微专题01 函数的概念及其表示方法（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题01 函数的概念及其表示方法 题型一 常量与变量 判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化的过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生变化.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量. 1．（2024八年级下·全国·专题练习）在圆面积公式中，常量与变量分别是（    ） A．常量是π，变量是S，r B．常量是2，变量是S，π，r C．常量是S，变量是π，r D．常量是r，变量是S，π 【答案】A 【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，由此即可判断． 【详解】解：圆面积公式中，常量π，变量是S，r． 故选：A． 【点睛】本题考查常量与变量，关键是掌握常量与变量的定义． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 【答案】D 【分析】本题考查了常量和变量，理解定义是解题的关键； 根据常量和变量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量．本题中，通话费率和初始话费为常量，通话时间和余额为变量即可解答． 【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量． 通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式． 所以，和均为变量． 故选：D． 3．（23-24七年级下·福建宁德·期中）一本练习本每本2.5元，买m本共付n元，则2.5和n分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，常量 C．变量，变量 D．常量，变量 【答案】D 【分析】本题主要考查了变量和常量．根据变量和常量的定义即可进行解答． 【详解】解：根据常量和变量的概念可判断出2.5是常量，n是变量． 故选：D． 4．（24-25八年级下·河北沧州·期中）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 【答案】C 【分析】本题主要考查了变量，常量， 根据半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变，即可得出答案． 【详解】解：随着半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变， 所以R,C是变量，2，是常量． 故选：C． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）某水库蓄满水时的水位高度为，现以每秒立方米的速度开闸放水．放水过程中，水库的水位高度为，放水时间为，则和t分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．变量，常量 D．常量，变量 【答案】D 【分析】本题考查变量与常量判断，根据恒定不变的量叫常量，变化的量叫变量直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 不变，是常量；是变化的，是变量． 故选：D． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）两邻边长分别为2与的长方形的面积为S，下列对于三个量描述正确的是（    ） A．2是常量；S，是变量 B．S是常量；2，是变量 C．是常量；2，S是变量 D．2，是常量；S是变量 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量和变量的定义，熟练掌握函数的常量和变量的定义是解题的关键； 根据长方形的面积公式得，然后根据在一个变化过程中，数值不发生变化的量称为常量；数值发生变化的量称为变量即可解答． 【详解】解∶ ∵两邻边长分别为2与的长方形的面积为S， ∴， ∵长方形的一条边长始终固定为2，其数值不会发生变化， ∴2是常量， ∵x表示长方形的另一条边的长度，它的取值可以是不同的数值，即x的数值是可以变化的，∴x是变量， ∵在中，x是变量，当x的取值发生变化时，S的值也会随之改变， ∴S是变量． 故选：A． 题型二 函数的识别 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）[新情境]作为2026年的首次发射，神舟二十三号飞船备受瞩目．在升天过程中，燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一过程中，自变量是（   ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 【答案】B 【分析】本题考查自变量的概念，在一个变化过程中，主动变化的量称为自变量，只需根据题意判断变化过程中主动变化的量即可得到答案. 【详解】解：∵燃料的体积随飞船飞行高度的变化而变化，飞行高度是主动变化的量，燃料体积是随之变化的量，根据自变量的定义，可得自变量是飞船的飞行高度. 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）健康骑行，快乐同行．周末，淇淇从家出发，以的速度匀速骑行，用时骑行，自变量是（    ） A． B．用时 C．骑行 D．用时和骑行 【答案】B 【分析】先根据路程、速度、时间的关系得到函数关系式，再结合自变量的定义即可判断． 【详解】解：∵路程速度时间，速度为定值， ∴得到关系式， 其中是常量，随的变化而变化， 根据函数定义，是自变量，是因变量， 因此自变量是用时． 3．（25-26八年级下·北京·期中）下列式子中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于x的每一个确定的值，若y有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此分析各选项即可 【详解】A、当时，，可得或，一个x对应两个不同的y，不符合定义； B、当时，，可得或，一个x对应两个不同的y，不符合定义； C、对任意x的确定值，唯一，因此y都有唯一确定的值和x对应，符合函数的定义； D、当时，，可得或，一个x对应两个不同的y，不符合定义 4．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）下列关系式中，不是的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义判断：对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵根据函数的定义，对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数， ∴、符合函数定义，不符合题意； 、符合函数定义，不符合题意； 、，当时，可得，解得或，即取一个确定值时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，符合题意； 、符合函数定义，不符合题意． 5．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应逐一判断即可． 【详解】解：A．自变量的任何值，不是都有唯一的值与之相对应，故该选项不是的函数，不符合题意， B．自变量的任何值，不是都有唯一的值与之相对应，故该选项不是的函数，不符合题意， C．自变量的任何值，不是都有唯一的值与之相对应，故该选项不是的函数，不符合题意， D．自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，故该选项是的函数，符合题意． 6．（2026八年级下·北京·专题练习）下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，即当x确定一个数值时，可以有唯一一个y值与x对应，则表示y是x的函数． 【详解】解：A选项，当x确定一个数值时，可以有2个y值与x对应， 不能表示y是x的函数，故A选项符合题意； B选项：当x确定一个数值时，可以有唯一一个y值与x对应， 能表示y是x的函数，故B选项不符合题意； C选项：当x确定一个数值时，可以有唯一一个y值与x对应， 能表示y是x的函数，故C选项不符合题意； D选项：当x确定一个数值时，可以有唯一一个y值与x对应， 能表示y是x的函数，故D选项不符合题意． 题型三 确定函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1．（2026·江苏无锡·一模）函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式中被开方数必须为非负数，据此列不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数是非负数， ∴对于函数， ∴， 解不等式得． 2．（25-26八年级下·河北衡水·月考）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】用二次根式被开方数非负、分式分母不为0的性质列不等式求解． 【详解】要使函数有意义，需同时满足两个条件： 二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为0， ∴， 解得：且. 3．（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解得． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵函数中， ∴， ∴， ∴自变量x的取值范围是． 5．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，需根据分式分母不为零，二次根式被开方数为非负数的性质，列出不等式求解． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)x是任意实数 (2)且 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据对任意的实数，整式都有意义即可求解； （2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围； （3）根据0的0次幂无意义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：x为任意实数； （2）解：根据题意得：， 解得：且； （3）解：根据题意得：， 解得：． 题型四 求函数的值 ①当已知函数表达式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数表达式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数，当函数值时，自变量的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】只需将代入解析式，解一元一次方程即可得到自变量的值． 【详解】解：∵ 函数解析式为 ，且 ， ∴ 将 代入解析式， 得， 移项计算得 ， 即自变量的值为5． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了求函数值，将代入即可求解． 【详解】解：将代入， 则， 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：当时，． 故选：C 4．（23-24八年级下·江苏扬州·开学考试）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是7，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（    ） A．9 B．11 C．4 D．14 【答案】B 【分析】先根据输入时输出求出参数的值，确定函数解析式，再判断符合哪个条件，代入计算即可． 【详解】解：当输入时，输出，且， 将代入， 得：， 解得． 当时，函数解析式为． 当输入时，， 将代入， 得：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与之间的函数关系式为，则当时，_____________． 【答案】 【详解】解：当时，． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 题型五 列函数表达式 表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式． 注意：①函数表达式是等式． ②函数表达式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的表达式在书写时有顺序性. 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后，手表显示的电量为．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知的初始电量和充电后的电量可得到每分钟充电量，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意得：每分钟充电量为， ∴手表的电量与充电时间之间的函数关系式为． 2．（25-26八年级下·河北沧州·月考）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余页数等于总页数减去已读页数的关系，列式即可得到正确结果． 【详解】解：∵书籍总页数为页，每天阅读页，阅读天后，已读页数为页，剩余页未读， ∴根据剩余页数的等量关系可得． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小明同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小明离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，则与之间的函数关系式是______． 【答案】 【分析】先计算出每分钟滴水的体积，再根据总滴水量等于每分钟滴水量乘以时间，推导得到与的函数关系式． 【详解】解：由题意得，每分钟滴水体积为：（毫升）， ∴分钟后，总滴水量满足， ∴与之间的函数关系式是． 4．某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围） 【答案】 【分析】先根据行驶路程和单位耗油量表示出总耗油量，再利用剩余油量等于原有油量减去总耗油量，即可推导出所求函数关系式． 【详解】解：由题意可得，该汽车行驶百公里的总耗油量为升，油箱原有油量为升，根据题意，得， 整理得． 5．（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 【答案】(1)（） (2)升 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围； （2）把代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，即， 解得， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为． （2）当时，． 答：当拖拉机工作时，油箱内还剩余油升． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小． （1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解； （2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解； （3）把x的值代入函数关系式计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得，， 即关于的函数表达式为； （2）解：因为宽为米，长为米， 所以， 所以， 解得， 所以自变量的取值范围为； （3）解：当时，． 题型六 实际问题中的函数图象 正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象. 1．（25-26八年级下·四川内江·月考）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 3．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，解题的关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题． 一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．据此判断． 【详解】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小． 则描述蚂蚁与点O距离变化关系的是： ． 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 5．（23-24七年级下·海南海口·月考）小颖站在离家不远的公交车站等车，下列各图中能够最好地刻画等车这段时间小颖离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，根据小颖在等车这段时间，离家距离不随时间的变化而变化即可得解． 【详解】解：∵小颖站在离家不远的公共车站等车， ∴这段时间离家距离不随时间的变化而变化， 故选：A． 6．（23-24八年级下·广东广州·期中）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据水面高度 随时间 变化的折线斜度，判断容器不同阶段的粗细，斜度越大容器越细，斜度越小容器越粗，进而匹配容器形状．本题主要考查了函数图象与实际问题中容器形状的对应关系，熟练掌握根据函数图象斜度判断容器粗细变化是解题的关键． 【详解】解：注水速度匀速，水面高度 随时间 变化的图象中，折线斜度反映容器粗细，斜度越大，相同时间水面上升越高，容器越细；斜度越小，容器越粗； 图象 段斜度大， 段斜度小， 段斜度比 段大，即容器注水时，先注的部分较细，中间部分最粗，最后部分较细， 观察选项，只有B选项容器形状符合先细、再粗、最后较细的特点， 故选： 题型七 从函数图象中获取信息解决问题 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键． 根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意； B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意； C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意； D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（    ） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，能从图象中识别信息是解题的关键．观察函数图象的横轴、纵轴，可得答案． 【详解】解：A、由图象的纵轴可以看出，学校距小旺家1000米，故A正确，不符合题意； B、由图象的横轴可以看出，小旺用了20分钟到学校，故B正确，不符合题意； C、由图象的纵轴可以看出，小旺前10分钟走了总路程的一多半，故C正确，不符合题意； D、由图象的纵轴可以看出，小旺后10分钟比前10分钟走得慢，故D错误，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南周口·期末）（在弹簧弹性范围内）为了估计弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，同学们测量出弹簧悬挂不同质量的砝码时所对应的长度，并用横坐标表示砝码的质量，纵坐标表示弹簧的长度，在平面直角坐标系中描出了若干散点，如图所示．小明发现，这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，他画了一条经过了最多散点的直线，来表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，根据小明所作的趋势图，下列说法错误的是（   ） A．所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长 B．物体的质量每增加，弹簧的长度增加约 C．所挂物体的质量时，弹簧的长度约 D．不挂物体时，弹簧长度约 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，从图象中获取准确的信息是解题的关键．根据图象信息逐项分析解题即可． 【详解】解：A、观察图像可知，所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长，，故A选项说法正确； B、观察图象可知，物体的质量每增加，弹簧的长度增加约，故B选项说法正确； C、观察图象，将直线延长可知，当所挂物体的质量时，弹簧的长度约，故C选项说法正确； D、观察图象，将直线延长交y轴，当所挂物体质量为0时，弹簧长度约，故D选项说法错误； 故选：D． 4．（24-25七年级下·福建莆田·期末）北京冬奥会开幕式以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界．下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图（白昼时长（日出时刻）（日落时刻），下列结论中正确的是（    ） A．立夏这天的日出时间是 B．白昼时长在小时的有10天 C．立冬这天的日落时间是 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息．根据图象中的信息逐项求解判断即可． 【详解】解：由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时 ∴（日出时刻） 解得日出时刻 ∴立夏这天的日出时间是，故A错误； 由图象可得，白昼时长在小时的有13天，故B错误； 由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时 ∴（日落时刻） 解得日落时刻 ∴立冬这天的日出时间是，故C正确； 由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D错误． 故选：C． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·开学考试）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）    A．点表示老刘出发，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为 C．老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在的速度比的速度慢 【答案】B 【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，点所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A正确，不符合题意； 内的路程没有变化， 老刘实际骑行时间为，故B错误，符合题意； 老刘骑行的路程为30km， 的速度为，故C正确，不符合题意； 骑行的路程为， 的速度为， ， 老刘的骑行在的速度比的速度慢，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键． 6．（25-26八年级下·河北沧州·月考）一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题： (1)解释点C的实际意义； (2)若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长． 【答案】(1)当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米 (2)无人机的爬升速度为25米/分，m的值为2，n的值为14 (3)8分钟 【分析】（1）根据函数图象作答即可； （2）根据点B、C求出爬升速度，可求m的值，进而求出匀速下降的速度，即可求出n的值； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：点C的实际意义是当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米 （2）解：爬升速度（米/分钟） ∴， ∵无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍， ∴无人机匀速下降的速度是米/分钟， ∴； （3）解：由函数图象可知，悬停的总时长（分钟）． 题型八 用表格表示变量间的关系 1.确定自变量和函数：先找出表格中作为自变量的量，以及随它变化的函数值。 2.读取对应值：根据自变量的值，在表格中直接找到对应的函数值。 3.判断变化规律：观察自变量增大时，函数值是增大、减小还是有其他变化。 4.归纳函数关系：通过数值变化，总结出自变量与函数之间的数量规律。 5.估算与预测：利用规律，推算表格以外的函数值。 1．在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系如下表，下列说法不正确的是（    ） x/ 0 1 2 3 4 5 y/ 20 20.5 21 21.5 22 22.5 A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数 B．弹簧不挂重物时的长度为0 C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加0.5 D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为23.5 【答案】B 【分析】本题考查变量与函数的概念，表格表示变量间的关系，根据表格数据的规律逐一判断选项即可得到答案. 【详解】解：∵ 变化时随之变化，且对的每一个确定值，都有唯一确定值对应， ∴ 与都是变量， 是自变量，是的函数，A选项说法正确，不符合题意； ∵ 弹簧不挂重物时对应，表格中时， ∴ 弹簧不挂重物时长度为，B选项说法错误，符合题意； ∵ 观察表格可知，每增加，恒增加， ∴ 物体质量每增加，弹簧长度增加，C选项说法正确，不符合题意； ∵ 弹簧原长为，每挂 物体伸长， ∴ 当所挂物体质量为 时，，D选项说法正确，不符合题意. 故选：B. 2．一个蓄水池有50m3的水，打开放水闸门放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下列说法不正确的是（　　） 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中的水量（） 48 46 44 42 … A．每分钟放水 B．放水10分钟后，水池中还有的水 C．水池中的水量是自变量，放水时间是因变量 D．放水25分钟，水池中的水全部放完 【答案】C 【分析】先根据表格数据得到每分钟放水量，推导出水池水量与放水时间的关系式，再逐一判断各选项，找出错误说法即可． 【详解】解：根据表格数据可知，放水时间每增加1分钟，水池水量减少，即每分钟放水，故A选项正确，不符合题意； 设放水时间为分钟，水池中水量为，则， 当时，，即放水10分钟后水池还有水，故B选项正确，不符合题意； 放水时间是主动变化的量，水池水量随放水时间变化，因此放水时间是自变量，水池水量是因变量，故C选项错误，符合题意； 当时，，解得，即放水25分钟水全部放完，故D选项正确，不符合题意； 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水后，水池中还有水（    ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据表格数据得出每分钟放水量，再计算放水14min后的剩余水量即可． 【详解】解：∵水池原有水量为， 由表格数据可知，放水时间每增加，水池中水量减少，即每分钟放水量为， ∴放水后，总放水量为， ∴剩余水量为． 4．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 【答案】D 【详解】解：由表格得，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分， ∴当时，的值为． 5．（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 题型九 函数的三种表示方法 用代数式表示规律时用到特殊到一般的思想，先探究出规律再利用规律解决问题． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，结合表格中的数据回答问题： 梯形的个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 5 8 11 14 17 … (1)设图形的周长为，梯形的个数为，试写出与的函数解析式； (2)求时，图形的周长； (3)求时，梯形的个数． 【答案】(1)（为正整数）； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得时，；时，；时，，根据规律，求解即可； （2）根据函数值的计算求解即可； （3）根据表达式求自变量的值即可 【详解】（1）解：根据题意，得时，；时，；时，，根据规律，得（为正整数）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，，解得． 2．一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度． x 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？ 【答案】(1)是， (2) 【分析】（1）根据函数的概念及待定系数法可进行求解； （2）由题意易得水位还需上涨系统会发出警报，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由表格可知：水位高度y是时间x的函数， 当x的值每增加1，y的值增加3， ∴这个函数解析式； （2）解：由题意得：， ∴； 答：再过系统会发出警报． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 【答案】(1) (2)38 (3)500km 【分析】（1）根据表中数据得出每耗油的关系，据此可得与的关系式； （2）将代入（1）中所求的关系式中即可求出油箱剩余油量； （3）将代入（1）中所求的关系式中即可求出，两地之间的距离． 【详解】（1）解：由表格可知，开始油箱中的油量为，每行驶，油量减少， 据此可得与的关系式为． （2）解：当时，， 故答案为：． （3）解：令，即， 解得， 答：，两地之间的距离为． 【点睛】本题主要考查用关系式表示变量之间的关系，熟练根据自变量和函数的关系得出表达式是解题的关键． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 【答案】(1)销量x (2) (3)150 【分析】本题重点把握函数的表示的方法---解析法： （1）（2）根据表格即可求解；（3）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：上表这个关系中，自变量是销量x； （2）解：由表格可得； （3）解：当刺梨的销量为50千克时，销售额是（元）． 5．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 6．（2024春•榆阳区校级期中）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 高度（cm） 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … （1）上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是函数？ （2）用h（cm）表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h； （3）若这摞碗的数量为7只，求这摞碗的高度 【分析】（1）根据碗的高度随着碗的数量变化而改变，即可判断； （2）求出每只碗增加的高度即可解答； （3）根据（2）中h和x的关系式代入求值即可． 【详解】解：（1）通过表格所列举的变量可知，碗的高度随着碗的数量变化而变化，则碗的数量是自变量，高度是因变量， 故答案为：碗的数量；高度； （2）由表格可知，每增加一只碗，高度增加1.2cm， ∴h＝4+1.2（x﹣1）＝1.2x+2.8， ∴h＝1.2x+2.8； （3）∵h＝1.2x+2.8， ∴当x＝7时，h＝1.2×7+2.8＝11.2， ∴这摞碗的高度为11.2cm． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是掌握函数的概念，函数解析式，求函数值． 题型十 动点运动问题与函数图象 本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图1中点P的运动与图2中的函数图象进行对应． 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 2．如图，在边长为4的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，动点P从点A出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A，B），则三角形的面积S随着时间变化的图象大致是（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据点P在、、、、上时，的面积S与时间t的关系确定图象． 【详解】解：当点P在上时，的底不变，高增大，所以的面积S随着时间t的增大而增大； 当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变； 当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小； 当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变； 当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小； 综上分析可知，B选项中的图象符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，解题关键是深刻理解动点的变量变化，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 3．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 4．如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 【答案】(1)3；6；18 (2) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）由函数图象知，由三角形面积求得，据此求解即可； （2）先求得，再利用三角形面积公式列式即可． 【详解】（1）解：当时点从点运动到点，， ∴， 点从点运动到点，面积从变化到， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；6；18； （2）解：， ∴． 5．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，函数是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 【答案】(1)H的运动时间为，的面积为S (2)4，14 (3) 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积． 【详解】（1）解：由图象可知，的面积S随着时间t的改变而改变． 所以自变量为：H的运动时间t；函数为：的面积S． 故答案为：H的运动时间t；的面积S； （2）解：，，则， ， 故答案为：4，14； （3）解：∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点H在上运动时的面积不变， ， 6．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，长方形，，，，E为边的中点，P为长方形边上的动点，动点P从A出发，沿着运动到E点停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．           (1)当时，对应________；当时，对应________；当时，对应________； (2)当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________．（分别用含x的代数式表示） (3)若时，求出相对应的x值． 【答案】(1)8；14；4 (2)；； (3)或 【分析】（1）找到对应的点的位置，求出的面积即可； （2）设定对应的点的位置，用x表示出的面积即可； （3）分点P在边上，点P在边上，点P在边上三种情况，根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：当时，点在上，， ∴， ∴当时，对应； 当时，如图，点在上，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴当时，对应； 当时，如图，点在上，，则， ∴， ∴当时，对应； 综上所述，当时，对应；当时，对应；当时，对应． （2）解：当点P在边上时，如图，， ∴． ∴当点P在边上时，即时，； 当点P在边上时，如图，， ， ∴当点P在边上时，即时，； 当点P在边上时，如图，，则， ∴， ∴当点P在边上时，即时，； 综上所述，当点P在边上时，；当点P在边上时，；当点P在边上时，． （3）解：当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴； 当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴，不符合题意，舍去； 当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴． 综上所述，当时，x值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 函数的概念及其表示方法 题型一 常量与变量 判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化的过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生变化.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量. 1．（2024八年级下·全国·专题练习）在圆面积公式中，常量与变量分别是（    ） A．常量是π，变量是S，r B．常量是2，变量是S，π，r C．常量是S，变量是π，r D．常量是r，变量是S，π 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 3．（23-24七年级下·福建宁德·期中）一本练习本每本2.5元，买m本共付n元，则2.5和n分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，常量 C．变量，变量 D．常量，变量 4．（24-25八年级下·河北沧州·期中）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）某水库蓄满水时的水位高度为，现以每秒立方米的速度开闸放水．放水过程中，水库的水位高度为，放水时间为，则和t分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．变量，常量 D．常量，变量 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）两邻边长分别为2与的长方形的面积为S，下列对于三个量描述正确的是（    ） A．2是常量；S，是变量 B．S是常量；2，是变量 C． 是常量；2，S是变量 D．2，是常量；S是变量 题型二 函数的识别 对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）[新情境]作为2026年的首次发射，神舟二十三号飞船备受瞩目．在升天过程中，燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一过程中，自变量是（   ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）健康骑行，快乐同行．周末，淇淇从家出发，以的速度匀速骑行，用时骑行，自变量是（    ） A． B．用时 C．骑行 D．用时和骑行 3．（25-26八年级下·北京·期中）下列式子中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）下列关系式中，不是的函数的是（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．B． C． D． 6．（2026八年级下·北京·专题练习）下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A． B． C． D． 题型三 确定函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1．（2026·江苏无锡·一模）函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北衡水·月考）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）函数中，自变量x的取值范围是___________． 5．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）在函数中，自变量x的取值范围是______． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 题型四 求函数的值 ①当已知函数表达式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数表达式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数，当函数值时，自变量的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·开学考试）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是7，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（    ） A．9 B．11 C．4 D．14 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与之间的函数关系式为，则当时，_____________． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 题型五 列函数表达式 表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式． 注意：①函数表达式是等式． ②函数表达式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的表达式在书写时有顺序性. 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后，手表显示的电量为．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北沧州·月考）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小明同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小明离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，则与之间的函数关系式是______． 4．某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围） 5．（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 题型六 实际问题中的函数图象 正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象. 1．（25-26八年级下·四川内江·月考）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·海南海口·月考）小颖站在离家不远的公交车站等车，下列各图中能够最好地刻画等车这段时间小颖离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东广州·期中）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 题型七 从函数图象中获取信息解决问题 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（    ） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 3．（24-25七年级下·河南周口·期末）（在弹簧弹性范围内）为了估计弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，同学们测量出弹簧悬挂不同质量的砝码时所对应的长度，并用横坐标表示砝码的质量，纵坐标表示弹簧的长度，在平面直角坐标系中描出了若干散点，如图所示．小明发现，这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，他画了一条经过了最多散点的直线，来表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，根据小明所作的趋势图，下列说法错误的是（   ） A．所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长 B．物体的质量每增加，弹簧的长度增加约 C．所挂物体的质量时，弹簧的长度约 D．不挂物体时，弹簧长度约 4．（24-25七年级下·福建莆田·期末）北京冬奥会开幕式以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界．下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图（白昼时长（日出时刻）（日落时刻），下列结论中正确的是（    ） A．立夏这天的日出时间是 B．白昼时长在小时的有10天 C．立冬这天的日落时间是 D．小满时白昼时间最长 5．（23-24八年级上·陕西榆林·开学考试）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）    A．点表示老刘出发，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为 C．老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在的速度比的速度慢 6．（25-26八年级下·河北沧州·月考）一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题： (1)解释点C的实际意义； (2)若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长． 题型八 用表格表示变量间的关系 1.确定自变量和函数：先找出表格中作为自变量的量，以及随它变化的函数值。 2.读取对应值：根据自变量的值，在表格中直接找到对应的函数值。 3.判断变化规律：观察自变量增大时，函数值是增大、减小还是有其他变化。 4.归纳函数关系：通过数值变化，总结出自变量与函数之间的数量规律。 5.估算与预测：利用规律，推算表格以外的函数值。 1．在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系如下表，下列说法不正确的是（    ） x/ 0 1 2 3 4 5 y/ 20 20.5 21 21.5 22 22.5 A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数 B．弹簧不挂重物时的长度为0 C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加0.5 D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为23.5 2．一个蓄水池有50m3的水，打开放水闸门放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下列说法不正确的是（　　） 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中的水量（） 48 46 44 42 … A．每分钟放水 B．放水10分钟后，水池中还有的水 C．水池中的水量是自变量，放水时间是因变量 D．放水25分钟，水池中的水全部放完 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水后，水池中还有水（    ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 5．（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 6．（25-26八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 题型九 函数的三种表示方法 用代数式表示规律时用到特殊到一般的思想，先探究出规律再利用规律解决问题． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，结合表格中的数据回答问题： 梯形的个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 5 8 11 14 17 … (1)设图形的周长为，梯形的个数为，试写出与的函数解析式； (2)求时，图形的周长； (3)求时，梯形的个数． 2．一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度． x 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？ 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 5．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 6．（2024春•榆阳区校级期中）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 高度（cm） 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … （1）上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是函数？ （2）用h（cm）表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h； （3）若这摞碗的数量为7只，求这摞碗的高度 题型十 动点运动问题与函数图象 本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图1中点P的运动与图2中的函数图象进行对应． 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为4的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，动点P从点A出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A，B），则三角形的面积S随着时间变化的图象大致是（    ）    A．  B．   C．   D．   3．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 4．如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 5．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，函数是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 6．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，长方形，，，，E为边的中点，P为长方形边上的动点，动点P从A出发，沿着运动到E点停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．           (1)当时，对应________；当时，对应________；当时，对应________； (2)当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________．（分别用含x的代数式表示） (3)若时，求出相对应的x值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $