精品解析：江苏省苏州市吴江区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

2025—2026学年吴中吴江相城初二数学期中试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 春雨生百谷，时节至谷雨．作为二十四节气中春季的最后一个节气，年谷雨自月日始，于月日止．此时春雨绵绵、滋养万物，百谷破土萌生，人间满是生机与丰收的希望．下列四幅作品分别代表“谷雨”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．从左到右是整式乘法，不是因式分解； B．右边变形后出现分式，不是整式，不是因式分解； C．左边是多项式，右边是整式的乘积，是因式分解； D．右边是乘积与多项式的和，不是几个整式乘积的形式，不是因式分解． 3. 一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式（），再根据定义确定一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是，， 故选：D． 4. 根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（ ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断． 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 5. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定定理，正方形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质．根据菱形的判定方法和正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的四个图形中， 第一个四边形中，，， ∴，不是菱形； 第二个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， ∴第二个四边形是菱形； 第三个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 第四个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， ∴第四个四边形是正方形； 综上，是菱形但不是正方形的有2个． 故选：B． 6. 有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知，，则用．、表示R是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对等式右边进行通分，求出和之后，再根据倒数的性质求出R的表达式． 【详解】解：∵， ． 7. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，再根据长方形一边长为，得出另外一条边长即可． 【详解】解： ， ∵长方形一边长为， ∴长方形的另外一条边长为． 8. 如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（ ） A. B. C. 6 D. 不确定，随着四边形的形状改变 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点G，连接，，利用三角形中位线定理将已知的对角线和的长度及垂直关系转化到中，从而求解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接，， ∵点E、F、G分别是、、的中点，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上） 9. 计算________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：原式 10. 如图在平行四边形中，是的3倍，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形邻角互补以及对角相等的性质，结合已知条件求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 11. 若m是一元二次方程的一个解，则代数式________． 【答案】2028 【解析】 【详解】解：m是一元二次方程的一个解， ， ， ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，过点作轴于，过点作轴于，于，则四边形为矩形，进而得到，，先证明，进而可证明和全等，则，，进而得到，，，由此可得点的坐标． 【详解】解：点作轴于，过点作轴于，于，如图， 则四边形为矩形， ，，， ， 四边形为正方形， ，， 点， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 13. 把方程化成的形式，则的值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】方程配方得到结果，确定出与的值，即可求出的值． 【详解】解：方程整理得：， 配方得：， 即， ，， 则． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法，如图所示，在、分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，，则图中梯形的面积是________． 【答案】9 【解析】 【分析】先证明，，求得的长度，进而利用梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵D是的中点，四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证得：， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15. 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是________． 【答案】1或4 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义得到，再由一元二次方程的解得到，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∵是这个方程的一个根， ∴， 整理得， 解得， 答案：1或4． 16. 如图在矩形中，，，，垂足是E，作点E关于的对称点F，连接、．将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到矩形的一边所在的直线上时，则________． 【答案】3或或 【解析】 【分析】先计算出点F的初始位置，再根据平移规律，分三种情况讨论点F落在矩形哪条边上，即可求得m的值． 【详解】解：∵，，， 在中，， ∵，， ， 在中，， ∵与关于对称， ∴， ∴，， 如图，当在直线上时， ∴，此时点E与点重合， ∴， 如图2，当在直线上时，设与交于点M，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 此时， 如图3，当在直线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时， 综上所述，m的值为3或或． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 实数内因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可利用平方差公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方程两边含有相同的因式，采用因式分解法求解，根据“两个因式的积为0，则至少有一个因式为0”的原理，得到两个一元一次方程； （2）方程为一般形式，无法直接进行因式分解，采用公式法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 19. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 20. 小丽发现：两个连续奇数的平方差能被8整除．请你判断这个结论是否正确，若不正确请举出反例，若正确，请说明理由． 【答案】正确，见解析 【解析】 【详解】解：正确； 理由：设两个连续奇数分别为，（其中为整数）， ， 两个连续奇数的平方差能被8整除． 21. 如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：平行四边形是矩形． （2）若，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1） 由，得到，再由平行四边形性质推出，则可证明平行四边形是矩形． （2）由题意，证明是等边三角形，则可求． 【小问1详解】 证明： ∵四边形为平行四边形 ∴， 平行四边形ABCD是矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求实数k应满足的条件． （2）当k取最大整数时，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 23. 2026年，我国多地实行中小学生春假制度．春假期间，同学们走出课堂、积极参与实践活动．小明在学习了菱形的相关知识后，动手制作了一款由三个全等菱形组成的木制活动衣帽架，该衣帽架可灵活调节挂钩间距，既实用又美观．如图，在A、E、F、C、G和H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．若菱形的边长为，要使两排挂钩间的距离为，则B、M之间的距离为多少？ 【答案】B、M之间的距离为30厘米 【解析】 【分析】理解图形结构，识别出B到M的距离是由三个菱形的水平对角线长度组成，并利用勾股定理求出单个菱形的水平对角线长度． 【详解】解：如图，设菱形的对角线、相交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵衣帽架由三个全等菱形组成，且B、M为固定点， ∴B、M之间的距离为3个菱形水平对角线的长度之和， ∴， 即B、M之间的距离为30厘米． 24. 科技之光点亮华夏，智造强国铸就辉煌．2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目，成为全球热议焦点．某科技公司抓住机会，推出春晚同款人形机器人模型，其销售价格按购买数量实行分段收费，具体标准如下表： 购买数量 价格标准 不超过30个 800元/个 超过30个 每增加1个，每个售价降低10元，但不低于500元/个 为了让更多青少年体验科技魅力，某青少年科技馆一次性支付28000元购买该模型，请问该科技馆购买了多少个人形机器人模型？ 【答案】该科技馆购买了40个人形机器人模型 【解析】 【分析】设科技馆购买了x个人形机器人模型，根据一次性支付28000元购买该模型，列出方程，解方程得出答案，再根据每个单价不低于500元/个，得出，即可得出答案． 【详解】解：， 超过30个， 设科技馆购买了x个人形机器人模型， ， 解得：，， ∵不低于500元/个， ， ， 该科技馆购买了40个人形机器人模型． 答：该科技馆购买了40个人形机器人模型． 25. 如图，四边形是平行四边形，若点D、E分别是线段、上一点． （1）当四边形是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． （2）若点O坐标是，点A坐标是，点C坐标是． ①请直接写出点B的坐标________； ②在（1）的条件下求点E的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，即可； （2）①根据菱形的性质得到，然后结合点C坐标是求解； ②过点C作，设，则，利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图所示，菱形即为所求； 设，交于点G， 由作图得，垂直平分 ∴，，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：①∵四边形是菱形，点A坐标是， ∴ ∵点C坐标是 ∴B的坐标为； ②如图，过点C作， ∴ 设，则 在中， ， 解得 点E的坐标． 26. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据为正整数，即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 解得，； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 27. 小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 （1）如图1操作，的周长是________． （2）如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 （3）如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 （4）如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 【答案】（1）12 （2） （3）或 （4）的最小值为，此时线段的长为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出，即可求解； （2）根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质得：，，可得的周长，即可求解； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得：， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 的周长． 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， 的周长 ， ； 【小问3详解】 解：当时，此时落在的垂直平分线上， 如图，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ， ∴； 当时，在上取点F，使，此时，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长为或； 【小问4详解】 解：连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，的值最小，最小值为， 即的最小值为； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年吴中吴江相城初二数学期中试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 春雨生百谷，时节至谷雨．作为二十四节气中春季的最后一个节气，年谷雨自月日始，于月日止．此时春雨绵绵、滋养万物，百谷破土萌生，人间满是生机与丰收的希望．下列四幅作品分别代表“谷雨”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（ ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A. B. C. D. 5. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知，，则用．、表示R是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（ ） A. B. C. 6 D. 不确定，随着四边形的形状改变 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上） 9. 计算________． 10. 如图在平行四边形中，是的3倍，则________°． 11. 若m是一元二次方程的一个解，则代数式________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，则点的坐标为______． 13. 把方程化成的形式，则的值是__________． 14. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法，如图所示，在、分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，，则图中梯形的面积是________． 15. 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是________． 16. 如图在矩形中，，，，垂足是E，作点E关于的对称点F，连接、．将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到矩形的一边所在的直线上时，则________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 实数内因式分解： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：．其中． 20. 小丽发现：两个连续奇数的平方差能被8整除．请你判断这个结论是否正确，若不正确请举出反例，若正确，请说明理由． 21. 如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：平行四边形是矩形． （2）若，且，求的长． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求实数k应满足的条件． （2）当k取最大整数时，求的值． 23. 2026年，我国多地实行中小学生春假制度．春假期间，同学们走出课堂、积极参与实践活动．小明在学习了菱形的相关知识后，动手制作了一款由三个全等菱形组成的木制活动衣帽架，该衣帽架可灵活调节挂钩间距，既实用又美观．如图，在A、E、F、C、G和H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．若菱形的边长为，要使两排挂钩间的距离为，则B、M之间的距离为多少？ 24. 科技之光点亮华夏，智造强国铸就辉煌．2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目，成为全球热议焦点．某科技公司抓住机会，推出春晚同款人形机器人模型，其销售价格按购买数量实行分段收费，具体标准如下表： 购买数量 价格标准 不超过30个 800元/个 超过30个 每增加1个，每个售价降低10元，但不低于500元/个 为了让更多青少年体验科技魅力，某青少年科技馆一次性支付28000元购买该模型，请问该科技馆购买了多少个人形机器人模型？ 25. 如图，四边形是平行四边形，若点D、E分别是线段、上一点． （1）当四边形是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． （2）若点O坐标是，点A坐标是，点C坐标是． ①请直接写出点B的坐标________； ②在（1）的条件下求点E的坐标． 26. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 27. 小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 （1）如图1操作，的周长是________． （2）如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 （3）如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 （4）如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $