专题10 投影与视图、尺规作图（4大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10投影与视图、尺规作图 ☆4大考点概览 考点01三视图 考点02作角平分线 考点03作垂线 考点04作角 考点01 三视图 1.(2026河南商丘一模)如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表 示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是() 2 1 2.(2026河南信阳.一模)下面立体图形的俯视图是() 3.(2026河南南阳·一模)如图，一个由6个相同小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是() 正面 1/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 0 4.（2026河南信阳一模)某博物院收藏的一件“镇馆之宝”-云纹青铜大饶，如图1，云纹青铜大饶是西周乐 器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和 辉煌.图2为其示意图，它的俯视图是() 主视方向 图1 图2 A C D 5.(2026河南平顶山一模)榫卯结构是中国传统建筑文化的瑰宝，如图是一种卯，其主视图是() 正面 A. B C D 6.(2026河南周口一模)如图是由5个相同小正方体搭成的几何体，其俯视图是() 正面 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 7.(2026河南周口一模)国家级非遗文化河南浚县社火是华北第一古庙会标配.每年的正月初一到十六， 锣鼓震天，秧歌舞和高跷、舞狮全城游演，场面火爆.下列选项中，可以看作是如图所示的鼓的左视图的 是() 正面 B 8.(2026河南平顶山一模)如图，这是由5个同样大小的正方体摆成的几何体.若将正方体①移到②的正 前方，则从三个方向看所得几何体的视图中，下列叙述正确的是() ② 从正面看 A.主视图和俯视图不变 B.左视图和俯视图不变 C.主视图和左视图不变 D.三种视图都不改变 9.(2026河南许昌一模)如图是三棱柱及其三视图，在俯视图△EFG中，EF=8cm,EG=14cm, ∠EGF=30°，则左视图中AB的长为() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C 主视图 左视图 A G 俯视图 A.4cm B.7cm C.8cm D.14cm 10.(2026河南许昌一模)“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的俯视图为（) ☑.下 11.(2026河南平顶山一模)如图为一个3D打印的实体零件模型，该零件模型的俯视图为() 正面 B D 12.(2026河南三门峡.一模)如图，花瓣纹彩陶盆出土于河南省陕县庙底沟，属于新石器时代仰韶文化的 彩陶.关于它的三视图，下列说法正确的是() A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 13.(2026河南安阳·一模)汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术.如图是一个汴绣干 果盒，其左视图为() A B 14.(2026河南郑州一模)如图，在图1的立体图形中添加一个小正方体变成图2，有关视图变化说法正确 的是() 图1 图2 A.左视图不变B.主视图不变 C.俯视图不变 D.三视图都改变 15.（2026河南周口一模)2月7日上午，为期4天的“非遗平顶山寻味中国年”暨2026年鹰城年贡节在大 香山文博园启动.其中，宋代五大名窑之一的汝窑，因窑址位于平顶山市汝州境内而得名，出品的汝瓷造 型古朴大方，色泽独特，如图为一汝瓷作品，其俯视图为() B D 考点02 作角平分线 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(2026河南商丘.一模)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD⊥BC于点D, B D (①)请用圆规和无刻度的直尺作∠BAC的平分线AF; (2)求∠DAF的度数， 17.(2026河南一模)如图，∠M0N=40°，以O为圆心，0A长为半径画弧，交0M,ON于点A,B, 再分别以点A,B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C,画射线OC交AB 于点D,E为OA上一个动点，连接BE,DE,若0OA=2,则阴影部分周长的最小值为(） N B M A.专π B.π+1 C.号π+1 D.号π+2 18.(2026河南平顶山一模)如图，△ABC内接于⊙0，AB=AC,∠BAC=36·. B (I)请用无刻度的直尺和圆规作∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）： (2)若(1)中所作的角平分线与AC相交于点E,与⊙O相交于另一个点D,连接AD.求证：AD=BC, 19.(2026河南一模)如图，在△ABC中∠C=90°，AC=BC,D是AB上一点，且AD=AC D ◇ B 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点E,连接DE.(要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母). (2)求证：AB=AC+CE, 20.(2026河南平顶山一模)开启作角平分线的智慧之窗 问题：作∠A0B的平分线0P. B 甲同学 乙同学 丙同学 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺 规作出了角平分线， 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定OP为角平分线.判断的理由是： :OA=OB,OP⊥AB,÷∠AOP=∠B0P(依据 任务： (1)请你将上述讨论过程补充完整， (2)完成对丙同学作法的验证.己知∠AED=∠AOB,EP=E0,求证：OP平分∠A0B. 21.(2026河南周口一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°. C B (I)请用无刻度的直尺和圆规作⊙0（圆心O在BC上，OC的长为半径），且⊙O与AC,AB所在的直线都 相切.（保留作图痕迹，不写作法） (2)在(1)的条件下，若⊙0与AB的切点为D,BC=6,∠B=30°，求CD的长. 考点03 作垂线 22.(2026河南洛阳一模)如图1，已知△A0B中，0A=0B,∠A0B=80°，以点O为圆心的圆与 AB相切于点C,交AO于点D,点E为⊙O上一点，连接ED,EC 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (I)求∠CED的度数， (②)若⊙O上的点E满足CE‖OB,请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段CE.(要求：不写作法，保 留作图痕迹) (3)在图2中，延长A0交⊙O于点F,连接ED,EF,若⊙O的半径为4，求EF的长， 23.(2026河南信阳一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=会与一次函数y=ax+b交于 A(4,4)、B(-8,m)两点，一次函数y=ax+b分别交x轴、y轴于C、D两点，BE⊥y轴于点E. A D (1)求反比例函数及一次函数解析式； (②)请用尺规过点A向x轴作垂线，垂足为F(保留作图痕迹，不写作法). (3)在(2)的基础上，连接EF,求证：AD=EF=BC 24.(2026河南周口一模)如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点. (I)点0为AC上一点，A,D两点均在⊙O上，请用无刻度的直尺和圆规作出⊙O(保留作图痕迹，不写作 法)： (2)连接0D,若CD与⊙O相切于点D,AC=4,求⊙0的半径. 25.(2026河南周口·一模)如图，己知一次函数y=2x+10与y=-专(x-5),它们的图象与x轴分别 交于AB两点，交点C在反比例函数y=会(x<O)的图象上，AD是△ABC的角平分线，与BC交于点D 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B主 ()求该反比例函数的表达式： (②)尺规作图：求作△ABD的高线DE(保留作图痕迹，不写作法)： (3)在(2)的条件下，连接CE,求证：AD垂直平分CE, 26.(2026河南驻马店·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90·,AD是三角形BAC的角平分线. D C ()请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）： ①作线段AD的垂直平分线EF,且EF与AB相交于点O: ②以点0为圆心，以0D长为半径作⊙O (2)在(1)的条件下，求证：BC是⊙O的切线. (3)在(1)的条件下，若B0=20A,AC=9,求⊙0的半径. 27.(2026河南焦作.一模)如图，AC是四边形ABCD的对角线，ADBC,以BC为直径作半圆交AC于点 E,连接BE D B (1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作出AC的垂线，垂足记为F(保留作图痕迹，不写作法). (2)若BE=DF,求证：四边形ABCD是平行四边形， 28.(2026河南许昌一模)如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠D=2∠B. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B (I)用无刻度的直尺和圆规在线段BC上求作一点E,使得AE=BE,连接AE(保留作图痕迹，不写作法). (2)若∠CAD=∠ACB,点E是BC的中点.求证：四边形AECD是菱形 29.(2026河南周口一模)如图，AB,AC是⊙0的两条弦，∠A=60°，连接BC. 0 分 (I)利用尺规作图法在BC上求作一点D,使得点D到B,C的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (②)连接OB,OC,BD,CD,请你判定四边形OBDC的形状并说明理由. 30.(2026河南三门峡.一模)如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE,将AE绕点E顺时针 旋转90°得到EA,连接CA. O B E C ()尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规补全图形（不写作法，保留作图痕迹） (2)求∠ECA的度数. 31.(2026河南商丘一模)如图，△ABC为⊙0的内接三角形，AB为⊙0的直径，AC是⊙O的弦， ∠BAC的平分线，AD交⊙O于D,用直尺和圆规作图并解答问题 B 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E,连接OE交AD于点F(不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证：DE是⊙O的切线： (3)若AF=9, cOs∠BAC=青，求DF的长， 考点04 作角 32.(2026河南南阳一模)如图1，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AE=CD,AD=EC D D B 图1 图2 (I)求证：四边形ADCE为菱形； (2)请在图1中，用无刻度的直尺和圆规作射线DFAC,交BC于点F(保留作图痕迹，不写作法)： (3)如图2，若点O为AC上一点，AC=4,且E,A,D三点均在⊙O上，CD与⊙0相切于点D,则 ⊙0的半径r= ·(直接写出答案，不说明理由) 33.(2026河南新乡一模)如图，在△ABC中，D是AB的中点. D (I)请用无刻度的直尺和圆规，作DE‖BC,交AC于点E;(保留作图痕迹，不写作法) (2)若F为BC的中点，求证：四边形DEFB是平行四边形， 34.(2026河南商丘一模)如图，一次函数y=2x+2的图象与反比例函数y=章(x>0)的图象相交于 A(1,a),与x轴、y轴分别相交于点B,C. A BO ()求反比例函数的表达式； 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)点P是线段AB上一个动点， ①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数y=会（(x>0)的图象于点Q(保留作图痕迹，不写画 法)： ②当PQ=号时，求点Q的坐标， 35.(2026河南周口一模)如图，四边形ABCD为⊙0的内接四边形，连接AC,BD,△ABC为等边三 角形. D 0 B (I)尺规作图：过点B作BM‖CD,交DA的延长线于点M. (2)求证：MA=CD 36.(2026河南郑州一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90·,CD为斜边AB上的中线. (I)请用无刻度的直尺和圆规在AC下方作∠CAM,使得∠CAM=∠BAC.(保留作图痕迹，不写作法) (2)在射线AM上有一点E,满足AE=AD,连接CE,求证：四边形ADCE是菱形， 2/6 专题10 投影与视图、尺规作图 4大考点概览 考点01三视图 考点02作角平分线 考点03作垂线 考点04作角 三视图 考点01 1．（2026·河南商丘·一模）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左视图的定义，即可解答． 【详解】解：结合几何体的俯视图可得：左视图有两行三列，从左往右，第一列有2个小正方形，第二列有2个正方形，第三列有1个正方形且在最下面． 故选D． 2．（2026·河南信阳·一模）下面立体图形的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：根据俯视图的定义可知，立体图形的俯视图是． 3．（2026·河南南阳·一模）如图，一个由个相同小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：该主视图是：底层是3个正方形横放，上层靠左有2个正方形， 故选：C． 4．（2026·河南信阳·一模）某博物院收藏的一件“镇馆之宝”-云纹青铜大铙，如图1，云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图是从上面往下看得到的图形即可得出结果． 【详解】 解：由图形可得，该图形的俯视图为． 5．（2026·河南平顶山·一模）榫卯结构是中国传统建筑文化的瑰宝，如图是一种卯，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：根据主视图的特征可得卯的主视图是． 6．（2026·河南周口·一模）如图是由5个相同小正方体搭成的几何体，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：其俯视图是： 7．（2026·河南周口·一模）国家级非遗文化河南浚县社火是华北第一古庙会标配．每年的正月初一到十六，锣鼓震天，秧歌舞和高跷、舞狮全城游演，场面火爆．下列选项中，可以看作是如图所示的鼓的左视图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左视图是从左面看到的平面图形即可解答． 【详解】解：可以看作是如图所示的鼓的左视图的是： ． 8．（2026·河南平顶山·一模）如图，这是由5个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移到②的正前方，则从三个方向看所得几何体的视图中，下列叙述正确的是（   ） A．主视图和俯视图不变 B．左视图和俯视图不变 C．主视图和左视图不变 D．三种视图都不改变 【答案】C 【分析】分别得到将正方体①移到②的正前方后的三视图，依此即可作出判断． 【详解】解：将正方体①移到②的正前方，主视图和左视图不变，俯视图改变． 9．（2026·河南许昌·一模）如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从左向右看，看到的宽度是底面中顶点E到边的垂直距离，过点E作于点Q，则，在中，，得到，从而求出长． 【详解】解：过点E作于点Q，则是边上的高，且， 在中，，， ， 即． 10．（2026·河南许昌·一模）“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图水平放置的“阳马”的俯视图为： ． 11．（2026·河南平顶山·一模）如图为一个3D打印的实体零件模型，该零件模型的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，进行判断即可. 【详解】解：该零件模型的俯视图为： 12．（2026·河南三门峡·一模）如图，花瓣纹彩陶盆出土于河南省陕县庙底沟，属于新石器时代仰韶文化的彩陶．关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【详解】解：由三视图的定义，可知主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图均不相同． 13．（2026·河南安阳·一模）汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术．如图是一个汴绣干果盒，其左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立体图形的左视图的定义即可解答． 【详解】 解：如图其左视图为． 14．（2026·河南郑州·一模）如图，在图1的立体图形中添加一个小正方体变成图2，有关视图变化说法正确的是（   ） A．左视图不变 B．主视图不变 C．俯视图不变 D．三视图都改变 【答案】A 【分析】画出原图形以及现有图形的三视图，即可求解． 【详解】解：在图1的立体图形中添加一个小正方体变成图2，左视图不变，仍为： ； 原主视图为： ， 现主视图为： ； 原俯视图为： ， 现俯视图为： 15．（2026·河南周口·一模）2月7日上午，为期4天的“非遗平顶山·寻味中国年”暨2026年鹰城年贡节在大香山文博园启动．其中，宋代五大名窑之一的汝窑，因窑址位于平顶山市汝州境内而得名，出品的汝瓷造型古朴大方，色泽独特．如图为一汝瓷作品，其俯视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从正上方观察立体图形可得俯视图． 【详解】解：由题可得俯视图为:D． 作角平分线 考点02 16．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，于点． (1)请用圆规和无刻度的直尺作的平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）以点为圆心，为半径作弧，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，在内部交于点，即可得的平分线； （2）由三角形的内角和定理，结合角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：在中，，， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2026·河南·一模）如图，，以O为圆心，长为半径画弧，交于点A，B，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一个动点，连接，．若，则阴影部分周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的长，作点D关于的对称点，连接交于点，连接，则，此时，的最小值为，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：平分， ∴ ， ∴的长， 作点D关于的对称点，连接交于点，连接，则，此时，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为． 18．（2026·河南平顶山·一模）如图，内接于，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与相交于点，与相交于另一个点，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过点与该交点作射线，即为的平分线． （2）先根据等腰三角形性质和三角形内角和求出各内角的度数，再结合角平分线的定义、圆周角定理，证明弧与弧相等，进而根据等弧对等弦证明． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：，， ， 平分， ， ，， 所对的圆周角，所对的圆周角， ， ． 19．（2026·河南·一模）如图，在 中，，是上一点，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）先证明，得出，，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，即可证明，利用线段的和差关系即可得结论． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 20．（2026·河南平顶山·一模）开启作角平分线的智慧之窗． 问题：作的平分线． 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线． 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________； 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是： ，，（依据______________）． 任务： (1)请你将上述讨论过程补充完整． (2)完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分． 【答案】(1)；等腰三角形的三线合一 (2)见解析 【分析】（1）结合甲同学的作法和乙同学的作法，完善推理步骤即可； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：甲同学：如图， 由作图得，， 在与中， ， ， ， 其判定全等的方法是； 乙同学：，， （等腰三角形的三线合一）； （2）证明：∵， ， ， ， ． ，即． 平分． 21．（2026·河南周口·一模）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作（圆心在上，的长为半径），且与所在的直线都相切．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若与的切点为，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，得到点到的距离相等，都等于的长，进而得到圆心在的角平分线上，作的角平分线交于点，再以为圆心，的长为半径画圆即可； （2）求出半径的长，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：连接，则，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 作垂线 考点03 22．（2026·河南洛阳·一模）如图1，已知中，，，以点O为圆心的圆与相切于点C，交于点D，点E为上一点，连接，． (1)求的度数． (2)若上的点E满足，请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在图2中，延长交于点F，连接，，若的半径为4，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解； （2）作的垂直平分线交于点M，连接，并延长交于点E，即可； （3）设与交点为点M．根据，可得，由①知：，可得，即可求解． 【详解】（1）解：连接， 与相切， ， ，， ， ； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：设与交点为点M． ， ， 又由①知：， ， 的半径为4， 直径， ， 的长为． 23．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． (1)求反比例函数及一次函数解析式； (2)请用尺规过点A向x轴作垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据垂线的性质画图即可； （3）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象上， ∴，． ∴反比例函数解析式为 ∵在图象上， ∴． ∵经过和两点． ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为， （2）解： （3）解：∵轴，轴， ∴， 设的直线解析式为：， 则得， 解得： 可得直线的解析式 ∴， ∵,的纵坐标相等， ， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴． 24．（2026·河南周口·一模）如图，在中，是的中点． (1)点为上一点，，两点均在上，请用无刻度的直尺和圆规作出（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若与相切于点，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）用尺规作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，以为半径作圆即可； （2）根据圆的基础知识设，则，由切线的性质得到，根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余得到，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴，即， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的半径为． 25．（2026·河南周口·一模）如图，已知一次函数与，它们的图象与轴分别交于两点，交点在反比例函数的图象上，是的角平分线，与交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)尺规作图：求作的高线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)在（2）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）联立与，可得点的坐标，即可求得反比例函数的表达式； （2）以点为圆心画弧，与轴交于两点，再以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接与轴交于点，则即为所求； （3）过点作轴于点，先证明，再证明，可得，即可得垂直平分． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴， 将代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式． （2）解：如图，即为所求． （3）证明：∵一次函数与的图象与轴分别交于两点， 令，得， 由（1）可知， 过点作轴于点，则， ∴，， ， ∴， ∴， 由（2）得是的高线， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 26．（2026·河南驻马店·一模）如图，在中，，是三角形的角平分线． (1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）： ①作线段的垂直平分线，且与相交于点； ②以点为圆心，以长为半径作． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)的半径为6 【分析】（1）分别以、为圆心，大于长为半径画弧交于点、，则即为线段的垂直平分线，则与相交于点，以点为圆心，以长为半径作； （2）连接，由和角平分线得到，进而得到，则，最后根据是圆的半径，得到是的切线． （3）根据，得到，则，据此求出圆的半径为6． 【详解】（1）解：如图所示，，圆为所求． （2）证明：如图，连接， ， ． 是的平分线， ， ， 又， ， ． 又是圆的半径， 是的切线． （3）解：根据题意，可知， ∴， ， ． 又， ， 故的半径为6． 27．（2026·河南焦作·一模）如图，是四边形的对角线，，以为直径作半圆交于点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作出的垂线，垂足记为（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意过点作出的垂线，垂足记为 （2）证明得出，即可得证四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：∵以为直径作半圆交于点， ∴ 由（1）得 ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 28．（2026·河南许昌·一模）如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，点E是的中点．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，则； （2）先证明，再证明，得到四边形是平行四边形，然后推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）证明：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ∵点E是的中点， ． ， ， ∴四边形是菱形． 29．（2026·河南周口·一模）如图，，是的两条弦，，连接． (1)利用尺规作图法在上求作一点，使得点到，的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，，，，请你判定四边形的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）过圆心作弦的垂线，交圆于一点即可； （2）根据圆周角定理得出，判定是等边三角形，得出，同理得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：， ， 由（1）可知，， ， 是等边三角形， ， 同理可得， ， 四边形是菱形． 30．（2026·河南三门峡·一模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点E作右侧的垂线，然后在垂线上用圆规取，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据旋转和正方形的性质，结合角度的和差，可利用证得，由对应边相等得到，再根据线段的和差得到，由等边对等角可推出的度数，进而求得的度数． 【详解】（1）解：补全图形如下图所示，即为所求： （2）解：过点作，交的延长线于点，如（1）图， 由旋转，得， ∴， ∵在正方形中，，， ∴， ∵， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．（2026·河南商丘·一模）如图，为的内接三角形，为的直径，是的弦，的平分线，交于D，用直尺和圆规作图并解答问题． (1)过点D作交的延长线于点E，连接交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）连接，利用角平分线的概念和，可得，即可证明，利用平行线的性质即可解答； （3）作于点Q，则，可得，设，再解直角三角形，可得，最后利用相似三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 为半径， 是的切线； （3）解：如图，作于点Q，则， 平分， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】第三小问，利用角平分线的性质，作辅助线，构造全等三角形，再判定，是解题关键． 作角 考点04 32．（2026·河南南阳·一模）如图1，在中，D是斜边的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)请在图1中，用无刻度的直尺和圆规作射线，交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图2，若点O为上一点，，且E，A，D三点均在上，与相切于点D，则的半径________．（直接写出答案，不说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，结合已知条件，证得，即可得证结论； （2）运用尺规作图的方法，作，根据平行线的判定得到； （3）连接，由得到，由得到，从而根据三角形的外角的性质得到，再由切线的性质得到，从而，即可求得，因此，据此列出关于r的方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：所求图形，如图所示． （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为r，即， ∴， ∴， 解得． 33．（2026·河南新乡·一模）如图，在中，是的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规，作，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若为的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作即可； （2）先证明为的中点，得为的中位线，根据中位线定理可得即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， 又为的中点， ∴为的中位线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形 34．（2026·河南商丘·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于，与x轴、y轴分别相交于点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)点P是线段上一个动点， ①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数 的图象于点Q（保留作图痕迹，不写画法）； ②当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）将代入求出，再将点坐标代入，求出k即可； （2）①根据同位角相等，两直线平行，作即可； ②求出点B的坐标，设点，其中，则点，由，列式计算，求出t值，继而求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：依题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：①如图所示，即为所求； ②对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∵点P在线段上， ∴设点P的坐标为，其中， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， ∵点Q在反比例函数的图象上， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， 整理得：，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，， ∴点Q的坐标为． 35．（2026·河南周口·一模）如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点M． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题干要求作图即可； （2）由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由平行线的性质可得，从而即可得出，由圆内接四边形的性质可得，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：尺规作图如下： 步骤一：以点C为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点E，交线段（或射线）于点F； 步骤二：以点B为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点G（使得，即点G在射线上且等于步骤一中的半径）； 步骤三：以点G为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤二中所作的圆弧于点H（取与点E位于直线相反侧的交点）； 步骤四：过点B和点H作直线，则直线即为所求的过点B且平行于的直线，交的延长线于点M． 原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以． （2）证明：∵为等边三角形， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵在和中， ， ， ． 36．（2026·河南郑州·一模）如图，在中，，为斜边上的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在下方作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在射线上有一点E，满足，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交、于两点，以的交点为圆心、以与交点间的距离为半径画弧，两弧交点即为，连接，即可得到． （2）由直角三角形斜边中线定理得，进而可得．由作图知，则，可证，又，结合，进而可证四边形是平行四边形，再由，可证四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：，为斜边上的中线． ， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题以直角三角形为载体，融合了尺规作图、直角三角形斜边中线性质、平行线判定与菱形判定，核心是通过等角转化推导线段平行，结合线段相等关系先证平行四边形，再由邻边相等得菱形，体现了几何证明中“转化思想”与“判定定理综合应用”的思路． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $