专题09 圆（9大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题09 圆 9大考点概览 考点01利用垂径定理求值 考点02圆心角 考点03圆周角定理 考点04半圆所对的圆周角是直角 考点05证明某直线是圆的切线 考点06切线的性质定理 考点07正多边形和圆 考点08求弧长和扇形面积 考点09求其他不规则图形的面积 利用垂径定理求值 考点01 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中， 是直径， 是弦， 于点E，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2026·河南洛阳·一模）将半径为4的圆按如图所示的方式折叠得到一个弓形（阴影部分），若折痕到圆心的距离为2，则弓形的面积为______．（结果保留） 3．（2026·河南新乡·一模）如图，扇形的圆心角小于，连接，点为的中点，连接交于点．已知，，则阴影部分的面积为___________． 4．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 圆心角 考点02 5．（2026·河南许昌·一模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南平顶山·一模）如图，内接于，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与相交于点，与相交于另一个点，连接．求证：． 7．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径， 是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，连接，点是上一点，且， 连接 ． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 8．（2026·河南·一模）在中，是上一点，以为半径作，与相切于点．连接， 与交于点E， 且E是的中点． (1)证明：； (2)若， 求的半径． 圆周角定理 考点03 9．（2026·河南·一模）如图，等腰直角三角形中，，，以为直径的切于点A，交于点D，则图中阴影部分的面积为______ 10．（2026·河南信阳·一模）如图，点，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________． 13．（2026·河南洛阳·一模）如图，在中，，是弦，圆心在的内部，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·河南洛阳·一模）如图1，已知中，，，以点O为圆心的圆与相切于点C，交于点D，点E为上一点，连接，． (1)求的度数． (2)若上的点E满足，请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在图2中，延长交于点F，连接，，若的半径为4，求的长． 半圆所对的圆周角是直角 考点04 15．（2026·河南南阳·一模）如图，点、、在圆上且 (1)请用无刻度直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接并延长交圆于点，连接、．求证：四边形是矩形 16．（2026·河南商丘·一模）在平行四边形中，连接，作的外接圆，已知． (1)当经过圆心O时，求的度数． (2)若与相切，的半径为6，求的长． 17．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径，点C在上，是的切线，于点D． (1)求证：平分； (2)若，，求的直径的长． 18．（2026·河南平顶山·一模）以点O为圆心的量角器与直角三角尺按如图所示的方式摆放，，点 D在 上，若点 D 所对应的读数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·河南商丘·一模）如图，和是的两条弦，，，点P为上一点，，则的长为_____．    20．（2026·河南周口·一模）如图，在中，以为直径的与相切于点，与交于点，连接，且． (1)求的长． (2)是上一点，且在的下方，连接．当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出的面积． 21．（2026·河南商丘·一模）周末，小明、小红和小亮相约去游乐场游玩，他们在乘坐摩天轮时发现，水平地面与摩天轮相切于点M，他们依次从M处登上摩天轮，当小明乘坐的座舱（把座舱看成圆上的一个点）转到M点正上方A点处（即为直径），他发现，自己的位置A、小亮的位置B和地面点D在同一直线上，且自己的位置A、小红的位置C和地面点E在同一直线上．连接，，，请回答下列问题： (1)求证：； (2)若摩天轮的直径高度，，，求小红和小亮的距离的长． 22．（2026·河南平顶山·一模）如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． (1)过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 证明某直线是圆的切线 考点05 23．（2026·河南洛阳·一模）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长度． ∵为直径， ∴，即， 24．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径，点是上一点，平分，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 25．（2026·河南周口·一模）如图，内接于，．求证：为的切线． 26．（2026·河南洛阳·一模）“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点，重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 小明的思考过程如下： 如图，连接.…… 请你将他的思考过程补充完整． 27．（2026·河南商丘·一模）如图，为的内接三角形，为的直径，是的弦，的平分线，交于D，用直尺和圆规作图并解答问题． (1)过点D作交的延长线于点E，连接交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 切线的性质定理 考点06 28．（2026·河南·一模）如图，是四边形的外接圆，是的直径，，为的切线，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)求的度数． 29．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 30．（2026·河南平顶山·一模）在中，，，以点O为圆心作，与边相切于点C，且交边于点D，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，与边相切于点，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 32．（2026·河南洛阳·一模）图1是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2所示，，分别与相切于点A，B，“不倒翁”与水平面的接触点C是的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B的对应点刚好与水平面接触，如图3．若，水平线上点C与点的距离为，则所在圆的半径是_____．    33．（2026·河南驻马店·一模）如图，与相切，点为切点，连接交于点，点在上，连接，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 34．（2026·河南许昌·一模）如图，，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，连接． (1)求证：平分； (2)当，时，___________． 35．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的半圆分别交，于点，，半圆与相切于点．若，则图中阴影部分的周长为__________．（结果保留） 正多边形和圆 考点07 36．（2026·河南商丘·一模）周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是，，，则（） A． B． C． D． 37．（2026·河南周口·一模）若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．（2026·河南周口·一模）在中国古代文化中，玉璧寓意吉祥如意，象征着美好的意愿和高贵的品质．如图，这是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．若正方形的面积为4，则图中阴影部分的面积是___________． 求弧长和扇形面积 考点08 39．（2026·河南·一模）如图，，以O为圆心，长为半径画弧，交于点A，B，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一个动点，连接，．若，则阴影部分周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 40．（2026·河南商丘·一模）如图，等腰直角三角形中，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分周长为______． 41．（2026·河南周口·一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图如图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则图2所示图形的周长是___________． 42．（2026·河南平顶山·一模）如图，已知是矩形的一条对角线，，．以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，则的长为_______．（结果保留π） 43．（2026·河南许昌·一模）如图，在中，，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为________． 44．（2026·河南周口·一模）如图，为的外接圆，为直径，是上一动点，连接，若，． (1)求的半径； (2)若，求的长（结果保留）． 45．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以为直径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 46．（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 47．（2026·河南许昌·一模）如图，在扇形中，，，交于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是___________． 求其他不规则图形的面积 考点09 48．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 49．（2026·河南南阳·一模）如图是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，测得，，则花窗的面积为________． 50．（2026·河南信阳·一模）如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 51．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点O为圆心，长为半径作弧交y轴的正半轴于点B，过点作y轴的平行线交弧于点D，则图中阴影部分的面积为____________． 52．（2026·河南焦作·一模）如图，是边长为2的等边三角形，分别以，为斜边作等腰直角三角形和，，，的圆心分别是点C，D，E，半径分别是，，，图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 53．（2026·河南平顶山·一模）如图，在中，，，D是上一点，以为直径作，交于点E，过点 E 作的切线，交于点 F．若，，则图中阴影部分的面积为_____________． 54．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点，则图中阴影部分的面积为__________． 55．（2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆 9大考点概览 考点01利用垂径定理求值 考点02圆心角 考点03圆周角定理 考点04半圆所对的圆周角是直角 考点05证明某直线是圆的切线 考点06切线的性质定理 考点07正多边形和圆 考点08求弧长和扇形面积 考点09求其他不规则图形的面积 利用垂径定理求值 考点01 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中， 是直径， 是弦， 于点E，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】可先求出半径和的长度，再根据垂径定理，得出，在中，可利用勾股定理求出的长度． 【详解】∵，， ∴， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得： ， ∴． 2．（2026·河南洛阳·一模）将半径为4的圆按如图所示的方式折叠得到一个弓形（阴影部分），若折痕到圆心的距离为2，则弓形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】记圆心为O，折痕为，作于点B，连接，，然后根据垂径定理以及特殊角的三角函数值，求得，，利用弓形面积等于扇形的面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，记圆心为O，折痕为，作于点B，连接，， 则，，，，， ∴在中，， ∴，， ∴，， ∴弓形的面积为． 3．（2026·河南新乡·一模）如图，扇形的圆心角小于，连接，点为的中点，连接交于点．已知，，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，利用垂径定理可以求出，根据可证，根据全等三角形的性质可知，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 则有， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ，， ， 在中，， ， 解得：， 在和中， ， ， ， ． 4．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】 【分析】过作于点，延长交于点，连接，，，则有，，，从而可得，则，然后通过勾股定理求出，设为，则，通过勾股定理得，再求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为，则， ∵， ∴， ∴， ∴这座圆形观景台的半径是． 圆心角 考点02 5．（2026·河南许昌·一模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·河南平顶山·一模）如图，内接于，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与相交于点，与相交于另一个点，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过点与该交点作射线，即为的平分线． （2）先根据等腰三角形性质和三角形内角和求出各内角的度数，再结合角平分线的定义、圆周角定理，证明弧与弧相等，进而根据等弧对等弦证明． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：，， ， 平分， ， ，， 所对的圆周角，所对的圆周角， ， ． 7．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径， 是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，连接，点是上一点，且， 连接 ． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理和圆周角定理可证，，，再根据等腰三角形的性质和同弧或等弧所对的圆周角相等即可得出． （2）设半径为，则．先证明，再将，，代入，可得，进而结合求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是切线， ∴，即， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设半径为，则． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴半径． 8．（2026·河南·一模）在中，是上一点，以为半径作，与相切于点．连接， 与交于点E， 且E是的中点． (1)证明：； (2)若， 求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为4 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可； （2）连接，根据圆周角定理、平角的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即的半径为4． 圆周角定理 考点03 9．（2026·河南·一模）如图，等腰直角三角形中，，，以为直径的切于点A，交于点D，则图中阴影部分的面积为______ 【答案】 【分析】连接，推导出是等腰直角三角形，且，得到，再求出扇形的面积与的面积，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵ ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， 扇形的面积为， 的面积为 ∴． 10．（2026·河南信阳·一模）如图，点，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆周角定理可知，从而求解． 【详解】解：∵和是弧所对的圆心角和圆周角， ∴， ∴的度数是． 11．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质得出，利用直角三角形两锐角互余求出，再利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵与半圆相切于点，为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴半径， ∴的长为． 12．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________． 【答案】a或 【分析】分两种情况，根据“反直角三角形”定义和圆周角定理、等边三角形的性质、锐角三角函数进行解答即可． 【详解】解：如图， ∵等边的边长为， ∴， ∴， ∵为“反直角三角形”， ∴， ∴， ∴ 当点落在点上时，， ∵为“反直角三角形”， ∴， ∴， ∴ 作于点， ∴， ∵， ∴， 综上可知，或． 13．（2026·河南洛阳·一模）如图，在中，，是弦，圆心在的内部，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用半径相等得到等腰和，根据等腰三角形两底角相等求出和的度数，进而得到的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，计算出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ， 故选：B． 14．（2026·河南洛阳·一模）如图1，已知中，，，以点O为圆心的圆与相切于点C，交于点D，点E为上一点，连接，． (1)求的度数． (2)若上的点E满足，请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在图2中，延长交于点F，连接，，若的半径为4，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解； （2）作的垂直平分线交于点M，连接，并延长交于点E，即可； （3）设与交点为点M．根据，可得，由①知：，可得，即可求解． 【详解】（1）解：连接， 与相切， ， ，， ， ； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：设与交点为点M． ， ， 又由①知：， ， 的半径为4， 直径， ， 的长为． 半圆所对的圆周角是直角 考点04 15．（2026·河南南阳·一模）如图，点、、在圆上且 (1)请用无刻度直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接并延长交圆于点，连接、．求证：四边形是矩形 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，分别以点A，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，N，再作直线，交于点O； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据三个角是直角的四边形是矩形得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求作； （2）证明：由题意，得，是的直径 ∴， ∴四边形是矩形． 16．（2026·河南商丘·一模）在平行四边形中，连接，作的外接圆，已知． (1)当经过圆心O时，求的度数． (2)若与相切，的半径为6，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2) 【分析】根据是的直径，得出，结合四边形是平行四边形，，即可求解． （2）连接，，根据切线的性质得出，根据，，得出，则，即可求出，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：经过圆心O， 是的直径， ， ∵四边形是平行四边形，， ， 的度数是． （2）解：连接，， 与相切于点D，的半径为6， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴， ． 17．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径，点C在上，是的切线，于点D． (1)求证：平分； (2)若，，求的直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质证得即可解答； （2）证得根据计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴ ， ， 即平分 （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∵，， ∴． 18．（2026·河南平顶山·一模）以点O为圆心的量角器与直角三角尺按如图所示的方式摆放，，点 D在 上，若点 D 所对应的读数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据量角器得到，再确定点C在该量角器所在的圆上，然后根据圆周角定理得到，据此可得答案． 【详解】解：连接， ∵量角器上点D所对应的读数为， ∴， ∴， ∵以点O为圆心的量角器与直角三角尺按如图所示的方式摆放，， ∴点C在该量角器所在的圆上， ∴． 19．（2026·河南商丘·一模）如图，和是的两条弦，，，点P为上一点，，则的长为_____．    【答案】 【分析】熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题关键． 连接，根据圆周角定理得出为的直径，确定，，，再由圆周角定理得出，确定，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长为：． 20．（2026·河南周口·一模）如图，在中，以为直径的与相切于点，与交于点，连接，且． (1)求的长． (2)是上一点，且在的下方，连接．当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理推导出，利用相似三角形的对应边成比例求解即可； （2）连接交于F，先等腰三角形的性质和垂径定理得到，，再利用三角形的中位线得到，然后利用勾股定理计算可得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴，则， ∵与相切于点， ∴，则， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于F， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴的面积为． 21．（2026·河南商丘·一模）周末，小明、小红和小亮相约去游乐场游玩，他们在乘坐摩天轮时发现，水平地面与摩天轮相切于点M，他们依次从M处登上摩天轮，当小明乘坐的座舱（把座舱看成圆上的一个点）转到M点正上方A点处（即为直径），他发现，自己的位置A、小亮的位置B和地面点D在同一直线上，且自己的位置A、小红的位置C和地面点E在同一直线上．连接，，，请回答下列问题： (1)求证：； (2)若摩天轮的直径高度，，，求小红和小亮的距离的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得，直径对的圆周角是直角得，等弧对等角得，即可证得； （2）先证是等腰直角三角形，求出，，再证，根据相似比求解即可． 【详解】（1）证明：∵水平地面与相切于点M， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵水平地面与相切于点M， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（2026·河南平顶山·一模）如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． (1)过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)画图见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作即可：作射线，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于两点，以该两交点为圆心，大于两交点线段长的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该交点作射线交的延长线于点即可； （2）证明即可，已知公共角，由直径所对的圆周角为直角得到，是的切线得到，根据同角的余角相等，再结合，等边对等角得到，等量代换证明即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的切线． （2）证明：是的直径， ， ． 是的切线， ，即， ． ， ， ． 又， ， ， ． 证明某直线是圆的切线 考点05 23．（2026·河南洛阳·一模）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）由（1）知，，，得到，证明是等边三角形，求出，再根据，求出，进而得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径，点是上一点，平分，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质和角平分线定义推得，结合得到，即可证得是切线； （2）利用直径所对圆周角为直角，证明，根据相似三角形对应边成比例求出直径，即可得到半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴的半径为． 25．（2026·河南周口·一模）如图，内接于，．求证：为的切线． 【答案】见解析 【分析】连接，，记为，记为，由圆周角定理可得，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，即可证得结论． 【详解】证明：连接，，则，记为，记为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵为的半径， ∴为的切线． 26．（2026·河南洛阳·一模）“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点，重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 小明的思考过程如下： 如图，连接.…… 请你将他的思考过程补充完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由作图可知为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可证得结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角以及等边对等角可得，，然后由直角三角形两个锐角互余，通过等量代换得到，即可利用求得答案． 【详解】（1）证明：由题可得，点，，在同一条直线上， 为的直径， ，即. 为的半径， 为的切线； （2）解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， . ， ， ， 的半径为. 27．（2026·河南商丘·一模）如图，为的内接三角形，为的直径，是的弦，的平分线，交于D，用直尺和圆规作图并解答问题． (1)过点D作交的延长线于点E，连接交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）连接，利用角平分线的概念和，可得，即可证明，利用平行线的性质即可解答； （3）作于点Q，则，可得，设，再解直角三角形，可得，最后利用相似三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 为半径， 是的切线； （3）解：如图，作于点Q，则， 平分， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】第三小问，利用角平分线的性质，作辅助线，构造全等三角形，再判定，是解题关键． 切线的性质定理 考点06 28．（2026·河南·一模）如图，是四边形的外接圆，是的直径，，为的切线，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆内接四边形，得，由以及圆周角定理，可证，即可证得平分； （2）连接，由切线的性质，可得，由等边对等角和内错角相等两直线平行证明，即可根据两直线平行同旁内角互补，求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． （2）解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． 29．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是的切线，可得，再证明即可； （2）连接，由是的直径，可得，根据等腰三角形的性质可得，在中，可求得的长，设的半径为，由，是的直径，可用表示出，再在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 30．（2026·河南平顶山·一模）在中，，，以点O为圆心作，与边相切于点C，且交边于点D，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据题意得到，由相切得到，根据，证明，故，再由即可得到答案． 【详解】解：连接， ，， ， 与相切， ，即， ， ， ， ， ， ． 31．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，与边相切于点，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】先由直径得出圆的半径：；再根据圆与相切于，得，结合推出，进而证得，求出，得到，算出；接着作，利用直角三角形性质求出的长度；最后用扇形的面积减去的面积，算出阴影部分的面积为． 【详解】如解图，连接，过点作于点 ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ，即，解得， ∴， ， ， ， ，． ， ． 32．（2026·河南洛阳·一模）图1是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2所示，，分别与相切于点A，B，“不倒翁”与水平面的接触点C是的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B的对应点刚好与水平面接触，如图3．若，水平线上点C与点的距离为，则所在圆的半径是_____．    【答案】3 【分析】连接，再根据题意可得的度数，然后可得，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，      设圆的半径为r， ∵，分别与相切于点A，B， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据题意得：点C为的中点， ∴， ∵点C与点的距离为， ∴的长度为 ∴， 解得：， 即所在圆的半径是． 33．（2026·河南驻马店·一模）如图，与相切，点为切点，连接交于点，点在上，连接，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形可知的度数，再根据圆周角与圆心角的关系即可求解． 【详解】解：∵点为切点， ∴， ∵, ∴, ． 34．（2026·河南许昌·一模）如图，，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，连接． (1)求证：平分； (2)当，时，___________． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用切线的性质结合证得，再由等边对等角和平行线的性质推出，从而得证结论； （2）通过构造辅助线，证明四边形是矩形，利用矩形的性质和勾股定理结合已知条件求得的半径，从而求得的长度，最后利用勾股定理得到的长度，由即可求得的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与边相切于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴平分． （2）解：如图，连接，作交于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴的半径为， ∴, ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 35．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的半圆分别交，于点，，半圆与相切于点．若，则图中阴影部分的周长为__________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得出直角，求出，根据等角对等边以及勾股定理求出相关线段的长度，最后利用弧长公式求出弧长． 【详解】解：如图，连接， ∵半圆与相切于点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 的长度为， ∴阴影部分的周长为． 正多边形和圆 考点07 36．（2026·河南商丘·一模）周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是，，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出相同周长，分别计算三个图形的面积，再验证选项得到结果，正六边形可拆分为多个小正三角形计算面积． 【详解】解：设三个图形的周长均为（）， 则正三角形边长为， 如图，设为的中点，则，， ， ∴， ∵正方形边长为， ∴， ∵正六边形边长为，正六边形可拆分为6个边长为的正三角形， 为的中点，每个正三角形的高， 则， 比较大小得，故选项A，B错误； 验证等式：， 左边 对选项D，右边， ∴左边=右边，选项D正确，选项C错误． 37．（2026·河南周口·一模）若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接、，证明是等边三角形，得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵正边形的半径等于它的边长， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即该正边形的中心角为， 又∵正边形所有中心角的和为， ∴． 38．（2026·河南周口·一模）在中国古代文化中，玉璧寓意吉祥如意，象征着美好的意愿和高贵的品质．如图，这是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．若正方形的面积为4，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】连接、相交于，作于，根据题意求得，，利用圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接、相交于，作于， ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 求弧长和扇形面积 考点08 39．（2026·河南·一模）如图，，以O为圆心，长为半径画弧，交于点A，B，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一个动点，连接，．若，则阴影部分周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的长，作点D关于的对称点，连接交于点，连接，则，此时，的最小值为，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：平分， ∴ ， ∴的长， 作点D关于的对称点，连接交于点，连接，则，此时，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为． 40．（2026·河南商丘·一模）如图，等腰直角三角形中，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分周长为______． 【答案】 【分析】连接，，根据图中阴影部分周长为解答即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴，， ∵点为的中点，的长为半径， ∴为圆D的直径， ∴，， ∴，， 根据题意得：， ∴， ∴图中阴影部分周长为． 41．（2026·河南周口·一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图如图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则图2所示图形的周长是___________． 【答案】 【分析】如图，连接，，，由切线的性质得到，求出优弧对应的圆心角为，然后利用弧长公式求出优弧的长，证明出，得到，，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，分别与所在圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴优弧对应的圆心角为， ∴优弧的长是：， ∵，， 由切线长定理得， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴图2所示图形的周长是． 42．（2026·河南平顶山·一模）如图，已知是矩形的一条对角线，，．以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，则的长为_______．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，求出，根据题意得到，，求出，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：矩形，， ， ， ， 以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E， ， ， ， ． 43．（2026·河南许昌·一模）如图，在中，，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线可得，则，由外角定理可得，由题意可得，可得，则，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴的长为． 44．（2026·河南周口·一模）如图，为的外接圆，为直径，是上一动点，连接，若，． (1)求的半径； (2)若，求的长（结果保留）． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再利用勾股定理得出直径的长，即可解答；（2）先连接，再利用勾股定理的逆定理，得出是直角三角形，最后利用弧长公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵为的外接圆，为直径， ∴． ∵，， ∴， ∴的半径为． 答：的半径为10． （2）解：如图，连接． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴的长为． 答：的长为． 45．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以为直径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】利用锐角三角函数求出，然后利用三角形面积减去扇形面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 46．（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， 则， ∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则， ∴， 解得：， 则． 47．（2026·河南许昌·一模）如图，在扇形中，，，交于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 在中，，则、、，利用勾股定理求出和的值，利用计算即可． 【详解】解：， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： ， 即． 求其他不规则图形的面积 考点09 48．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据阴影部分的面积等于，进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵以边的中点O为圆心的半圆与相切， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴ ． 49．（2026·河南南阳·一模）如图是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，测得，，则花窗的面积为________． 【答案】 【分析】延长交于点O，过点O作，证明是等边三角形，用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：延长交于点O，过点O作， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴花窗的面积为． 50．（2026·河南信阳·一模）如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对圆周角等于，已知垂直的条件证明，即可判定； （2）根据可得，进而可得为等边三角形，由此得出阴影部分所在扇形的圆心角等于，再根据阴影部分的面积等于扇形减去计算即可． 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴ 在与中 ∴． （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴，为等边三角形． ∴，． ∴， ∴． 51．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点O为圆心，长为半径作弧交y轴的正半轴于点B，过点作y轴的平行线交弧于点D，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据题意可得，，在中，根据​，得出，由勾股定理得，最后根据​求解即可． 【详解】解：连接， 根据题意可得，， 在中，，， ∴​， ∴， 由勾股定理得， ∴​． 52．（2026·河南焦作·一模）如图，是边长为2的等边三角形，分别以，为斜边作等腰直角三角形和，，，的圆心分别是点C，D，E，半径分别是，，，图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察图形，发现阴影部分的面积可以看作是扇形的面积加上弓形的面积，再减去弓形的面积．由于和是全等的等腰直角三角形，对应的弓形面积相等，从而简化计算． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴ 扇形（圆心为C，半径为）的面积为∶ ， ∵和分别是以，为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 扇形（圆心为D，半径为）的面积为：， 的面积为：， ∴ 弓形（由弧和弦围成，圆心为D）的面积为： ， 同理，弓形（由弧和弦围成，圆心为E）的面积为：， ∴， ∵， ∴． 53．（2026·河南平顶山·一模）如图，在中，，，D是上一点，以为直径作，交于点E，过点 E 作的切线，交于点 F．若，，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】 【分析】连接，可得是等边三角形，求出，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，则，，根据阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， 又，， ∴ ∴ 又∵在中，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴，则，， ∴阴影部分面积 ． 54．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出，再根据题意得出为等边三角形，则 ，再根据扇形面积公式求出，再根据求解即可． 【详解】解：连接，连接并延长交于，如图， ∵在中，， ∴， ∵分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点， ∴， ∴为等边三角形，垂直平分， ∴ ，，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】解题的关键是根据题意推出，不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算． 55．（2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，再结合扇形面积公式以及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵与正方形均为中心对称图形，且正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $