AB∥CD， ∴∠BPQ＋∠DQP＝180°， ∵PM平分∠BPQ，QN平分∠DQP， ∴∠BPQ＝2∠MPQ，∠DQP＝2∠NQP， ∴∠MPQ＋∠NQP＝90°， ∴∠POQ＝90°， 即PM⊥QN， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理及垂线的定义，能求解∠POQ＝90°是解决问题的关键． 【跟踪专练3】如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 题型09.直角三角形性质与判定 【典例】如图，线段AD为△ABC的角平分线，DE⊥AD，过点C作CE⊥BC交直线DE于点E，若∠B＝74°，∠ACB＝36°，那么∠E的度数为____． 【答案】71° 【分析】利用三角形内角和求出∠BAC，由角平分线的定义求出∠BAD，根据外角的性质可求∠ADC，进而求出∠EDC，然后根据直角三角形两锐角互余可求出∠E的度数． 【详解】解：∵∠B＝74°，∠ACB＝36°， ∴∠BAC=180°-74°-36°=70°． ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=35°． ∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC=35°+74°=109°． ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDC=109°-90°=19°． ∵CE⊥BC， ∴∠DCE=90°， ∴∠E=90°-19°=71°． 故答案为：71°． 【点睛】本题考查了三角形内角和，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，垂直的定义等知识，解题的关键是正确识图，分析清楚角与角之间的关系． 【跟踪专练1】如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由平行线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，   (1)试说明CD是△CBE的角平分线；   (2)和∠B相等的角是 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠CEB、∠CDF． 【分析】（1）根据∠A=30°，∠B=70°，得∠ACB=80°，由角平分线的定义得∠BCE=40，根据三角形的内角和定理得∠BCD=20°，从而得出CD是△BCE的角平分线． （2）由直角三角形两个锐角互余，得∠B=∠CEB．根据等角的余角相等，得∠B=∠CDF． 【详解】解：（1）∵∠A=30°，∠B=70°， ∴∠ACB=80°． ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE=40． ∵∠B=70°，∠CDB=90°， ∴∠BCD=20°． ∴∠ECD=∠BCD=20°． ∴CD是△BCE的角平分线． （2）∵∠ECD=20°，∠CDE=90°， ∴∠CEB=70°． ∴∠B=∠CEB． ∵∠CFD=90°，∠FCD=20°， ∴∠CDF=70°． ∴∠CDF=∠B． ∴与∠B相等的角是：∠CEB、∠CDF． 题型10.三边关系最值计算问题 【典例】若三角形三边长分别为5，12，，且为整数，则的最大可能值是________． 【答案】16 【分析】本题考查三角形三边的关系，即任意两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的取值范围，再取整数最大值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得：，即； ，即； ，即（恒成立）， ，为整数， 故的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 【答案】17 【分析】本题考查了非负数的性质与三角形三边关系，掌握绝对值、平方数的和为时，各项分别为；三角形三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合为偶数，取的最大值，从而得到最大周长． 【详解】解：由， 得，， 解得，． 根据三角形三边关系，有． 为偶数，故或． 当时，周长最大，为． 故答案为：17． 【跟踪专练2】四面体棱长为4，7，20，22，28，t，其中t为整数，则t的最小值为_______ ． 【答案】9 【分析】本题考查四面体的结构特征，利用三角形任意两边的和大于第三边可得长为4和28的棱必为相对棱，4，7，t为四面体的一个表面三角形三边，求出t的范围得解． 【详解】解：由，得长为4和28的棱不能为四面体的同一个表面三角形的边， 则长为4和28的棱必为四面体的相对棱， 又， 则四面体与长为7的棱相对的棱长为20或22， 因为小于另两条已知棱长20和22，所以与棱4、7构成三角形面的第三条棱只能是t，且需满足， 若7与22为对棱，t与20为对棱，则四面体中存在一个面由棱7, 20, 28构成，但，无法构成三角形，故此情况不成立。因此，7的对棱只能是20，t的对棱为22此时，对棱组合必为, , ，由面构成三角形可知，即 因此，而t为整数， 所以t的最小值是9． 故答案为：9． 【跟踪专练3】（爱国情怀）学校举办纪念“五四运动”106周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，弘扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．在演讲比赛举办前夕，王老师想设计一款等腰三角形彩旗悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长，若其底边长度为整数，则底边长度的最大值为____________． 【答案】11 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．利用三角形的三边关系可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 长度为整数， 长度的最大值为11， 故答案为：11． 【跟踪专练4】不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是_________ 【答案】5 【分析】根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值． 【详解】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x； 因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x， 因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x， 因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长， S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高， ∴6＞高＞3， ∵是不等边三角形，且高为整数， ∴高的最大值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边． 题型11.等腰三角形边长多解分析问题 【典例】等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】15 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 【跟踪专练1】.已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是__________． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得m与n的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 若三边是5，5，11，，5，5，11不能构成三角形； 若三边是5，11，11，，周长为； ∴的周长为27； 故答案为：27． 【跟踪专练2】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，计算对应底边长与腰长后求出“优美比”，同时验证三边能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时， ∵等腰的周长为10， ∴底边长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； ②当3为底边长时， ∵等腰的周长为10， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； 综上，“优美比”是或． 【跟踪专练3】使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分别分析小明和小亮的折法，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断能否构成等腰三角形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：小明的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小明的折法正确； 小亮的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小亮的折法也正确， 综上，两人都正确， 故选：． 题型12.三角形高的位置分类讨论 【典例】的面积为，是边上的高，，，则______． 【答案】5或7 【分析】本题考查三角形的面积公式及应用，解题的关键是正确画出图形，根据题意分两种情况画出图形，运用三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，当是锐角三角形时， 的面积为，是边上的高，， ， ， ； 如图，当是钝角三角形时， ， ． 故答案为：5或7． 【跟踪专练1】已知在中，，是边上的高，若，则________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的高，三角形内角和定理；根据是边上的高，得到，在中，利用三角形内角和定理求出，再在中，利用三角形内角和定理求出，有锐角和钝角两种情况，需分类讨论. 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 又∵， 当为锐角时，如图所示， ∴在中，， 即， 在中，， ∴， 当为钝角时，如图所示， ∴在中，， ∴即， 在中，， ∴. 故答案为：或. 【跟踪专练2】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理．分三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：在等腰三角形中，，顶角为， 当是锐角三角形时，，如图： 根据题意可得，， 在中，； 当是直角三角形时，，此时是等腰直角三角形，底角是，不符合题意； 当是钝角三角形时，如图： 根据题意可得，， 在中，， 故． 综上，顶角为或． 故选：D． 【跟踪专练3】已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，解题关键是涉及到三角形的高的时候，注意分情况考虑．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图1，当高在的内部时， ； ②如图2，当高在的外部时， ． 综上所述，的度数为或． 故选：D． 题型13.折叠的三角形角度推理 【典例】如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 【答案】或或 【分析】分五种情况讨论，根据平行线的性质以及折叠的性质求解即可． 【详解】解：当，点在线段上时，如图： ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，如图 同理可求； 当，点在线段上时，过点作交于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，过点作交延长线于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当时，如图： ∴， ∴有一边平行于边，那么或或． 【跟踪专练1】如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则______度． 【答案】55 【分析】首先，由折叠的性质得，，再由平角的定义得，进而得出，最后，由三角形的内角和定理得出结论即可． 【详解】解：∵将纸片沿折叠，点落在点处， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A． B．与互余 C． D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，， ∴，结论正确，故A不符合题意； ∵， ∴，即，结论正确，故B不符合题意； ∴，和不一定相等，结论错误，故C符合题意； ∵，结论正确，故D不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练3】.如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形的性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键． 分三种情况进行讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时，, 由折叠性质，得, , ； 如图，当时， 由折叠性质，得， ∴； 如图，当时， 由折叠性质，得, ； 当时与时相同， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 题型14.三角形内角比例的角度计算题 【典例】在中，，若，则m的值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余．根据，，得出，求出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴， 由可得，， ∴； 故答案为：2． 【跟踪专练1】（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形． （2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形． （3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形． 【答案】 钝角 直角 锐角 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的分类等知识，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键． （1）（2）（3）利用三角形内角和定理计算未知角，根据角度大小判断三角形类型。 【详解】解：（1）在中，， 根据三角形内角和定理，． 由于，因此该三角形是钝角三角形． 故答案为：；钝角． （2）设三角形三个内角分别为，，， 根据三角形内角和定理，， 即， 解得． 因此角度分别为，，． 由于有一个角为，因此该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． （3）在中，，比小， 因此． 根据三角形内角和定理，． 所有角均小于，因此该三角形是锐角三角形． 故答案为：；锐角． 【跟踪专练2】中，的度数之比为，则是____________三角形（填直角、锐角或钝角） 【答案】锐角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形类型的判断方法是解决本题的关键． 根据三角形内角和定理，结合角度比计算各角具体度数，并判断三角形类型即可． 【详解】解：设， 由三角形内角和定理得 解得， ∴， ∵所有内角均小于， ∴是锐角三角形． 故答案为：锐角． 【跟踪专练3】在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形内角和为．利用三角形内角和定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为． 【详解】解：①，则，是直角三角形； ②：：：：，则，，由三角形内角和定理，得，解得，，于是有，是直角三角形； ③，则由三角形内角和定理，得，解得，，则，不是直角三角形； ④，不是直角三角形，是等边三角形， 能确定是直角三角形的条件有个， 故选：D． 【解答题】 1．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 【答案】(1)等边三角形； (2)． 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定，整式的加减等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据绝对值和平方的非负性得到，，进而推出，即可判断的形状； （）根据三角形三边关系得到，，，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴根据非负数的性质，，， 解得，， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴根据三角形的三边关系得，，，， ∴，，， 则 ． 2．如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】(1) (2)28 (3)边上的高为 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线，和高，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为h，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，的周长为30， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：28． （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， ∴边上的高为． 3．如图，在方格纸中，每个小正方形边长为，点、、在格点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3). 【分析】本题主要考查了借助网格作图、求三角形的面积． 借助网格，过点作所在的直线的垂线交直线于点，点与垂足之间的线段即为中边上的高； 借助网格，线段经过的格点，即为线段的中点，连接即为边上的中线 过点作，借助网格可知，，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：如下图所示， （2）解：如下图所示，线段经过的格点，即为线段的中点， 连接即为边上的中线； （3）解：如下图所示，过点作， 由网格可知，， ． 4．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $