专题08 四边形（9大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08四边形 ☆9大考点概览 考点01利用平行四边形的性质求解 考点02平行四边形的判定与性质综合 考点03三角形中位线 考点04矩形的性质 考点05矩形的判定与性质综合 考点06菱形的性质 考点07菱形的判定 考点08正方形的性质 考点09正方形的判定与性质综合 考点01 利用平行四边形的性质求解 1.(2026河南周口一模)如图，在☐ABCD中，将△ADC沿对角线AC折叠后，点D恰好落在DC的延 长线上的点E处.若AB=2,BC=4,则BE的长是() D A.2V2 B.3 c.25 D.25 2.(2026河南信阳·一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,对角线AC、BD交于点0，点P是AB的 中点，连接DP,点E是DP的中点，连接OE,则OE的长是() A.1 B. C.2 D. 3.(2026河南一模)如图，在口ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G,若 BE=8,则GE的长为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2026河南平顶山一模)如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在AO, B0上，且EFAB,己知CD=6,AE:E0=1:2,则EF的长为() D A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 5.(2026河南周口一模)如图，在□ABCD中，AB=5,BC=8,E是边AB上一点，且AE=2,以A 为圆心，AE长为半径作⊙A,P是⊙A上一动点，连接BP、CP,若☐ABCD的面积为36，则△BPC 面积的最小值为() D B A.8 B.10 C.12 D.14 6.(2026河南驻马店·一模)如图所示，在☐ABCD中，E是AD上一点，且AE=2DE,连接AC,BE交 于点F,则器的值为() D A.号 B. C. D. 7.(2026河南郑州一模)如图，☐ABCD中，E是BC上一点，且BE=2CE,连接AE、BD交于点F, 则器的值为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D F A.号 B. c. D.月 8.(2026河南新乡.一模)如图，在☐ABCD中，对角线AC,BD交于点0，若OB-OC=1,则 BD-AC=() A B A.4 B.3 C.2 D.1 9.(2026河南三门峡.一模)如图，在☐ABCD中，O为BD的中点，EF过点0且分别交AB,CD于点E,F ·若AE=10,则CF的长为 A E B 考点02 平行四边形的判定与性质综合 10.(2026河南信阳一模)如图，在□ABCD中，AC,BD交于点O,点E,F在AC上，AE=CF.要 使四边形EBFD为菱形，还需添加的一个条件是() B A.OE=OF B.OB=OD C.EF=BD D.∠BAC=∠DAC 11.(2026河南洛阳·一模)如图，☐ABCD中，∠B=45°，将☐ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落 在DC延长线上的点D处，AD交BC于点E,若DD=2,则BE的长为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.1 B.2 c. D. 12.(2026河南郑州一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90·,CD为斜边AB上的中线. B (I)请用无刻度的直尺和圆规在AC下方作∠CAM,使得∠CAM=∠BAC.(保留作图痕迹，不写作法) (②)在射线AM上有一点E,满足AE=AD,连接CE,求证：四边形ADCE是菱形， 13.(2025河南周口一模)请阅读以下材料，并完成相应任务 问题背景：如图①，矩形0ABC的边AB,BC分别与反比例函数y=奈(x>0)的图象交于点D,E. 小红的探究：如图②，过点D作DF⊥y轴于点F,过点E作EG⊥x轴于点G.根据反比例函数中k的几何意义，可 CEEG=AD·DP,又EG=AB,DF=BC,CE·AB=AD·BC,:需=器 小明说：“如图③，连接DE,AC,在小红的结论的基础上继续探究，可以得到DE‖AC.” 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ (1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由. (2)如图④，直线MN分别与x轴、y轴交于点N,M,与反比例函数y=会(x>0)的图象交于点D,E.求 证：EM=DN (3)如图⑤，矩形0ABC的边AB,BC分别与反比例函数y=奈(x>O)的图象交于点D,E.连接0D, OE,DE.若点D为AB的中点，则S△oDE= (用含k的代数式表示). 考点03 三角形中位线 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(2026河南许昌一模)如图，DE是△ABC的中位线，则下列结论不正确的是() B A.DE‖BC B.BC=2DE C.鋁- D.器= 15.(2026河南周口.一模)定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形斜 边的中点，我们称这样的两个三角形为对角直角三角形”.如图，AB=3V3,∠ACB=30°，△ABC和 △D0E为对角直角三角形（∠A=∠DOE=90·),O为BC的中点，AB与0D交于点M,OE与AC交 于点N.若M为边AB的三等分点，则CN的长为 D M B 16.(2026河南商丘·一模)把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三 角形，如图，△AB1C1是等边△ABC的中点三角形，△A2BC2是△A1B:C的中点三角形，.依此类 推，当AB=2时，△A,BnCn的面积为(） A C2 B C A.() B.() c.()”5 D.()1. 17.(2026河南商丘一模)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,AB=5,点E是 CD的中点，连接0E,则OE的长是() D 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B. C.3 D.4 18.(2026河南新乡一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8V2,CD是边AB的垂直平分线， M是边AC上一点，且AM=2,作DN⊥DM,交BC于点N,若点P在直线MD上，且DP=MD,则 △PNB的面积为 19.(2026河南商丘一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6,点F是AB中点， 连接CF,把线段CF沿射线BC方向平移到DE,点D在AC上.则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四 边形CFDE的周长是() D A.20 B.18 C.16 D.14 20.(2026河南周口一模)如图，为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点间的距离，同学们在AB外选择 一点C,测得AC=5m,BC=4m,AC,BC两边中点的距离DE=3m,则A,B两点间的距离是() D A.6m B.6.5m C.7m D.7.5m 21.(2026河南周口.一模)如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,E,F分别是AD,BC的中点，P是直线 FD上一动点，过点P作PG‖AD,交直线EF于点G,H是线段AP的中点，连接GH. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B F 图1 图2 备用图 (1)观察猜想 如图1，当点P在线段FD的延长线上时，线段GH与PD的数量关系和位置关系为 (2)类比探究 如图2，当点P在线段DF的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立， 请说明理由。 (3)拓展延伸 若AB=2,当点P在线段FD的延长线上，且△PAD的一个内角是另一个内角的2倍时，请直接写出 △PGH的面积 考点04 矩形的性质 22.(2026河南信阳一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,点M是边CD的中点，点N是 BC边上一个动点，连接AM、MN.将△AMN沿MN折叠，点A的对应点为点A',当△AMN为直角 三角形时，BN的长为 D M B 23.(2026河南信阳.一模)如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙0与AB,BC都相切，且经过矩形 ABCD的顶点D,与CD相交于点E.点A的坐标是（一5,3），则点E的坐标是 D 24.(2026河南商丘一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,点M,N分别在边AB,CD上， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将矩形ABCD沿着MN折叠，使点C的对应点C正好落在边AD上（不与两端点重合）.若CD=专BC,则 CN- 折痕MN的长度的取值范围为 M D 25.(2026河南平顶山一模)如图，已知BD是矩形ABCD的一条对角线，CD=3,∠CBD=35·.以 点A为圆心，AB长为半径画孤，交BD于点E,则BE的长为 ·(结果保留π) D 26.(2026河南周口一模)如图，线段BC⊥BQ,BC=BQ,点A为线段BQ上一动点，以AB,BC为边 作矩形ABCD中，沿对角线AC翻折△ABC得到△AEC,连接BE,DE,BE与AC交于点F, B 图1 图2 (1)如图1，求证：DE⊥BE (②)如图1，当BE=DE时，求器的值. (3)如图2，若BC=8,在点A从点B向点Q的运动过程中，当△AED中有一个角是15°时，直接写出此时 线段EF中点运动的路径长 27.(2026河南周口一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是BC边上一点，连接AE, 将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B处，当△CEB为直角三角形时，BE的长为一· 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 28.(2026河南周口一模)综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程 中建立几何直观.在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠.如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB=5,AD=13,折叠纸片使点A落在点A处，并使折痕经过点B,得到折痕BP,把纸片展开， 连接AB,AP 图1 图4 【问题解决】 (1)如图2，连接PC,在折叠过程中，当点A恰好落在线段PC上时，tan∠ABC= ’AP= (②)如图3，连接BD,将矩形纸片ABCD折叠，使得点C的对应点C落在对角线BD上，并使折痕经过点D, 得到折痕DQ,再把纸片展开，连接CQ.当点A也落在对角线BD上时，试判断四边形BPDQ的形状，并 说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图4，延长BA交线段CD的延长线于点Q,交线段AD于点M.当△MDQ的斜边与直角边之比为 2:1时，请直接写出AP的长 考点05 矩形的判定与性质综合 29.(2026河南平顶山一模)项目学习 项目背景：如图，“源池泉涌”为某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两 栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底.从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形.综 合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.请根据数据，计算内 栏墙围成泉池的直径BC的长.（结果精确到1m.参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5o≈0.99， tan8.5°≈0.15，sin37o≈0.60，c0s37o≈0.80，tan37o0.75) 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 图1为该景点俯视图的示意图，点AD是正 图中点AB,CD在同一条直线上 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直 与水平地面垂直，且AE=DF.BE,CF 竖直平面内， 外栏墙 内栏墙 道 方案说明 C危险B E) 活动过程 俯视图的示意图 图1 地面 栏 步道 测量方案示意图 图2 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠D 数据测量 中墙的厚度均忽略不计. 计算 交流展示 30.(2026河南南阳一模)嵩岳寺塔（图1）位于河南省登封市嵩岳寺内，是第一批全国重点文物保护单位. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 某综合实践小组想通过所学知识测量该塔的高度，图2为测量示意图.嵩岳寺塔AB的前面有一座高20m的 建筑物CD,小组成员在点E处用测角仪测得塔顶B的仰角为45·（点A,E,C在一条直线上），在建筑物 顶部D处测得塔顶B的仰角为18·，测得E处的俯角为53·，图中所有点均在同一平面内.求嵩岳寺塔 AB的高度.（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53·≈0.60，tan53°≈1.33， sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32) D T8° 53o1 45 E 图1 图2 31.（2026河南洛阳一模)洛阳市凌波大桥采用双塔双索面斜拉式设计，两座桥塔一高一低，分别象征着 科技精神与工业力量，某校综合实践小组要用测角仪测量较低的桥塔AB的高度，数据勘测组通过勘测得到 了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量凌波大桥的桥塔AB的高度 测量工具 测角仪，红外测距仪等 相关数据及说明：图中点A是桥塔的最高点，MN是桥面，在C 处用测角仪测得顶端A的仰角a为45·，沿NM方向行走至点D, 在点D处用测角仪测得顶端A的仰角阝为37°，已知测角仪的高 DF=CE=1.4m,用红外测距仪测得CD=20.5m. 己知图中各点均在同一竖直平面内，点MD,C,B,N在同一 过程资料 水平直线上. A B N 成果梳理 请根据记录表提供的信息完成下列问题： 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)计算桥塔AB的高度（结果精确到1m·参考数据：sin37°≈0.60，cos37o≈0.80，tan37°≈0.75 ,V2≈1.41.) (2)资料显示，桥塔AB的高度约为63.5m,请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议。 32.(2026河南驻马店一模)山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构.小明及其学习小组 想知道山上信号钢支架AB的高度，在山脚D处测得信号钢支架顶端A的仰角为45·，沿着斜坡从点D走到 点E处测得信号钢支架顶端A的仰角为70°，已知DE的坡度为3：4，学习小组画出如图所示的示意图， AC⊥DC于点C,EB⊥AC于点B,DE=50米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据作答（在 测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，第(1)问结果保留整数，第(2)问结果保留小数点后一 位，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) D45 (I)求出山BC的高度： (2)求出信号钢支架AB的高度. 33.（2026河南新乡.一模)综合与实践 在四边形ABCD中，AB‖CD,∠B=90°，AB=BC=6,点E是射线BC上的一个动点，连接AE,将线 段EA绕点E顺时针旋转90°，得到EF,作射线CF. B E B C E M 图1 图2 ()【动手操作】 如图1，在边AB上截取BQ=BE,连接EQ,则∠AQE= (2)【深入探究】 ①在图2中找出与∠DCF相等的角，并说明理由； ②若AD,F三点共线，设BE=m,求CD的长（用含m的式子表示）. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)【拓展应用】过点F作FG‖AE,交直线CD于点G,连接AG,若CE=2,请直接写出AG的长. C M 备用图 34.(2026河南商丘·一模)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转 a(0<&<90°)得到△APQ,点B,C的对应点分别为点P,Q.QP的延长线交BC于点M. M 图1 图2 (I)试判断BM与PM的数量关系，并证明； (2)当AQI‖BC时，如图2，连接CQ,射线BP交CQ于点N. ①请判断CN与NQ的数量关系，并证明； ②若△ABC的两直角边的比为4：3， 请直接写出器的值。 考点06 菱形的性质 35.(2026河南一模)如图，在菱形ABCD中，E是AD延长线上一点，连接BE交AC于点0，己知 AB=4,AC=6,∠A0E=∠ABC,则AE的长为 36.(2026河南周口一模)如图，线段AC是菱形ABCD的对角线，AB=5,AC=6,点M,N分别是边 AB,BC上的动点，连接MN,将△BMN沿MN折叠，使点B的对应点P始终落在AC上，当△PNC为 直角三角形时，线段BN的长为 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 37,(2026河南南阳一模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60°，E为射线AD上一点，连接 BE,以BE为边在BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF,过点F作FG‖AD交DC的延长线于点G,连接 BG,若BG=3DE,则AE的长为· G Dx E B 4 60 3x 23M G 图2 同理①，可得CM=2,BM=2W5, AE=CF=CG=4+x,GM=CG-CM=2+x, 在Rt△BMG中，BM2+GM2=BG2, 即(25)2+(2+x)2=(3x)只，解得x=因+（负值己舍去）， “AE=4+x=17+33 综上所述，AE的长为17-或17+3国 38.(2026河南洛阳一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AB,垂足为E, 连接0E,若0E=2,∠DAB=60°，则DE的长为() D 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.2W5 C.3 D.导 39.(2026河南商丘一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形A0BC的边0B在x轴上，己知点A的坐标 为(3,4)，将菱形AOBC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第18次旋转后点C的对应点C18的坐标 为() A.(-3,8)B.(-4,8) C.(-8,-4) D.(-8,-3) 40.(2026河南周口一糢)如图1，菱形ABCD的边长为6，动点P,Q同时从点A出发，点P沿线段AD向 终点D运动，点Q沿折线A一B一C-D向终点D运动，两点同时到达终点并停止运动.设运动的时间为x秒， △APQ的面积为y,y与x的关系如图2所示，有下列说法：①点P的速度为每秒1个单位长度；②点Q的 速度为每秒3个单位长度；③菱形ABCD的面积为30；④∠A=60·,其中正确的有() 10 B D 4 6 x秒 图1 图2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点07 菱形的判定 41.(2026河南信阳·一模)综合与探究. 问题情境：如图1，在三角形纸片ABC中，AB>BC,点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折叠 该纸片，使DB的对应线段DB与BC平行，且折痕与边BC交于点E,得到△DBE,然后展平. B D Y B2---- E C E 图1 图2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)猜想证明：判断四边形BDB'E的形状，并说明理由 (2)拓展延伸：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A落在射线DB上，且折痕与边AC 交于点F,然后展平.连接AE交边AC于点G,连接AF ①若AD=2BD,判断DE与AE的位置关系，并说明理由： ②若∠C=90°，AB=15,BC=9,当△AFG是以AF为腰的等腰三角形时，请直接写出AF的长。 42.(2026河南南阳一模)如图1，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AE=CD,AD=EC E B 图1 图2 (I)求证：四边形ADCE为菱形； (2)请在图1中，用无刻度的直尺和圆规作射线DFAC,交BC于点F(保留作图痕迹，不写作法)： (3)如图2，若点O为AC上一点，AC=4,且E,A,D三点均在⊙0上，CD与⊙0相切于点D,则 ⊙0的半径r= (直接写出答案，不说明理由) 43.(2026河南许昌一模)综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. A D B B B E 图1 图2 备用图 (1)【操作判断】 如图1，折叠矩形纸片ABCD,使点A与点C重合，折痕为EF,将纸片展开，连接AE,CF,则四边形 AECF的形状是 (2)【深入探究】 如图2，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别是BC,AD边上的点，且BE=DF,将△ABE沿AE翻折得 到△AME,将△CDF沿CF翻折得到△CNF,连接AN,CM,得到四边形AMCN,请你猜想四边形 AMCN的形状，并给出证明， (3)【拓展应用】 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在(2)的条件下，若AB=10,BC=12,当直线MN与矩形ABCD的一边平行时，请直接写出BE的长. 44.(2026河南平顶山一模)在四边形ABCD中，AB‖CD,BC⊥AB,且AB=AD=2BC,DC<BC ·点P是线段AD上一动点（点P不与点A重合），连接BP,作△ABP关于直线BP的对称△EBP,点A 的对应点为点E. D D B 图1 图2 备用图 (I)观察猜想：如图1，∠BAD= 。,连接AE,DE,当点P为AD的中点时，△ADE的形状是 ； (2)探究证明：如图2，设AD与BC的延长线相交于点F,连接EF,当EP‖BF时，判断四边形BFEP的形 状，并说明理由； (③)拓展延伸：已知BC=V5,当EB与四边形ABCD的边垂直时，直接写AP的长. 45.(2026河南三门峡.一模)李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答. 如图，在△ABC中，AB=AC,将△ABC沿AC翻折得到△ADC,点B的对应点为点D, D 图1 图2 (I)如图1，若AD‖BC,则四边形ABCD的形状为 (②)当AD与BC不平行时，过点A作BC的平行线，交射线CD于点E,过点E作AB的平行线，交射线BC于 点F ①猜想线段DE与CF的数量关系，并仅就图2的情形说明理由. ②若AB=3,CF=1,请直接写出线段CE的长， 考点08 正方形的性质 46.(2026河南南阳一模)如图，折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处，折痕BE交 AC于点G.则器的值是() 1/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B A. B.2V2 c.22+1 D.2+1 47.(2026河南周口一模)如图，在扇形A0B中，己知∠A0B=90°，0A=0B=2,正方形0ECD的 顶点D、C、E分别在OA、AB、OB上，把正方形0ECD的沿直线OB向右平移，得到正方形GNMF,其 中点D的对应点F恰好与C重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为 A A C(F) M D 48.(2026河南周口一模)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE=DH,CH 与BE,BD分别交于点F和点G,连接GE.下列结论：①CH=BE且CH⊥BE;②S△GCD=S四边形DEGH ;③当E是CD的中点时， 器=寻；④当DE=2EC时，S正方形ABCD=8S四边形DEGH,其中正确结论有() 个 A D A.4 B.3 C.2 D.1 49.(2026河南平顶山一模)如图，点P是正方形ABCD边上的一动点，连接AP,将线段AP绕点P逆时 针旋转90°得到线段EP,连接CE.若AB=3,当PC=1时，线段CE的长为 D 50.(2026河南周口一模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC和CD上，过点A作GA⊥AE, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交CD的延长线于点G,BE+DF=EF,若∠DAF=30°，则∠BAE=· G D F B E 51.(2026河南洛阳一模)如图，正方形ABCD中，AB=2,O是BC边的中点，点E是正方形内一个动 点，OE=1,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF,连接AE,CF,OF.则线段OF长 度的最小值为· D E 0 52. (2026河南信阳一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为 (1,0),点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3)，则EF的长为() D A OB A.V反 B.是 c.5 D. 53.(2026河南许昌一模)如图，折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处，折痕BE交 AC于点G,若AB=2,则△DEF的周长为() A G A.2W2 B.迈 c.2+V2 D.4-22 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 54.(2026河南安阳一模)《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学 原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图”（也称勾股圆方图），在如图所示的“赵爽 弦图中，中间小正方形ABCD的边长为1，分别以B,D为圆心，AB长为半径作弧，则图中阴影部分的面 积为() A.π-3 B.号-1 C.牙- D. 55.(2026河南平顶山一模)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E在0B上，且 BE=2OE,连接CE并延长，交AB于点H,交DA的延长线于点F,则器的值为() F D B A. B.青 c.号 D. 考点09 正方形的判定与性质综合 56.(2026河南许昌一模)动手操作是学习数学的一种好方法.如图，小华同学在一次折纸活动中，将一 张A4纸（长宽比为V2:1)ABCD沿AF折叠，使点B落在AD边上的点G处，再沿FI折叠，使点C落在FG 边上的点H处，则矩形GHID的长与宽的比值为 G D B C 57.(2026河南驻马店一模)如图，点D在圆心角为90·的扇形AOB的半径0A上，矩形0BCD与AB交 于点E,EF⊥OB于点F,若OD=OF=1,则图中阴影部分的面积是 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E D C B 58.(2026河南开封一模)如图，在△ABC中，将△ABC折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在 直线上一点，若AB=AC=2V5,BC=4,∠ACD=45°，线段BD的长为 一 B 1/6 专题08 四边形 9大考点概览 考点01利用平行四边形的性质求解 考点02平行四边形的判定与性质综合 考点03三角形中位线 考点04矩形的性质 考点05矩形的判定与性质综合 考点06菱形的性质 考点07菱形的判定 考点08正方形的性质 考点09正方形的判定与性质综合 利用平行四边形的性质求解 考点01 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠和平行四边形的性质可得，，即可得，四边形是矩形，再根据矩形的性质解答即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ∵点在的延长线上，即、、三点共线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 2．（2026·河南信阳·一模）如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 3．（2026·河南·一模）如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 4．（2026·河南平顶山·一模）如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在，上，且，已知，，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意判断，由相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】先求出边上的高，确定点P到距离的最小值，再可利用平行四边形面积公式求出边上的高．因为点P在上，所以要先确定点A到的距离，再结合的半径，得到点P到的最小距离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】如图，作，， 在中，，， ∴面积最小等价于最小． ∵面积为， ∴ ， ∵是上的动点，的半径， ∴圆上点到的最小距离为： ， 代入面积公式得最小面积： ． 6．（2026·河南驻马店·一模）如图所示，在中，是上一点，且，连接，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 7．（2026·河南郑州·一模）如图，中，E是上一点，且，连接、交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可求出，证明，根据相似三角形的性质求出，然后根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·河南新乡·一模）如图，在中，对角线，交于点，若，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由平行四边形对角线相互平分求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 9．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为______． 【答案】10 【分析】平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，再进一步说明即可解答． 【详解】解：∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即． 平行四边形的判定与性质综合 考点02 10．（2026·河南信阳·一模）如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，结合菱形的判定定理，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 选项B由已知可得，不需要添加， ∵， ∴，即， 选项A由已知可得，不需要添加， ∴四边形是平行四边形， 添加选项C，无法证得四边形为菱形， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴． 若添加选项D， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 11．（2026·河南洛阳·一模）如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 【详解】解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 12．（2026·河南郑州·一模）如图，在中，，为斜边上的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在下方作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在射线上有一点E，满足，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交、于两点，以的交点为圆心、以与交点间的距离为半径画弧，两弧交点即为，连接，即可得到． （2）由直角三角形斜边中线定理得，进而可得．由作图知，则，可证，又，结合，进而可证四边形是平行四边形，再由，可证四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：，为斜边上的中线． ， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题以直角三角形为载体，融合了尺规作图、直角三角形斜边中线性质、平行线判定与菱形判定，核心是通过等角转化推导线段平行，结合线段相等关系先证平行四边形，再由邻边相等得菱形，体现了几何证明中“转化思想”与“判定定理综合应用”的思路． 13．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” (1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． (2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． (3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 【答案】(1)正确，见解析 (2)见解析 (3)k 【分析】（1）由，可得，求证，即可求解； （2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解； （3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可. 【详解】（1）解：正确．证明如下： 由，可得． 又， ， ， ． （2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则； 又，， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ； （3）解：如图（2），连接，，则． 又， ， ，， ， ． 三角形中位线 考点03 14．（2026·河南许昌·一模）如图，是的中位线，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中位线的性质可判断，根据平行线分线段成比例可判断，证明，根据相似三角形的性质可判断． 【详解】解： 是的中位线， ，， ， 故正确，不符合题意， ， ， ， 故不正确，符合题意． 15．（2026·河南周口·一模）定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”．如图，，，和为对角直角三角形（），O为的中点，与交于点M，与交于点N．若M为边的三等分点，则的长为______． 【答案】4或5 【分析】在中，解直角三角形得，过点O作于点P，作于点Q，根据、O为的中点得、是的中位线，从而得，，根据M为边的三等分点，分两种情况讨论，分别为和，分别证明，求出，根据计算即可． 【详解】解：在中，， 过点O作于点P，作于点Q， ∵，O为的中点， ∴，是的中位线，， ∴，， 分两种情况：①如图1，当时，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，，， ∴， 同理易证得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为4或5． 16．（2026·河南商丘·一模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积为，根据三角形中位线定理得到，相似比为，的面积为，的面积为，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，过C点作， ∵是等边三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， ∵的面积为， ∴的面积为， 同理，的面积为， 则的面积为． 17．（2026·河南商丘·一模）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，．点E是的中点，连接，则的长是（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：在菱形中，，为的中点， 又E是的中点， 为的中位线， ． 18．（2026·河南新乡·一模）如图，在中，，是边的垂直平分线，是边上一点，且，作，交于点，若点在直线上，且，则的面积为___________． 【答案】9或15 【分析】分两种情况讨论：①当点P在线段的延长线上时，取的中点Q，连接并延长交于点E，连接、，由垂直平分线的性质易得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可知，，结合，利用证得，进而求得，然后根据，，得到，从而求得，，是等腰直角三角形，进而根据面积公式求解即可；②当点P在线段上时，取的中点G，连接并延长交于点F，连接、，同理求得，，，易证是的中位线，从而证得是等腰直角三角形，进而求得和，即可根据面积公式求解． 【详解】解：①如图，当点P在线段的延长线上时，取的中点Q，连接并延长交于点E，连接、， ∵在中，，是边的垂直平分线，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，点Q是的中点， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点P在线段上时，取的中点G，连接并延长交于点F，连接、， 同理可得，，， ∵，点G是的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为9或15． 19．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得，由中位线得，再利用平行四边形周长公式求解． 【详解】解：∵，，．点F是中点， ∴， ∵把线段沿射线方向平移到，点D在上， ∴是的中位线， ∴， ∴线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是． 20．（2026·河南周口·一模）如图，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线的性质进行求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴为的中位线， ∴． 21．（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，分别是的中点，是直线上一动点，过点作，交直线于点是线段的中点，连接． (1)观察猜想 如图1，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系和位置关系为　　　　　　． (2)类比探究 如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)拓展延伸 若，当点在线段的延长线上，且的一个内角是另一个内角的2倍时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）连接并延长交的延长线于点，根据题意得出四边形、是正方形，根据分别为的中点，得出，，结合，即可求解； （2）同（1）的方法证明，即可求解； （3）根据题意得出只有两种情况，即或满足的一个内角是另一个内角的2倍，过点作于点，设，则，进而得出，分类讨论得出，，解直角三角形，得出的值，即可求解． 【详解】（1）解： 如图，连接并延长交的延长线于点， ∵矩形，分别是的中点， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵ ∴四边形是正方形， 同理四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 同理是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∵ ∴ ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下， 如图， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵分别为的中点， ∴， 又∵， ∴ ∴； （3）解：∵的一个内角是另一个内角的2倍， ∴只有两种情况，即或 如图，过点作于点， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 设，则， ∴，则 ∴ ∴ ∴ ∴ 当 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 当时， ∴ 在中， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，的面积为或． 矩形的性质 考点04 22．（2026·河南信阳·一模）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上一个动点，连接、．将沿折叠，点A的对应点为点，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】或或 【分析】分情况讨论，当时，利用翻折的性质可证；当时，利用翻折的性质可证；再分别利用相似三角形对应线段成比例即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，，． ∵点M是边的中点， ∴． 由折叠得． 如图1，当时，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴，． 如图2，当时，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得或． 则的长为或或． 23．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与都相切，且经过矩形的顶点D，与相交于点E．点A的坐标是，则点E的坐标是________． 【答案】 【分析】连接，利用切线的性质和勾股定理求出，，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵半径为5的与都相切， ∴轴． 设交x轴于点M，交x轴于点N， ∵点A的坐标是， ∴，， 在中，． 在中，，， ∴． ∴． 24．（2026·河南商丘·一模）如图，在矩形中，，，点M，N分别在边，上，将矩形沿着折叠，使点C的对应点正好落在边上（不与两端点重合）．若，则____________；折痕的长度的取值范围为____________． 【答案】 【分析】（1）设，则，运用勾股定理计算即可； （2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值，当与点A重合时，取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵矩形中，，，沿着折叠矩形， ∴，，，，； 设，则， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴． （2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值， ∵矩形中，，，， ∴四边形是矩形， ∴； 当与点A重合时，取得最大值， ∵矩形中，，，沿着折叠矩形， ∴，，，； 设，则， ∴， ∴， 解得． ∵矩形中，沿着折叠矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴； 过点N作于点E， 则四边形是矩形， ∴，，； ∴， ∴， 故折痕的长度的取值范围为． 25．（2026·河南平顶山·一模）如图，已知是矩形的一条对角线，，．以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，则的长为_______．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，求出，根据题意得到，，求出，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：矩形，， ， ， ， 以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E， ， ， ， ． 26．（2026·河南周口·一模）如图，线段，，点为线段上一动点，以为边作矩形中，沿对角线翻折得到，连接与交于点． (1)如图1，求证：． (2)如图1，当时，求的值． (3)如图2，若，在点从点向点的运动过程中，当中有一个角是时，直接写出此时线段中点运动的路径长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由对折可得： 是的垂直平分线，可得，，如图，记的交点为，结合矩形的性质，等腰三角形的性质证明，可得，而，可得； （2）如图，连接交于，结合矩形，可得，证明，设，再进一步求解即可； （3）如图，当时， 求解，，记的中点为，过作交的延长线于，证明在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，当时，如图，结合（1）得：，求解，，当不符合题意，舍去；进一步结合弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：由对折可得：，，， ∴是的垂直平分线， ∴，， 如图，记的交点为， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴． （2）解：如图，连接交于，结合矩形， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当时， ∵， ∴， 结合翻折可得：，，， ∴，， 记的中点为，过作交的延长线于， ∴，， ∴，， ∴，， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴， ∴线段中点运动的路径长为； 当时，如图， 结合（1）得：， 同理：， ∴，， ∴线段中点运动的路径长为； 当不符合题意，舍去； 综上：线段中点运动的路径长为或． 27．（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】为直角三角形时，需分两种情况讨论：和，不可能为直角，只需计算前两种情况即可． 【详解】解：已知矩形中，，，由勾股定理得对角线， 由折叠性质得：，，， 设，则． ①如图，当时： ， ，即、、三点共线， ， 在中，由勾股定理得：， 即，解得，即． ②如图，当时： 又， 四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ，此时，符合题意． 不可能为直角，故舍去． 综上的长为或． 28．（2026·河南周口·一模）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点A落在点处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展开，连接，． 【问题解决】 (1)如图2，连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，________，________； (2)如图3，连接，将矩形纸片折叠，使得点C的对应点落在对角线上，并使折痕经过点D，得到折痕，再把纸片展开，连接．当点也落在对角线上时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图4，延长交线段CD的延长线于点Q，交线段于点M．当的斜边与直角边之比为时，请直接写出的长． 【答案】(1)，1 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由折叠的性质推出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）证明，得到，根据即可证明； （3）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， 理由：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 又 四边形是平行四边形； （3）解：①当时，则，即，如图(1)， ， ， ∴． 在中，， ； ②当时，则，即， ， ， ∴． 在中，， ． 矩形的判定与性质综合 考点05 29．（2026·河南平顶山·一模）项目学习 项目背景：如图，“源池泉涌”为某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．请根据数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径，图中点在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于点，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为，，．图中墙的厚度均忽略不计． 计算 … 交流展示 … 【答案】17m 【分析】由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可. 【详解】解：由题意，得，四边形为矩形， ，， ，． 设，则，． 在中，，， ． 在中，，， ， ， 解得，． 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为． 30．（2026·河南南阳·一模）嵩岳寺塔（图1）位于河南省登封市嵩岳寺内，是第一批全国重点文物保护单位．某综合实践小组想通过所学知识测量该塔的高度，图2为测量示意图．嵩岳寺塔的前面有一座高的建筑物，小组成员在点E处用测角仪测得塔顶B的仰角为（点A，E，C在一条直线上），在建筑物顶部D处测得塔顶B的仰角为，测得E处的俯角为，图中所有点均在同一平面内．求嵩岳寺塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】嵩岳寺塔的高度约为． 【分析】过点作于点，可知四边形为矩形，得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角函数求出，设，根据等角对等边得到，即，，根据三角函数得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴四边形为矩形， ，，． ， ， ， 解得． 设， ， ∴， ， ，， 在中，， 解得． 答：嵩岳寺塔的高度约为． 31．（2026·河南洛阳·一模）洛阳市凌波大桥采用双塔双索面斜拉式设计，两座桥塔一高一低，分别象征着科技精神与工业力量．某校综合实践小组要用测角仪测量较低的桥塔的高度，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量凌波大桥的桥塔的高度 测量工具 测角仪，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点A是桥塔的最高点，是桥面，在C处用测角仪测得顶端A的仰角为，沿方向行走至点D，在点D处用测角仪测得顶端A的仰角为°，已知测角仪的高，用红外测距仪测得． 已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，D，C，B，N在同一水平直线上． 成果梳理 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)计算桥塔的高度（结果精确到．参考数据：，，，．） (2)资料显示，桥塔的高度约为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】(1)桥塔的高度约 (2)误差约， 可以通过多次测量求平均值来减小误差 【分析】连接并延长，交于点H，则，则,可知，即可求解． 【详解】（1）连接并延长，交于点H，则． ，， , 在中，， ， 即： ， 解得： 答：桥塔的高度约． （2）解： 答：误差约，可以通过多次测量求平均值来减小误差． 32．（2026·河南驻马店·一模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点，于点，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据作答（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，第（1）问结果保留整数，第（）问结果保留小数点后一位，参考数据：，，） (1)求出山的高度； (2)求出信号钢支架的高度． 【答案】(1)山的高度为米； (2)信号钢支架的高度约为米． 【分析】（）过点作于点，由于点，于点，则四边形为矩形，然后通过坡度定义即可求解； （）设米，在中，，，则，即，则，在中，，则，然后列出方程即可． 【详解】（1）解：过点作于点，由于点，于点，如图所示： 则四边形为矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度为，且米， ∴， 米， 答：山的高度为米； （2）解：设米， 在中，，， 则，即， ∵， ∴， 在中，，则， ∴， 解得， 答：信号钢支架的高度约为米． 33．（2026·河南新乡·一模）综合与实践 在四边形中，，点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，作射线． (1)【动手操作】 如图1，在边上截取，连接，则___________． (2)【深入探究】 ①在图2中找出与相等的角，并说明理由； ②若三点共线，设，求的长（用含的式子表示）． (3)【拓展应用】过点作，交直线于点，连接，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② (3)线段的长为或10 【分析】（1）证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）①先在上截取，证明，得到，进而求出和的度数，即可；②作，连接，根据勾股定理结合全等三角形的性质，得到，，证明四边形为矩形，得到三点共线，再证明，求出，再根据线段的和差关系求出即可； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 在上截取，连接， 由（1）可知：， ∵， ∴，，即， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作，连接， ∵， ∴，， 由①可知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时， 作，在上截取，连接，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； ∴， 在中，， ∴； ②当点在线段的延长线上时，作，延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或10． 34．（2026·河南商丘·一模）如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①，证明见解析；②的值为或 【分析】（1）连接，证出即可； （2）①延长，交于点，先证出，再证出即可； ②设的两直角边长分别为，则，过点作于点，则四边形是矩形，再分两种情况：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图1，连接， ∵在中，，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①，证明如下： 如图2，延长，交于点， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②由题意，设的两直角边长分别为， 则， 由旋转的性质得：， 如图3，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （Ⅰ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； （Ⅱ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； 综上，的值为或． 菱形的性质 考点06 35．（2026·河南·一模）如图，在菱形中，是延长线上一点，连接交于点，已知，，，则的长为__________ 【答案】5 【分析】由角度关系证明，即可得出， ，再由，证明，得出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 36．（2026·河南周口·一模）如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________． 【答案】或/或 【分析】连接，与交于点O，根据四边形是菱形，，，得出，，，，勾股定理求出，根据折叠得出，设，则，分两种情况：当时，证明，列方程求解即可；当时，证明，列方程求解即可． 【详解】解：连接，与交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上， ∴， 设，则， 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即， 综上所述，当为直角三角形时，线段的长为或． 37．（2026·河南南阳·一模）如图，在菱形中，，，为射线上一点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为_____． 【答案】或 【分析】先利用菱形性质和等边的条件，证得，推出，再结合证得为等边三角形，得；设，分两种情况讨论：①当点在线段上时，作，用勾股定理列方程，解得后算出；②当点在的延长线上时，同理作，列方程，解得后算出，最终得到的两个可能长度． 【详解】解：四边形为菱形，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ，． ， ， ， 为等边三角形， ， 设，则， 分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如解图，过点作于点， ， ， ，， ，． ， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ②当点在的延长线上时， 如解图，过点作于点 同理①，可得，， ，， 在中，， 即，解得（负值已舍去）， ， 综上所述，的长为或． 38．（2026·河南洛阳·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得到，结合，可证明是等边三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质，可证明，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，最后根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 39．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形性质，点的坐标，图形旋转性质等．先根据题意利用菱形性质求出点C的坐标，再根据旋转性质找出旋转规律，进而求出第18次旋转后点C的对应点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即， ∵菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转次为一个循环， ∴过点作轴，轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ∴第一次旋转后，点的对应点坐标为， 同理：第二次旋转后，点的对应点坐标为， 第三次旋转后，点的对应点坐标为， 第四次旋转后，点的对应点坐标为，此时回到了点C的初始位置， ∵， ∴第18次旋转后点C的对应点的坐标对应的坐标，即， 故选：C． 40．（2026·河南周口·一模）如图1，菱形的边长为6，动点，同时从点出发，点沿线段向终点运动，点沿折线向终点运动，两点同时到达终点并停止运动．设运动的时间为秒，的面积为，与的关系如图2所示，有下列说法：①点的速度为每秒1个单位长度；②点的速度为每秒3个单位长度；③菱形的面积为30；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用数形结合以及菱形的性质逐项进行判断． 【详解】解：①∵四边形为菱形，边长为6， ∴， ∴点的速度为每秒1个单位长度， 该选项正确； ②∵四边形为菱形，边长为6， ∴ ∴点的速度为每秒3个单位长度， 该选项正确； ③由点得，， 菱形边上的高为， 菱形的面积为， 该选项正确； ④假设， 菱形边上的高为，与③中所求的高矛盾， ∴该选项错误； 综上，正确的个数为3个． 菱形的判定 考点07 41．（2026·河南信阳·一模）综合与探究． 问题情境：如图1，在三角形纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． (1)猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． (2)拓展延伸：如图2，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①，理由见解析，②5或． 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可得四边形是菱形； （2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①证明：，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 42．（2026·河南南阳·一模）如图1，在中，D是斜边的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)请在图1中，用无刻度的直尺和圆规作射线，交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图2，若点O为上一点，，且E，A，D三点均在上，与相切于点D，则的半径________．（直接写出答案，不说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，结合已知条件，证得，即可得证结论； （2）运用尺规作图的方法，作，根据平行线的判定得到； （3）连接，由得到，由得到，从而根据三角形的外角的性质得到，再由切线的性质得到，从而，即可求得，因此，据此列出关于r的方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：所求图形，如图所示． （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为r，即， ∴， ∴， 解得． 43．（2026·河南许昌·一模）综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 如图1，折叠矩形纸片，使点A与点C重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． (2)【深入探究】 如图2，在矩形纸片中，点E，F分别是，边上的点，且，将沿AE翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)菱形 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质，易得，，是等腰三角形，从而可得，即可求解； （2）根据矩形的性质和折叠的性质，易证，再利用“”证，从而，最后根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可求证； （3）根据题意，设，则，分类讨论，当直线时，直线分别交、于点、，先说明是的中点，从而，再求，，，根据勾股定理，列出方程求解即可；当直线时，直线分别交、于点、，作于点，同上先说明G是的中点，求，再求，，可根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得，，，， 矩形纸片， ， ， ，即是等腰三角形， ， ， 四边形的形状是菱形； （2）解：四边形是平行四边形， 证明： 矩形纸片， ，，， ， ， ， 由折叠可得，，， ，，，，，， ，， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：第一种情况，当直线时，如图①，直线分别交、于点、， 矩形纸片， ，， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是平行四边形 ， ， ， ，即是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则，， 在中，， 则，解得， 即； 第二种情况，当直线时，如图②，直线分别交、于点、，作于点， 同第一种情况可得，G是的中点，即， 在中，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 设，则，， 在中，， 则，解得， 即； 综上所述：的长为或． 44．（2026·河南平顶山·一模）在四边形中，，，且，．点P是线段上一动点（点P不与点A重合），连接，作关于直线的对称，点A的对应点为点E． (1)观察猜想：如图1，_______，连接，当点P为的中点时，的形状是_______； (2)探究证明：如图2，设与的延长线相交于点F，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：已知，当与四边形的边垂直时，直接写的长． 【答案】(1)30，直角三角形 (2)四边形为菱形，理由见解析 (3)2或 【分析】（1）过点作于点，根据平行线间距离处处相等得到，结合已知可得，即可求解；再根据折叠的性质结合等边对等角，利用三角形内角和定理求出，即可得到的形状； （2）由（1）知，由折叠的性质得，，易证，，得到；证明是等边三角形，得到，进而证明四边形是平行四边形，结合即可得出结论； （3）根据题意先求出，当时，则，，由折叠的性质可得，求出，，，由即可求解；当时，则与重合，由折叠的性质可得，过点作于点，易证是等腰直角三角形，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：猜想，的形状是直角三角形； 过点作于点， 则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P为的中点时，则， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴的形状是直角三角形； （2）解：四边形为菱形，理由如下： 由（1）知， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：∵，， ∴， 当时，如图，设交于点， 则， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴，， ∴； 当时，则与重合，如图， 由折叠的性质可得， 过点作于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 综上，的长为或． 45．（2026·河南三门峡·一模）李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)菱形 (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）证明为等边三角形即可得到结论； （2）①证明四边形为平行四边形，由折叠，可知，，推出，进而求解； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，分类讨论当点在线段的延长线上和当点在线段上时，设，则，结合 求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：①；理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠，可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，    ∵， ∴， 同理， ∴， 则四边形为矩形， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图3， 由①知， 在和中， ∴ ， ∴， 设，则， ∴． 由折叠，得， ∴， 由勾股定理， ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当点在线段上时，如图4，    同理可证， ， ∴， 设，则，，，， 同理有 ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 正方形的性质 考点08 46．（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为，由折叠得，推出，进而得．证等腰，得，在中，由内角和算出，等角对等边得．用对角线长度求：由正方形对角线，得，计算比值并有理化得最终结果． 【详解】解：设正方形边长为， ∴，对角线，，． 由折叠性质：， ∴，， ∴ 在中，，， ∴ ∴， ∴ 在中： ，， ∴ ∴， ∴ ∵，且， ∴ ∴． 47．（2026·河南周口·一模）如图，在扇形中，已知，，正方形的顶点、、分别在、、上，把正方形的沿直线向右平移，得到正方形，其中点的对应点恰好与重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】先求出正方形的边长，再结合扇形及三角形的面积公式求出正方形中空白部分的面积，据此可解决问题．熟知图形平移的性质及正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∴， 由平移可得：，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为：，， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 48．（2026·河南周口·一模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，与，分别交于点和点，连接．下列结论：①且；②；③当是的中点时，；④当时，，其中正确结论有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】通过证明推出，，再证明，即可判断①；利用角平分线的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断②；证明，，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断③；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断④． 【详解】解：四边形是正方形， ，． ∵， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 四边形是正方形， ，即是的角平分线， 点G到边与边的距离相等， 即中边的高与中边的高相等， 又 ， ， ， ，故②正确； 设正方形的边长为， 当E是的中点时，，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ． ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， 当E是的中点时，，故③错误； 当时，， ， ， ， ， 中边的高与中边的高相等，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上，①②④正确，共3个． 49．（2026·河南平顶山·一模）如图，点P是正方形边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．若，当时，线段的长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点F，则．根据正方形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，因此，证得，得到，，，根据勾股定理在中求出即可．②当点P在边上时，与①同理可求解． 【详解】解∶分两种情况讨论： ①当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点F，则． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． ②当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，线段的长为或． 50．（2026·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在和上，过点A作，交的延长线于点G，，若，则_____． 【答案】15° 【分析】先根据证明得出，，，再证明得出，进而得出，从而可得出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； 在和中， ， ∴， ∴，， ∵, ∴, ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 51．（2026·河南洛阳·一模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一个动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，，．则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接,证明，再根据勾股定理可知，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接, ∵, ∴, 在和中， ∴， ∴, ∵正方形中，O是边的中点， ∴, ∴, , ∵, ∴, ∴则线段长度的最小值为． 52．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 53．（2026·河南许昌·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形边长得出、对角线；再由折叠性质得，进而算出；最后将的周长转化为，代入数值计算得周长为． 【详解】解：∵已知正方形中，， ∴， 根据勾股定理，对角线 由折叠可知：， ∴，且， 的周长 因为， 所以， 因此周长． 54．（2026·河南安阳·一模）《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图”(也称勾股圆方图)，在如图所示的“赵爽弦图”中，中间小正方形的边长为1，分别以B，D为圆心，长为半径作弧，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，在上取一点，根据四边形是正方形，得出，结合，求解即可． 【详解】解：如图，连接，在上取一点， 四边形是正方形， ∴， ， ． 55．（2026·河南平顶山·一模）如图，正方形的对角线与相交于点，点在上，且，连接并延长，交于点，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 正方形的判定与性质综合 考点09 56．（2026·河南许昌·一模）动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证明四边形是正方形，四边形是正方形，设，则，根据正方形的性质得到，，进而得到，计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴四边形是正方形， 同理可证四边形是正方形， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴矩形的长与宽的比值为． 57．（2026·河南驻马店·一模）如图，点D在圆心角为的扇形的半径上，矩形与交于点E，于点F，若，则图中阴影部分的面积是_________． 【答案】/ 【分析】连接，如图，先证明四边形和四边形都为矩形，再证明四边形为正方形，可知，，，然后利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴由、和弧所围成的图形的面积由、和弧所围成的图形的面积， ∴图中阴影部分的面积． 58．（2026·河南开封·一模）如图，在中，将折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若，，，线段的长为______． 【答案】或 【分析】结合已知条件分为点D在内部和外部两种情况讨论： 当点D在内部时，作，作，作于点N，连接，可知是等腰直角三角形且，再根据勾股定理求出，结合矩形的性质证明，可得，即可得出四边形DMEN为正方形，然后设，则，根据求出，接下来求出，最后根据得出答案；当点D在外部时，设，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵点D为折痕所在直线上一点，， ∴分为点D在内部和外部两种情况讨论． ①当点D在内部时，如图①， 过点A作于点E，点D为折痕上一点，过点D作于点M，作于点N，连接， ∵A、C两点关于折痕对称且， 是等腰直角三角形且． ，， ∴点E为的中点． ， ． ， ∴在中，由勾股定理得，． ，，， ∴四边形为矩形． ，，， ， ， ∴四边形为正方形， ． 设，则， ， ， ， ， ， 在中，； ②当点D在外部时，如图②，设， 设，则， ， ， ， ， ， 同理可得， 所以的长为． 所以线段的长为或． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $