10.4 分式的乘除（题型专练，4基础2提升+培优）数学新教材苏科版八年级下册

10.4 分式的乘除 题型一 分式乘法 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可． 【详解】解：． 2．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，逐项判断变形是否正确． 【详解】A: （分子从变为，分母从变为，未同时乘以或除以相同整式）． 变形不一定正确． B: （分子分母同乘，且）． 变形一定正确． C: （除非）． 变形不一定正确． D: （分子分母同乘得，，除非）． 变形不一定正确． 故选B． 3．计算：___________． 【答案】 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型二 分式除法 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法运算，先对原式分母因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ， ∴化简结果为， 故答案为：A． 2．已知M、N均为分式，且，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据分式的加减乘除法则计算判断即可． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确． 3．某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 4．化简：． 【答案】 【分析】先将异分母分式通分，除法转化为乘法，再算小括号里的同分母分式减法，最后算乘法． 【详解】解：， ， ， ． 题型三 分式乘除混合运算 1．如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】解：甲图中阴影部分面积为， 乙图中阴影部分面积为， 则， ， ， ， ， 故选：B． 2．计算：________． 【答案】 【分析】利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 4．如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题： (1)求被手遮住部分的代数式； (2)已知，求（1）中所得的代数式的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）等式两边先乘以，再除以可得； （2）把变形为，再代入（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：由等式的基本性质得，被手遮住部分的代数式为． 化简，得， 被手遮住部分的代数式为． （2）解：， ， ． 题型四 含乘方的分式运算 1．计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 【答案】A 【分析】先计算乘方，再进行约分即可得到结果． 【详解】解： ∴ 化简得结果为． 2．____． 【答案】 【分析】先根据分式的乘方法则计算两个分式的乘方，再将分式除法转化为分式乘法．最后约分得到结果． 【详解】解： ． 3．如果，则的值等于____________； 【答案】22 【分析】利用完全平方公式求出，得出，再整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 4．按要求完成下列各题： (1)化简：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算及因式分解；熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式的混合运算法则和运算顺序进行计算即可； （2）先根据平方差公式分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型一 分式的化简求值 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，约分化简分式后，再代入计算结果，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】∵， 又， ∴代入原式 ． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再对除法的分子分母因式分解，将除法转化为乘法后约分得到最简式，最后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，计算整式的乘法，然后计算负整数指数幂和零指数幂求出a的值，然后代入求解． 【详解】解： 当时，原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 题型二 分式最值 1．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 2．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键． 由得，代入得，进而将表示为，分析其取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 即， 整理得， ∴解得， ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，等号成立，即取得最小值， ∴有最小值． 故选：． 3．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 4．请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 【答案】(1) (2) (3)当时，分式的最大值是5 【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识． （1）根据材料提供方法变形即可求解； （2）由（1）得，根据分式的值是整数，得到为整数，即可得到当x取整数时，是3的整数因数，得到或，即可求出； （3）变形为，即可得到当取最小值时，分式有最大值．根据，得到，求出当时，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵由（1）得， ∵分式的值是整数， ∴为整数， ∴当x取整数时，是3的整数因数， ∴或， ∴； （3）解：， ∴当取最小值时，分式有最大值． ∵， ∴， ∴当即时，， 故当时，分式的最大值是5． 1．将7张如图1的两边长分别为a和b（，a与b都为正整数）的长方形纸片按图2的方式不重叠放在长方形内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等，设，若，k为整数，则a可取的值的个数为（   ） A．0个 B．3个 C．5个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据左上角与右下角的阴影部分的面积相等．可得，从而得到，再由，可得，从而得到b取1，3，9，即可求解． 【详解】解：因为左上角与右下角的阴影部分的面积相等， 所以， 所以，   因为 ， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为k为整数， 所以取1，2，3，4，6，12， 因为b为正整数 所以b取1，3，9， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 因为， ∴， ∴a可取的值的个数为0． 2．艺术节是同学们最为快乐的时光，今年艺术节前夕，学校决定拿出一笔固定的资金用于购买艺术节学生奖品．根据奖项设置计划，一等奖奖品的总价将占学校预定总资金的，二、三等奖奖品的总价之比为．第一次用于购买一、二、三等奖奖品的资金之比为；第二次将用余下的资金继续购买一、二、三等奖奖品，经预算，需将余下资金的购买一等奖奖品，则还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为____． 【答案】 【分析】设学校预定总资金为元，可得一等奖总价为，根据第一次购买资金比设第一次一、二、三等奖资金分别为，，，根据一等奖总资金占比列方程求出与的关系，再设第二次购买二等奖资金为元，根据二、三等奖总价之比列方程求出，进而得到还需购买的二、三等奖资金比． 【详解】解：设学校预定总资金为元，则预定一等奖总价为元， 设第一次购买一、二、三等奖奖品的资金分别为元，元，元， 则第一次共花费资金元，余下资金为元， 第二次购买一等奖的资金为元， 因此一等奖总资金满足：， 整理得， 解得 ， 第二次用于购买二、三等奖的资金总和为：元， 设第二次还需购买二等奖的资金为元，则购买三等奖的资金为元， 根据预定二、三等奖总价之比为，可得：， 交叉相乘得： ， 整理得：， 解得， 则第二次购买三等奖的资金为， 因此还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为． 3．先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求、的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二：在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． (1)已知，用上面的解法一或解法二求、的值． (2)计算：，并求取何整数时，这个式子的值为正整数． 【答案】(1) (2)当x取时，这个式子的值为正整数． 【分析】（1）仿照示例解答即可； （2）先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再利用分式的加减法与乘法运算运算法则化简可得，然后根据整数性质求出x符合条件的整数的值即可． 【详解】（1）解：解法一： 将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二： 在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． （2）解：， ， ， ， ， ， 要使为正整数，则整数的所有可能取值为，即整数的所有可能取值为， 经检验，当x取时，分式的分母均不为零， 故当x取时，这个式子的值为正整数． 4．综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 【答案】(1)与互为“和常分式”，“和常值” (2)①；②或 (3) 【分析】（1）计算，观察结果是否为整数即可； （2）①根据，计算出的表达式即可；②对分式D进行化简得，故是的因数，由此得出的可能值； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【详解】（1）解： 与互为“和常分式”． ∵，， ∴， “和常值”． （2）解：①∵与互为“和常分式”，且“和常值”， ∴． 两边同乘，得， ∴ ． ②． ∵分式的值为正整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或． （3）解：∵与互为“和常分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.4 分式的乘除 题型一 分式乘法 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算：___________． 4．计算： (1)； (2)． 题型二 分式除法 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知M、N均为分式，且，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．化简：． 题型三 分式乘除混合运算 1．如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)． 4．如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题： (1)求被手遮住部分的代数式； (2)已知，求（1）中所得的代数式的值． 题型四 含乘方的分式运算 1．计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 2．____． 3．如果，则的值等于____________； 4．按要求完成下列各题： (1)化简：； (2)因式分解：． 题型一 分式的化简求值 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中． 题型二 分式最值 1．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 2．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 3．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 4．请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 1．将7张如图1的两边长分别为a和b（，a与b都为正整数）的长方形纸片按图2的方式不重叠放在长方形内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等，设，若，k为整数，则a可取的值的个数为（   ） A．0个 B．3个 C．5个 D．无数个 2．艺术节是同学们最为快乐的时光，今年艺术节前夕，学校决定拿出一笔固定的资金用于购买艺术节学生奖品．根据奖项设置计划，一等奖奖品的总价将占学校预定总资金的，二、三等奖奖品的总价之比为．第一次用于购买一、二、三等奖奖品的资金之比为；第二次将用余下的资金继续购买一、二、三等奖奖品，经预算，需将余下资金的购买一等奖奖品，则还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为____． 3．先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求、的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二：在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． (1)已知，用上面的解法一或解法二求、的值． (2)计算：，并求取何整数时，这个式子的值为正整数． 4．综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 分式的乘除 题型一分式乘法 1.C 2.B 3.》 &) 4. (1)9；(2x24yx+可 题型二分式除法 1.A 2.B 3.B 4. 3ba 题型三分式乘除混合运算 1.B 2.y2 3.4等 www.zxx k.com 10.4分式的乘除 题型一 题型二 基础达标题 题型三 题型四 题型一 能力提升题 题型二 拓展培优题 A基础达标题 1/3 上好每一堂课 分式乘法 分式除法 分式乘除混合运算 含乘方的分式运算 分式的化简求值 分式最值 学科网·上好课 2号 4.(1 (2)1 题型四含乘方的分式运算 1.A 2. 3.22 4.(1)-4x2-y2 2(x+3)2(x-3)2 题型一分式的化简求值 1.B 2.是， 3. 品；2 4.-2，-4 题型二分式最值 1.C 2.D 3.-6 望 4. (13+寻 (2x=-2,0,2,4 )当x=0时，分式的最大值是5 1.A www.zxxk.com 上好每一堂课 3 能力提升题 拓展培优题 2/3 可学科网·上好课 www zxxk com 2.1:3 ∫A=3 3. (11B=-2 (2)当x取2,3,4,7时，这个式子的值为正整数. 4.(1)A与B互为“和常分式”，“和常值”k=3 (2)①M=-5m-15;②m=-2或m=2 3)k=2 3/3 澂系一每并丁