专题01 坐标系中与直线有关的位置关系（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题01 坐标系中与直线相关的位置关系 题型一：两直线平行 题型二：两直线垂直 题型三：两直线对称 题型01 两直线平行 在直角坐标系中两直线平行，意味着两条直线的斜率K相同。 【典例1】（24-25八年级下·上海·期中）若直线与平行，则_____________． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据坐标系中若两一次函数所在的直线平行，那么这个一次函数的一次项系数相同进行求解即可． 【详解】解∶∵直线与平行， ∴， ∴或， 故答案为∶3或． 【变式1】（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数经过点，并且与直线平行，那么这个一次函数的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了求解一次函数解析式的知识．根据两条直线平行，k值相等，即可求出k，再根据与y轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴，即， ∵图象经过点， ∴，即， ∴这个一次函数的解析式是：． 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级下·上海普陀·期中）已知直线与直线平行，且直线过点．求： (1)直线的表达式； (2)直线与坐标轴围成的三角形面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与直线平行易得，设解析式为，将代入解析式，解得b，可得表达式； （2）令，可得直线与y轴的交点，利用三角形的面积公式可得结果． 【详解】（1）∵直线与直线平行， ∴设直线表达式为：， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）设直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， 令，则， 解得，， ∴, ∴OB=10； 令，则， ∴C（0，2）, ∴OC=2， ∴. 【变式3】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点坐标为 (2)点 (3)或或或 【分析】（1）结合平移的性质以及截距的定义得，因为点在轴上，故把代入进行求解，即可作答． （2）设点坐标为,结合的面积为6,进行列式计算，即可作答． （3）先理解题意，设，因为以、为顶点的四边形是菱形，且，，故要进行分类讨论，过程中运用由一组邻边相等的平行四边形是菱形的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． ∴， ∴； 令则， 解得， ∴点坐标为 （2）解：依题意，设点坐标为, 的面积为6, , ∴， ∴， 即或， 或， 点是线段上的点， , 点； （3）解：存在，过程如下： 在（2）条件下，点是直线上的点， ∴设 ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 整理得 ∴ 即点的坐标为 ∵四边形是菱形 ∴ 即， ∴， ∴， 整理得， ， ∴点的坐标为； ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴， ∴， 整理得， ∴（舍去） ∴ 此时； ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴， 当时，则，， 即， 当时，则， 即； 综上：或或或 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，菱形的性质，勾股定理，一次函数的图象性质，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式4】（24-25八年级·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB和直线BC相交于点，直线AB与y轴相交于点A，直线BC与x轴、y轴分别交于点，点C． (1)求直线AB的解析式． (2)过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标． (3)在（2）的条件下，点P是直线AB上一个动点，且点P在x轴的上方，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于三角形ABC的面积． ①求出点P的坐标． ②画出所有情况并直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)y=x+4 (2)（2，0） (3)①P（-2，2）；②画见解析，Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2） 【分析】（1）设过点A，B的直线，求得b，k而求得直线解析式； （2）首先设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c，则可求得k的值，所求直线后代入点A，求得c则得到直线； （3）在（2）的基础上，求得点P的有关坐标，求得△ABC面积，代入点P而求得点P，进而求得点Q． 【详解】（1）解：设直线AB为y=kx+b， 代入点B，A， 则， 解得b=4，k=1， ∴直线AB为y=x+4； （2）设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c， 根据题意得：k=＝−2， 则直线AE的直线为y=-2x+c， 则代入点A得c=4， 则直线AE为y=-2x+4， 则点E为（2，0）； （3）①∵点D（-1，0）、点B（-2，2）， 设直线BD的解析式为y=mx+n， 则，解得：， ∴直线BD的解析式为：y=-2x-2， ∴点C（0，-2）， ∴AC=6， ∴S△ABC=×6×2=6， ∵DE=2-（-1）=3， ∴以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的高为6÷3=2， ∵点P是直线AB上一动点且在x轴的上方， ∴点P的纵坐标为4， ∴2=x+4， ∴x=-2，即点P的坐标为（-2，2）； ②若点Q在x轴上方， 则PQ∥DE，且PQ=DE， 此时点Q1（1，2），Q2（-5，2）； 若点Q在x轴下方， 则Q3（3，-2）； ∴Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）． 【点睛】本题考查了一次函数的运用，考查了过两点确定一条直线，考查了知道直线斜率和一点求直线，直线间的交点，形成四边形而求面积． 【变式5】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）已知和都是关于自变量的函数，若当时，（，为常数），当时，（，为常数），此时，函数的图象与函数的图象互相垂直，则称函数为函数的“垂直函数”． (1)请直接写出函数的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)如图，函数和它的“垂直函数”组成的图象记为，图象与轴交点记为点，线段的两个端点坐标分别为，． ①当图象与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如图，分别过两点作轴的平行线交图象于点，连接，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积； ③如图，连接，当的值最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（）根据“垂直函数”的定义解答即可； （）①根据“垂直函数”的定义求出，再利用待定系数法求出的解析式，分别联立和的解析式，联立和的解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再求出直线经过点时的值，根据图象与线段有两个公共点可求出的取值范围；②根据平行线的性质可得点横坐标为，点横坐标为，即得，，得到，，再利用平行线的性质求出的值即可求解；③，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，，利用轴对称的性质可得，可知当点在点位置，即点三点共时，的值最大，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，再代入解答即可求解； 本题考查了一次函数的新定义，一次函数的几何应用，平行四边形的性质等，理解一次函数的新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵函数， ∴，， ∴函数的“垂直函数”的函数表达式为； （2）解：①∵函数， ∴函数和它的“垂直函数”， 当与线段有交点时， 设的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴的解析式为， 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 把代入，得， ∴， 即直线经过点时， ∵要使图象与线段有两个公共点， ∴， ∴的取值范围为； ②如图，∵，，平行于轴， ∴点横坐标为，点横坐标为， 把代入，得， ∴点， 把代入，得， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， 解得， ∴， ∵的水平距离为， ∴平行四边形的面积为； ③如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，， ∴ 又∵， ∴当点在点位置，即点三点共时，的值最大， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 把代入，得， ∴． 题型02 两直线垂直 知识点拓展：两条直线互相垂直，则斜率 =1； 方法归纳：关于一次函数初中阶段教学时是不讲斜率的，所以可以用几何的方法来求解 · 作辅助线构造“一线三垂直”证全等→转化求线段长→求距离→确定点的坐标→求直线表达式； · 万能通用：勾股定理逆定理兜底； 【典例1】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限，与垂直，且，则点C的坐标为______．    【答案】 【分析】先求出，得到，如图所示，过点C作轴于D，通过证明得到，进而得到，则． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 如图所示，过点C作轴于D， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【典例2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）已知和都是关于自变量的函数，若当时，（，为常数），当时，（，为常数），此时，函数的图象与函数的图象互相垂直，则称函数为函数的“垂直函数”． (1)请直接写出函数的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)如图，函数和它的“垂直函数”组成的图象记为，图象与轴交点记为点，线段的两个端点坐标分别为，． ①当图象与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如图，分别过两点作轴的平行线交图象于点，连接，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积； ③如图，连接，当的值最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（）根据“垂直函数”的定义解答即可； （）①根据“垂直函数”的定义求出，再利用待定系数法求出的解析式，分别联立和的解析式，联立和的解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再求出直线经过点时的值，根据图象与线段有两个公共点可求出的取值范围；②根据平行线的性质可得点横坐标为，点横坐标为，即得，，得到，，再利用平行线的性质求出的值即可求解；③，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，，利用轴对称的性质可得，可知当点在点位置，即点三点共时，的值最大，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，再代入解答即可求解； 本题考查了一次函数的新定义，一次函数的几何应用，平行四边形的性质等，理解一次函数的新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵函数， ∴，， ∴函数的“垂直函数”的函数表达式为； （2）解：①∵函数， ∴函数和它的“垂直函数”， 当与线段有交点时， 设的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴的解析式为， 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 把代入，得， ∴， 即直线经过点时， ∵要使图象与线段有两个公共点， ∴， ∴的取值范围为； ②如图，∵，，平行于轴， ∴点横坐标为，点横坐标为， 把代入，得， ∴点， 把代入，得， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， 解得， ∴， ∵的水平距离为， ∴平行四边形的面积为； ③如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，， ∴ 又∵， ∴当点在点位置，即点三点共时，的值最大， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 把代入，得， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证； （2）过点作，交于，过作轴于，则是等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式； 【详解】证明：（1），， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）过点作，交于，过作轴于，如图所示：    则， 根据旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）同理可证， ，， 把代入得：，把代入得：， 解得：， ，， ，， ，， ， 设的函数解析式为， 将点，的坐标代入得， 解得：，， 直线的函数解析式为； 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线．若，请直接写出m的值及直线的函数解析式． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）的长的最小值为；（3），直线的函数解析式为． 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）求出，得，又，故是等腰直角三角形； （2）当时，的长最小，证明，得，再用勾股定理得，故的长的最小值为； （3）过作交于，过作轴，过作于，过作于，设，把代入得：，解得，知直线解析式为，可得，证明，可得，故 ，可求得，再用待定系数法即得直线的函数解析式为． 【详解】（1）证明：在中，令得，令得， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）解：当时，的长最小，如图： ， ， ， ， ， ， ． ∴的长的最小值为； （3）解：过作交于，过作轴，过作于，过作于，如图： 设， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的函数解析式为． 【变式3】（20-21八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． (1)已知直线与直线垂直，求的值； (2)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； (3)已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，列式求解即可得到答案； （2）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案； （3）由直线与轴、轴分别相交于点，求出、，进而得到的中点坐标为和，由材料中若，有，设线段的垂直平分线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线垂直， ∴， 解得； （2）解：∵直线与直线垂直， ∴设直线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：直线与轴、轴分别相交于点， 当时，，即； 当时，，解得，即； 的中点为， 直线，即， 设线段的垂直平分线的表达式为， 将代入得，解得， ∴线段的垂直平分线的表达式为． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及直线垂直时的关系、待定系数法求直线表达式、一次函数图象与性质、中点坐标公式等知识，读懂题意，理解，有是解决问题的关键． 题型03 直线的对称 在坐标系中两条直线（一次函数的图象）对称常见的类型有：关于坐标轴对称、关于某条特定的直线对称； 无论哪种类型对称，解题思路都是先找对称点，再求直线解析式. 【典例1】阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线的表达式． (1)参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； (2)如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； (3)如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【答案】(1)； (2)直线的表达式为； (3)直线 的表达式为． 【分析】（）先求出与轴交点坐标为，，则与轴对称的点坐标为，，然后利用待定系数法即可求解； （）直线与的交点坐标为，则点关于的对称点坐标为，设直线的解析式为，然后然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，，则两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为，然后利用待定系数法即可求解； 本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由得，当时，当时，， ∴与轴交点坐标为，， ∴与轴对称的点坐标为，， 设直线关于轴对称的直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线关于轴对称的直线的表达式为， 故答案为：； （2）解：∵直线与的交点坐标为， ∴点关于的对称点坐标为， 设直线的解析式为， 则 ，解得， ∴直线的表达式为； （3）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线 的表达式为． 【变式1】关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 【变式2】定义：一次函数与一次函数的图象关于直线成轴对称，且直线轴，那么我们称这两个一次函数是成轴对称一次函数，对称轴为直线，这两个一次函数图象的交点称为“对称和谐点”．例如，如图1，一次函数与一次函数的图象关于直线成轴对称，那么一次函数与一次函数是成轴对称一次函数，对称轴是直线，交点是这两个一次函数的“对称和谐点”． (1)判断下面两组一次函数，是成轴对称一次函数的是______________（填“①”或“②”）． ①与；②与． (2)请你写出一组成轴对称一次函数，并写出它们的对称轴直线与“对称和谐点”．（写出一个即可，不与题中出现的函数重复） (3)若一次函数与一次函数是成轴对称一次函数，对称轴是轴，“对称和谐点”是．请你在图2中画出一次函数与一次函数的图象，用字母表示“对称和谐点”．（用无刻度的直尺画出图形，不需要尺规作图） 【答案】(1)① (2)答案不唯一，例如，与，对称轴为轴，“对称和谐点”为 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的图象，涉及待定系数法求函数解析式，图象上点的坐标特征等知识点． （1）分别画出①②中的两个一次函数图象，根据图象直接判断即可； （2）根据题意即可写出； （3）先求出两个一次函数的解析式，再作图即可． 【详解】（1）解：①作出直线与直线，如图： 由图象可得两个一次函数图象关于直线对称，故是成轴对称一次函数； ②作出直线与直线，如图： 从图象可得直线与直线不关于直线对称， ∴直线与直线不成轴对称一次函数， 故答案为：①； （2）解：由题意，与成轴对称一次函数，对称轴为轴，“对称和谐点”为， 如图： （3）解：由题意得，将“对称和谐点”是代入， 则，， ∴，， 设直线上任意一点为， ∵对称轴是轴， ∴点关于轴的对称点在直线上， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∴可画图象为： 【变式3】如图，直线与直线相交于点，两条直线与轴分别交于点、点，且点和点关于直线对称，已知直线的函数关系式为． (1)请直接写出： ①___________； ②直线的函数关系式___________； (2)若点是直线上的一个动点，当时，请求出点的坐标； 【答案】(1)①，② (2)或 【分析】（1）根据点P的横坐标求解其纵坐标，根据对称性求出点B的坐标，并利用B、P两点的坐标写出直线的函数关系式； （2）设出点Q的坐标，根据三角形的面积等于底乘以高以及题设中给出的条件，列方程求解点Q的坐标； 【详解】（1）将代入得： 令，则 ∴点的坐标为： ∵点和点关于直线对称 ∴点的坐标为： 设直线的函数关系式为： 将，代入得 ∴， ∴直线的函数关系式为： （2）设点的坐标为 ，， 若点在轴的上方 点的坐标为 若点在轴的下方 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或 【点睛】本题考查一次函数的关系式，一次函数与三角形面积的问题，解题的关键是能够根据题目的条件，分情况讨论． 【变式4】综合与探究 【研究主题】一次函数图象成轴对称的问题探究． 【特例感知】 探究直线：关于x轴成轴对称的直线的关系式的过程如下： 步骤1：如图1，在平面直角坐标系中，画出直线：的图象； 步骤2：求出与x轴交于点，与y轴交于点； 步骤3：点关于x轴对称的点C的坐标是______； 步骤4：画出直线，并由A、C两点坐标可求得的关系式为______． 归纳：问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为“______的对称问题”． （1）补全上述探究过程中的空格； （2）直线：关于y轴成轴对称的直线的关系式是______； 【类比迁移】 （3）如图2，已知直线：的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．若直线关于直线的对称后的直线恰好与x轴重合，请求出对称轴的解析式． 【拓展提升】 （4）结合上述探究所得的结论和经验，尝试完成下列问题： ①直线关于直线成轴对称的直线解析式是______； ②直线关于直线成轴对称的直线解析式是______． 【答案】（1）；；点；（2）；（3）或；（4）①；② 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及轴对称图形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及轴对称图形的性质是解题的关键； （1）根据点的坐标关于坐标轴对称的特征可进行求解； （2）由题意易得，然后可得直线与直线相交于点，进而根据待定系数法可进行求解； （3）由题意易得关于直线点的坐标规律是横纵坐标相反，则有直线与x、y轴的交点坐标为，然后可得直线关于直线的对称点坐标为，进而根据待定系数法可求解． 【详解】解：（1）设直线的解析式为， ∵点关于x轴对称的点C的坐标为， ∴把，代入， 得, 解得， ∴的解析式为； ∴问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为“点的对称问题”． 故答案为：；；点． （2）由（1）知，与x轴交于点，与y轴交于点； ∴点关于y轴对称的点D的坐标是， 设直线的解析式为, 把,代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； 故答案为：； （3）设点B关于直线对称后的点为点C，如图， 对，令，则， 令，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵直线关于直线对称后的直线恰好与x轴重合， ∴点C恰好在x轴上，且 , 设, ∵， ∴, ∴， 当时，， ∴, 连接，设线段的中点为D， 则， 设解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的解析式为． 综上，的解析式为或． （4）①如图，设平面直角坐标系中直线外任意点，作点Q关于直线的对称点P，分别作点于点N、轴于点M， 则，，， ∴， ∴， 由直线可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设是直线关于直线成轴对称的直线上的点， 则对应点在直线上， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， 设， 则， ∴可化为， ∴， 由①知，直线关于直线对称的直线为， ∴， ∵， ∴， ∴, 即． 故答案为：． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 坐标系中与直线相关的位置关系 题型一：两直线平行 题型二：两直线垂直 题型三：两直线对称 题型01 两直线平行 在直角坐标系中两直线平行，意味着两条直线的斜率K相同。 【典例1】（24-25八年级下·上海·期中）若直线与平行，则_____________． 【变式1】（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数经过点，并且与直线平行，那么这个一次函数的解析式为________． 【变式2】（22-23八年级下·上海普陀·期中）已知直线与直线平行，且直线过点．求： (1)直线的表达式； (2)直线与坐标轴围成的三角形面积. 【变式3】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4】（24-25八年级·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB和直线BC相交于点，直线AB与y轴相交于点A，直线BC与x轴、y轴分别交于点，点C． (1)求直线AB的解析式． (2)过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标． (3)在（2）的条件下，点P是直线AB上一个动点，且点P在x轴的上方，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于三角形ABC的面积． ①求出点P的坐标． ②画出所有情况并直接写出点Q的坐标． 【变式5】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）已知和都是关于自变量的函数，若当时，（，为常数），当时，（，为常数），此时，函数的图象与函数的图象互相垂直，则称函数为函数的“垂直函数”． (1)请直接写出函数的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)如图，函数和它的“垂直函数”组成的图象记为，图象与轴交点记为点，线段的两个端点坐标分别为，． ①当图象与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如图，分别过两点作轴的平行线交图象于点，连接，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积； ③如图，连接，当的值最大时，直接写出的值． 题型02 两直线垂直 知识点拓展：两条直线互相垂直，则斜率 =1； 方法归纳：关于一次函数初中阶段教学时是不讲斜率的，所以可以用几何的方法来求解 · 作辅助线构造“一线三垂直”证全等→转化求线段长→求距离→确定点的坐标→求直线表达式； · 万能通用：勾股定理逆定理兜底； 【典例1】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限，与垂直，且，则点C的坐标为______．    【典例2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）已知和都是关于自变量的函数，若当时，（，为常数），当时，（，为常数），此时，函数的图象与函数的图象互相垂直，则称函数为函数的“垂直函数”． (1)请直接写出函数的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)如图，函数和它的“垂直函数”组成的图象记为，图象与轴交点记为点，线段的两个端点坐标分别为，． ①当图象与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如图，分别过两点作轴的平行线交图象于点，连接，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积； ③如图，连接，当的值最大时，直接写出的值． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线．若，请直接写出m的值及直线的函数解析式． 【变式3】（20-21八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． (1)已知直线与直线垂直，求的值； (2)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； (3)已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 题型03 直线的对称 在坐标系中两条直线（一次函数的图象）对称常见的类型有：关于坐标轴对称、关于某条特定的直线对称； 无论哪种类型对称，解题思路都是先找对称点，再求直线解析式. 【典例1】阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线的表达式． (1)参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； (2)如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； (3)如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【变式1】关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【变式2】定义：一次函数与一次函数的图象关于直线成轴对称，且直线轴，那么我们称这两个一次函数是成轴对称一次函数，对称轴为直线，这两个一次函数图象的交点称为“对称和谐点”．例如，如图1，一次函数与一次函数的图象关于直线成轴对称，那么一次函数与一次函数是成轴对称一次函数，对称轴是直线，交点是这两个一次函数的“对称和谐点”． (1)判断下面两组一次函数，是成轴对称一次函数的是______________（填“①”或“②”）． ①与；②与． (2)请你写出一组成轴对称一次函数，并写出它们的对称轴直线与“对称和谐点”．（写出一个即可，不与题中出现的函数重复） (3)若一次函数与一次函数是成轴对称一次函数，对称轴是轴，“对称和谐点”是．请你在图2中画出一次函数与一次函数的图象，用字母表示“对称和谐点”．（用无刻度的直尺画出图形，不需要尺规作图） 【变式3】如图，直线与直线相交于点，两条直线与轴分别交于点、点，且点和点关于直线对称，已知直线的函数关系式为． (1)请直接写出： ①___________； ②直线的函数关系式___________； (2)若点是直线上的一个动点，当时，请求出点的坐标； 【变式4】综合与探究 【研究主题】一次函数图象成轴对称的问题探究． 【特例感知】 探究直线：关于x轴成轴对称的直线的关系式的过程如下： 步骤1：如图1，在平面直角坐标系中，画出直线：的图象； 步骤2：求出与x轴交于点，与y轴交于点； 步骤3：点关于x轴对称的点C的坐标是______； 步骤4：画出直线，并由A、C两点坐标可求得的关系式为______． 归纳：问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为“______的对称问题”． （1）补全上述探究过程中的空格； （2）直线：关于y轴成轴对称的直线的关系式是______； 【类比迁移】 （3）如图2，已知直线：的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．若直线关于直线的对称后的直线恰好与x轴重合，请求出对称轴的解析式． 【拓展提升】 （4）结合上述探究所得的结论和经验，尝试完成下列问题： ①直线关于直线成轴对称的直线解析式是______； ②直线关于直线成轴对称的直线解析式是______． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $