10.5 分式方程（题型专练，4基础4提升+培优）数学新教材苏科版八年级下册

10.5 分式方程 题型一 分式方程的定义 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 2．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 3．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未知数． 本题考查了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 4．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是______．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 题型二 根据分式方程解的情况求值 1．关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为，列不等式求解得到的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同乘去分母得：， 整理得，， 移项合并得，， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为， ∴， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴的取值范围是且． 2．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】利用不等式无解及分式方程的解为非负数得到a的取值范围，再求所有满足条件的整数a的值之和即可． 【详解】解：解得， 解得， ∵无解， ∴两个不等式的解集和没有公共部分， ∴， 解得：， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负数， ∴，且 ∴且 综上：且 所有满足条件的整数a的值之和：． 3．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 【答案】 且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 整理得， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 4．若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】14 【分析】先解不等式组并结合解的情况确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． ∴，解得：． 分式方程化简为：，解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，即a为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， ∴所有满足条件的整数a之和为． 题型三 分式方程无解问题 1．关于x的分式方程无解，则字母a的值是（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分类讨论，分别得出答案即可． 【详解】解： ， 两边同时乘以得，， ． 当时，即，整式方程无解，故原分式方程也无解； 当时，， 故方程的解为增根时，原分式方程无解， 即或， 或， 若，此方程无解； 若，解得，， 综上，或． 2．若分式方程无解，则a的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分式方程无解说明方程的解为无解，无解使原分式分母为0，先去分母将分式方程化为整式方程，再将无解代入整式方程即可求出a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， 整理得， ∵ 分式方程无解， ∴ 原方程分母为， 解得， 把代入，得 ， 解得． 3．若关于x的方程无解，则a的值是________． 【答案】或1 【分析】先去分母，然后根据方程无解可分当时，当时，进而问题可求解． 【详解】解：由关于x的方程去分母、合并得：， ∵该方程无解， ∴当时，即，符合题意； 当时，即分母为0，符合无解，此时； 综上所述：当或1时，原方程无解． 4．若关于x的方程无解，则m的值为______． 【答案】3 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解可知方程存在增根，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将原方程变形，得， 去分母，得， 整理得， 原分式方程无解， 原方程的增根为， 把代入，得，解得． 题型四 列分式方程 1．某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多300元，所有房屋的租金第一年为1.2万元，第二年为1.56万元．设第一年每间房屋的租金为 x元，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据出租房屋的总间数不变，列方程解答即可． 【详解】解：∵ 第一年总租金为1.2万元，即12000元，第二年总租金为1.56万元，即15600元， 设第一年每间房屋的租金为元，则第二年每间房屋的租金为元， ∵出租房屋总间数不变， ∴可得方程 ． 2．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 3．某商店购进黄河口大闸蟹，第一次用4800元购进若干千克．卖完后，第二次每千克进价提高了4元，同样用4800元购进的数量比第一次少40千克，求第一次的进价．设第一次每千克进价为x元，根据题意列方程为______． 【答案】 【分析】根据总进价和单价分别表示出两次购进大闸蟹的数量，再根据两次购进数量的关系列方程． 【详解】解：设第一次每千克进价为元.则第二次每千克进价为元， 第一次购进大闸蟹的数量为千克， 第二次购进大闸蟹的数量为千克， 根据题意，第二次购进的数量比第一次少千克，列方程得：． 4．完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 【答案】 【分析】先根据甲单独完成需要的天数得到乙单独完成需要的天数，再根据两人合作4天完成的工作量等于总工作量减去未完成的工作量，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意得，甲单独完成需要天，甲单独完成比乙少用天，则乙单独完成需要天， 甲的工作效率为，乙的工作效率为． 根据等量关系可列方程为． 题型一 行程问题 1．甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【答案】B 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 2．随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 【答案】长安深蓝的最高车速为公里/时． 【分析】设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时，根据“长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：长安深蓝的最高车速为公里/时． 3．已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2)共有次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后 【分析】（1） 设乙车速度为未知数，根据时间相等的条件，结合行程问题中时间路程速度的关系，列分式方程求解即可得到甲乙两车的速度； （2）分情况讨论相遇情况，第一次为出发后相向而行的相遇，根据路程和等于总路程求时间；再计算甲车到达B地后返回，转化为追及问题，计算第二次相遇的时间，判断没有第三次相遇，最终得到结果． 【详解】（1）解：设乙车的速度是，则甲车的速度是， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲车的速度是，乙车的速度是； （2）解：设从出发开始经过小时相遇，分情况讨论： 当甲乙第一次迎面相遇时，两人路程和为， 可得 ， 解得 ，符合行驶条件，即第一次相遇在出发后小时， 计算甲车从A到B的总时间为 ，即时甲车到达B地， 此时乙车行驶的路程为，乙车还未到达A地， 甲车返回时速度为 ， 设从出发到第二次相遇的时间为，，以A为原点建立位置关系，甲车的位置为，乙车的位置为，相遇时位置相等， 因此 ， 化简得， 解得， 乙车到达A地的总时间为， 因此符合题意，即第二次相遇在出发后小时 乙到达A地前，甲车已经返回到达A地，之后两车停止运动，没有第三次相遇． 答：共有2次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后． 4．“五·一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加．已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的倍，在同时出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如下表所示． 游船 大巴车 路程 票价 一等票64元/人 88元/人 二等票40元/人 (1)求游船和大巴车的速度（单位：）； (2)该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多购买多少张一等票？ 【答案】(1)游船的速度为，大巴车的速度为 (2)最多购买32张一等票 【分析】（1）设游船的速度为，则大巴车的速度为，然后根据等量关系“乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达”列分式方程求解即可； （2）设购买a张一等票，则可购买张二等票，再根据不等关系“所有学生的票价总和不超过3980元”列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设游船的速度为，则大巴车的速度为 根据题意，，解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ，． 答：游船的速度为，大巴车的速度为． （2）解：设购买a张一等票，则可购买张二等票， 由题意可得：，解得：． 为整数 的最大值为32． 答：最多购买32张一等票． 题型二 工程问题 1．改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】原计划每天种棵树 【分析】设原计划每天种棵树，根据提前天完成任务，列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天种棵树， 根据题意得：， 解这个方程得：， 经检验，是方程的解， 答：原计划每天种棵树． 2．高速公路在我国建设得越来越多，百姓出行越来越便捷，对地区的经济发展起到了很大的促进作用．已知两个工程队共同参与某项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成．问： (1)哪个工程队的施工速度快？ (2)若甲、乙两队同时施工，需多少时间完成整项工程？ 【答案】(1)乙工程队的施工速度快 (2)若甲、乙两队同时施工需要2.4个月完成整项工程 【分析】（1）设乙队单独施工需x个月完成整项工程，根据工作总量等于1建立分式方程求解； （2）设若甲、乙两队同时施工需要y个月完成整项工程，根据工作总量等于1建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设乙队单独施工需x个月完成整项工程， 根据题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，且， ∴乙工程队的施工速度快； （2）解：设若甲、乙两队同时施工需要y个月完成整项工程， 根据题意得：， 解得：． 答：若甲、乙两队同时施工需要2.4个月完成整项工程． 3．某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 【答案】每月实际生产智能手机万部． 【分析】设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部，根据工作时间工作总量工作效率结合提前个月完成任务，列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每月实际生产智能手机万部． 4．某项工程，如果由甲乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元，现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？ 【答案】 在保证一周完成的前提下，乙队承包费用最少，乙单独承包总费用为177000元. 【分析】先设甲，乙，丙单独承包各需要x，y，z天完成，根据题意列出分式方程组，再求出解，然后设甲，乙，丙单独完成工作一天，各需要u，v，w元，根据题意列出三元一次方程组，求出解，最后求出单独承包的费用，并比较得出答案． 【详解】解：设甲，乙，丙单独承包各需要x，y，z天完成，根据题意，得 ， 解得． 经检验，方程的解符合题意． 设甲，乙，丙单独完成工作一天，各需要u，v，w元，根据题意，得 ， 解得， ∴由甲单独承包，费用为（元）； 由乙单独承包，费用为（元）； 丙队不能在一周内完成，所以乙队承包费用最少． 题型三 经济问题 1．冬天是流感高发的季节，在今年冬天来临之际，为了预防流感，某学校购买了一批消杀用品．其中，购买A品牌消毒液共花费9000元，购买B品牌消毒液共花费6000元，且购买A品牌消毒液的数量是B品牌消毒液的2倍．已知购买一瓶A品牌消毒液比购买一瓶B品牌消毒液少用5元． (1)求A，B两种品牌的消毒液每瓶各是多少元． (2)该校决定再购买A，B两种品牌的消毒液共600瓶，且B品牌消毒液的数量不低于A品牌消毒液数量的2倍，则学校应该怎样购买可以使花费最少，最少花费为多少元？ 【答案】(1)A品牌消毒液每瓶15元，B品牌消毒液每瓶20元 (2)购买A品牌消毒液200瓶，B品牌消毒液400瓶时花费最少，最少花费为11000元 【分析】（1）设A品牌消毒液每瓶x元，则B品牌消毒液每瓶元，根据“购买A品牌消毒液的数量是B品牌消毒液的2倍”列分式方程求解； （2）设购买A品牌消毒液m瓶，则购买B品牌消毒液瓶，总花费为w元，根据“B品牌消毒液的数量不低于A品牌消毒液数量的2倍”列不等式求出，然后表示出w，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A品牌消毒液每瓶x元，则B品牌消毒液每瓶元， 根据题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解， ∴（元） 答：A品牌消毒液每瓶15元，B品牌消毒液每瓶20元； （2）解：设购买A品牌消毒液m瓶，则购买B品牌消毒液瓶，总花费为w元， 根据题意得， 解得 ∴ ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，w取得最小值，最小值为（元） ∴（瓶） 答：购买A品牌消毒液200瓶，B品牌消毒液400瓶时花费最少，最少花费为11000元． 2．为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． (1)求A类餐盒的价格． (2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) A类餐盒每个的价格为1元 (2) 购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元 【分析】（1）设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，结合题意列不等式得到，设总费用为，由此列式，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元， ∴， 解得，， 检验，当时，原方程有意义， ∴A类餐盒每个的价格为1元； （2）解：根据（1）的计算可知，B类餐盒每个的价格为元， 设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个， ∴， 解得，， 设总费用为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，最小值为（元）， ∴， ∴购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元． 3．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，要求甲种滑动变阻器的数量不多于乙种滑动变阻器的数量的3倍，总费用不超过5000元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价为48元，乙种滑动变阻器的单价为54元 (2)有9种购买方案，方案一：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个；方案二：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个；…，方案九：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个；所需费用最少的购买方案是购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个，此时费用为元 【分析】（1）设甲种滑动变阻器的单价为元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个，由题意可得，求解得出，结合为整数，得出可以取，，，…，，共种取值，对应的购买方案有种，设总费用为元，则，再由一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 故甲种滑动变阻器的单价为48元，乙种滑动变阻器的单价为54元； （2）解：设购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个， 由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴可以取，，，…，，共种取值，对应的购买方案有种， 方案一：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个； 方案二：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个； …， 方案九：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个； 设总费用为元，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最小值，此时，（元）， 综上所述，有9种购买方案，方案一：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个；方案二：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个；…，方案九：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个；所需费用最少的购买方案是购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个，此时费用为元． 4．一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． (1)求甲、乙两种笔记本的单价； (2)在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 【答案】(1)甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元 (2)共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总花费最少 【分析】（1）设乙笔记本单价为未知数，根据销量差的关系列分式方程求解，检验后得到单价.； （2）设购买乙笔记本的数量，根据费用限制列不等式组，得到未知数的整数解从而得到方案数，再根据总费用随乙购买数量的变化规律得到最少花费的方案． 【详解】（1）解：设乙笔记本的单价为元，则甲笔记本的单价为元， 根据题意，得 方程两边同乘，得 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解，且符合题意， 则 答：甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元； （2）解：设购买乙笔记本本，则购买甲笔记本本， 根据题意，得 解第一个不等式，得 解第二个不等式，得， 即 因为为非负整数， 所以可取7，8，9，10，共4种取值，即共有4种购买方案. 设总费用为元，则 因为， 所以随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时， 答：共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总的花费最少． 题型四 和差倍分问题 1．八年级（1）班在校园劳动实践基地拔萝卜．已知第一小组每小时比第二小组多拔2筐萝卜，且第一小组拔18筐萝卜所用的时间与第二小组拔12筐萝卜所用的时间相同．设第二小组平均每小时拔x筐萝卜，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件分别表示出第一小组和第二小组拔萝卜的工作效率，再结合“第一小组拔18筐萝卜所用的时间与第二小组拔12筐萝卜所用的时间相同”这一关系，利用“工作时间=工作总量÷工作效率”来列出方程． 【详解】由题意知，第一小组平均每小时拔筐萝卜， 根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可列方程：． 2．今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设村平均每小时植树棵，则村平均每小时植树棵，根据“A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设村平均每小时植树棵， ∵两个村平均每小时共植树棵， ∴村平均每小时植树棵， 又∵A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同， ∴村用时为，村用时为， 因此可列方程． 3．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】(1)； (2)50千克 【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； （2）解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 4．随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 (2)购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． （2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 1．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于x的一次函数的图象不过第二象限，那么符合条件的所有整数a的和为________． 【答案】9 【分析】求出分式方程的解，根据解的情况，确定满足题意的整数的值，再根据一次函数不经过第二象限，求出的取值范围，进而确定出符合条件的所有整数a，求和即可． 【详解】解：解，得， ∵关于x的分式方程有正整数解， ∴且能被整除，且即， ∴， ∴， ∵关于x的一次函数的图象不过第二象限， ∴， ∴， ∴，． 2．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，因为不等式组有解，所以，因为分式方程有非负整数解，所以且为偶数，可得：或或或或，从而可得所有满足条件的整数的值之积． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 解分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程的解为非负整数， 且为偶数， ， ， 或或或或， 当时，， 当时，， ， 是分式方程的增根， 当时，， 当时，， 当时，， 或或或， ， 满足条件的整数的值之积为. 3．我校计划采购、两种型号的文件柜用于存放教学资料，调查发现：型号文件柜的单价是型号文件柜单价的倍，用元购买型号文件柜的数量比用元购买型号文件柜的数量多个． (1)、两种型号文件柜的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购这两种文件柜共个，要求型号文件柜的数量不少于型号文件柜数量的倍，且型号文件柜的数量不少于个．请你设计一种购买方案，使所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)型号文件柜单价元，型号文件柜单价元 (2)购买型号个、型号个时费用最少，最少费用为元 【分析】（1）根据“数量=总价÷单价”，结合型号数量比型号多个的等量关系列分式方程求解；（2）先根据题意列出关于型号数量的不等式组，得到的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性求解最少费用即可； 【详解】（1）设型号文件柜单价为元，则型号文件柜单价为元 ， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）； 答：型号文件柜单价元，型号文件柜单价元． （2）设购买型号文件柜个，总费用为元，则购买型号文件柜个， 由题意得， ， ， 不等式组的解集为，为整数， 总费用， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，最小， （元）， （个）； 答：购买型号个、型号个时费用最少，最少费用为元． 4．某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年月份款汽车的售价比去年同期每辆降价万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为万元，今年销售额只有万元． (1)今年月份款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两款汽车共辆，有几种进货方案？ (3)如果款汽车每辆售价为万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？ 【答案】(1)9万元 (2)共有5种进货方案 (3) 【分析】（1）设今年5月份款汽车每辆售价万元，根据今年的销售数量=去年的销售数量，列出分式方程，解方程，并检验即可求解． （2）根据公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，列出不等式组，求不等式组的整数解，即可求解． （3）根据题意列出代数式表示出利润，根据利润与无关，得出的系数为，即可求解． 【详解】（1）解：设今年5月份款汽车每辆售价万元．则： ， 解得：． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份款汽车每辆售价9万元； （2）设购进款汽车辆，则购进款汽车辆，根据题意得： ． 解得：． 的正整数解为，，，，， 共有种进货方案； （3）解：依题意，利润为： ∵要使（2）中所有的方案获利相同，即利润与无关， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.5 分式方程 题型一 分式方程的定义 1． D 2． D 3． B 4．②③ 题型二 根据分式方程解的情况求值 1． C 2． B 3． 且 4． 14 题型三 分式方程无解问题 1． D 2． A 3． 或1 4． 3 题型四 列分式方程 1． B 2． D 3． 4． 题型一 行程问题 1． B 2．长安深蓝的最高车速为公里/时． 3． (1)甲的速度为，乙的速度为 (2)共有次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后 4． (1)游船的速度为，大巴车的速度为 (2)最多购买32张一等票 题型二 工程问题 1．原计划每天种棵树 2． (1)乙工程队的施工速度快 (2)若甲、乙两队同时施工需要2.4个月完成整项工程 3．每月实际生产智能手机万部． 4． 在保证一周完成的前提下，乙队承包费用最少，乙单独承包总费用为177000元. 题型三 经济问题 1． (1)A品牌消毒液每瓶15元，B品牌消毒液每瓶20元 (2)购买A品牌消毒液200瓶，B品牌消毒液400瓶时花费最少，最少花费为11000元 2． (1)A类餐盒每个的价格为1元 (2)购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元 3． (1)甲种滑动变阻器的单价为48元，乙种滑动变阻器的单价为54元 (2)有9种购买方案，方案一：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个；方案二：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个；…，方案九：当时，，即购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个；所需费用最少的购买方案是购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个，此时费用为元 4． (1)甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元 (2)共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总花费最少 题型四 和差倍分问题 1． B 2． D 3． (1)； (2)50千克 4． (1)每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 (2)购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 1． 9 2． 3． (1)型号文件柜单价元，型号文件柜单价元 (2)购买型号个、型号个时费用最少，最少费用为元 4． (1)9万元 (2)共有5种进货方案 (3) 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.5 分式方程 题型一 分式方程的定义 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 4．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是______．（请填写序号） 题型二 根据分式方程解的情况求值 1．关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 3．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 4．若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 题型三 分式方程无解问题 1．关于x的分式方程无解，则字母a的值是（    ） A．且 B． C． D．或 2．若分式方程无解，则a的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 3．若关于x的方程无解，则a的值是________． 4．若关于x的方程无解，则m的值为______． 题型四 列分式方程 1．某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多300元，所有房屋的租金第一年为1.2万元，第二年为1.56万元．设第一年每间房屋的租金为 x元，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 3．某商店购进黄河口大闸蟹，第一次用4800元购进若干千克．卖完后，第二次每千克进价提高了4元，同样用4800元购进的数量比第一次少40千克，求第一次的进价．设第一次每千克进价为x元，根据题意列方程为______． 4．完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 题型一 行程问题 1．甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 2．随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 3．已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 4．“五·一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加．已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的倍，在同时出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如下表所示． 游船 大巴车 路程 票价 一等票64元/人 88元/人 二等票40元/人 (1)求游船和大巴车的速度（单位：）； (2)该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多购买多少张一等票？ 题型二 工程问题 1．改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 2．高速公路在我国建设得越来越多，百姓出行越来越便捷，对地区的经济发展起到了很大的促进作用．已知两个工程队共同参与某项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成．问： (1)哪个工程队的施工速度快？ (2)若甲、乙两队同时施工，需多少时间完成整项工程？ 3．某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 4．某项工程，如果由甲乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元，现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？ 题型三 经济问题 1．冬天是流感高发的季节，在今年冬天来临之际，为了预防流感，某学校购买了一批消杀用品．其中，购买A品牌消毒液共花费9000元，购买B品牌消毒液共花费6000元，且购买A品牌消毒液的数量是B品牌消毒液的2倍．已知购买一瓶A品牌消毒液比购买一瓶B品牌消毒液少用5元． (1)求A，B两种品牌的消毒液每瓶各是多少元． (2)该校决定再购买A，B两种品牌的消毒液共600瓶，且B品牌消毒液的数量不低于A品牌消毒液数量的2倍，则学校应该怎样购买可以使花费最少，最少花费为多少元？ 2．为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． (1)求A类餐盒的价格． (2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 3．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，要求甲种滑动变阻器的数量不多于乙种滑动变阻器的数量的3倍，总费用不超过5000元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 4．一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． (1)求甲、乙两种笔记本的单价； (2)在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 题型四 和差倍分问题 1．八年级（1）班在校园劳动实践基地拔萝卜．已知第一小组每小时比第二小组多拔2筐萝卜，且第一小组拔18筐萝卜所用的时间与第二小组拔12筐萝卜所用的时间相同．设第二小组平均每小时拔x筐萝卜，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 4．随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 1．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于x的一次函数的图象不过第二象限，那么符合条件的所有整数a的和为________． 2．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 3．我校计划采购、两种型号的文件柜用于存放教学资料，调查发现：型号文件柜的单价是型号文件柜单价的倍，用元购买型号文件柜的数量比用元购买型号文件柜的数量多个． (1)、两种型号文件柜的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购这两种文件柜共个，要求型号文件柜的数量不少于型号文件柜数量的倍，且型号文件柜的数量不少于个．请你设计一种购买方案，使所需费用最少，最少费用是多少？ 4．某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年月份款汽车的售价比去年同期每辆降价万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为万元，今年销售额只有万元． (1)今年月份款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两款汽车共辆，有几种进货方案？ (3)如果款汽车每辆售价为万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $