专题02勾股定理（期中复习专项训练）2025-2026学年八年级数学下学期（人教版）

专题02 勾股定理（期中复习专项训练） 题型导览 题型1 用勾股定理解三角形 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型3 已知两点坐标求两点距离 题型4 勾股数 题型5 勾股定理与网格问题 题型6 勾股定理与折叠问题 题型7 勾股定理的证明方法 题型8 勾股定理的应 题型9 勾股定理的逆定理 题型10 勾股定理逆定理的实际应用 题型汇总 题型1 用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，， （1）______； （2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______． 【答案】 8 4或4 【分析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质，求出的长即可； （2）根据折叠的性质可得，设，则、，分和两种情况讨论，根据勾股定理求出长，利用等腰三角形的性质和折叠的性质求解即可 ． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：在中，， 由折叠的性质知，，， 设，则、， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时，， 、， 、， ， ， ， 点与重合， 如图： ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 综上所述，的长为4或． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在中，，点在上，，． (1)请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； (2)请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】（1）分别计算，计算，得出，根据进而，，即可判断大小． （2）根据勾股定理求得，在根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， 又，， ． （2）在中， 在中， 在中， 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下的长． (2)如图2，若物体上升到达的高度时， ①求的长． ②滑块水平向左滑动到的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）①由已知得，由（1）知，即可求出，再根据即可求解； ②在中，利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）解：①∵物体上升到达的高度， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴； ②在中，，， ∴， ∵， ∴， 即滑块水平向左滑动到的距离为． 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理可得，相邻两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，依次相加即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， 同理可得，， ∴． 6．（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理得出，得出，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，即， ， ， ， 根据正方形的性质得，， ∴阴影部分的面积为． 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积_______． 【答案】225 【分析】设的边长为，直角三角形斜边的长为，另一直角边为，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设的边长为，直角三角形斜边的长为，另一直角边为，则，， 由勾股定理得：， 所以，图中字母所代表的正方形面积是． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点并综合应用． （1））根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到． （2）先由勾股定理可得：，再利用，然后整体代入求解即可. （3）作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 即：； （3）解：过点M作轴于点，过点作于点， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 点的坐标为． 题型3 已知两点坐标求两点距离 9．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 10．（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 【答案】 【分析】先表示出两点之间的横向的距离和纵向的距离，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， 所以点A和B之间的距离是． 11．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 【答案】或 【分析】根据y轴上点的坐标特征设出点P的坐标，再利用两点间距离公式列方程求解，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点P在y轴上． ∴设点P的坐标为， ∵点A坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上． (1)线段__________；线段__________； (2)以某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）． (3)点为轴上的动点，则的最小值为_______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意以为边画正方形，即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接，进而可得的最小值为的长，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，； （2）解：∵图1为5个边长为1的小正方形组成的图形， ∴图1中5个小正方形组成的图形面积为，边长为， 又∵， ∴以为边画正方形， 如图所示，正方形即为所求， （3）解：如图，作关于轴的对称点，连接，此时 ∵ ∴ 又∵ ∴的最小值为． 题型4 勾股数 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）公元前1800年，古巴比伦《普林顿322》中记录了一组勾股数；西汉时期，中国《周髀算经》中首次记载了“勾三股四弦五”这组勾股数；东汉时期，《九章算术》中首次给出生成所有勾股数的通解公式．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．9，40，41 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义：满足 的三个正整数称为勾股数，需同时满足“三个数都是正整数”和“两小边的平方和等于最大边的平方”两个条件，依次验证即可． 【详解】解：∵勾股数要求三个数均为正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方， 对选项A：，，，∴A不是勾股数 对选项B：，，，∴B不是勾股数 对选项C： 不是正整数，不符合勾股数定义，∴C不是勾股数 对选项D：，， 都是正整数，且 ，，即 ，∴D是勾股数． 14．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【详解】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A， 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【答案】37 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)；；；；发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）观察规律发现各组勾股数之和为偶数； （2）①将，代入计算即可求解；②代入，，即可求解； （3）仿照例题证明即可． 【详解】（1）解：；； ；； 发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数； （2）① ② （3）解：（ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，（为正整数，为非负整数） 则： 为奇数，又 是偶数． 综上所述，是偶数． 题型5 勾股定理与网格问题 17．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，，， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，每个小正方形的边长为1，的三边，，中边长是无理数的是________． 【答案】a 【分析】本题考查了无理数的定义，网格与勾股定理．先根据网格与勾股定理进行列式，求出每条边的长度，再分析每条边长度是不是无理数，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵都是有理数，是无理数， ∴的三边，，中边长是无理数的是a， 故答案为：a 19．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中运用勾股定理． 直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“帥”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故答案为：． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)画一个一边是有理数，另外两边是无理数的直角三角形； (2)画一个一边长为，面积为6的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可以画一个斜边是有理数2，另外两边是无理数的直角三角形； （2）画一个底边长为，底边上的高为的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一） 根据，可以画一个斜边是有理数2，另外两边是无理数的直角三角形，画图如下： 该三角形即为所求； （2）解：如图，底边长为，底边上的高为的等腰三角形． ∴， ∴所画三角形即为所求． 题型6 勾股定理与折叠问题 21．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 22．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得，设，则，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故选：C． 23．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题关键是利用勾股定理计算斜边长度，结合折叠的性质找到线段等量关系，再通过勾股定理列方程求解。 （1）直接利用勾股定理计算的长度； （2）根据折叠性质得到线段和角等量关系，设未知数，利用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：（1）在中，，根据勾股定理： ， 故答案为：； （2）由折叠的性质可知： ，，， 在中，， ， ， 设，则，因此， 在中，根据勾股定理：， 代入，得：， 解得，． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)①图形见解析，；② (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 题型7 勾股定理的证明方法 25．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A：∵， 整理得：， ∴此选项不符合题意； B：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； C：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； D：∵， ∴此选项符合题意. 故选：D. 26．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键． 利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 27．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 28．（25-26八年级上·福建·期中）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景和勾股定理的验证，熟练掌握上述知识点是解题的关键. （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）根据周长为，可得：，根据（2）中的结论，在中，由勾股定理得，整理得，根据，可知长方形的面积为：，即可得解. 【详解】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即 故答案为：； （2）解：，理由如下： 图2中图形的面积：， ， ， ； （3）解：设的周长为， ， 根据（2）中的结论，在中，， ， 化简，得， 整理，得， ， 长方形的面积为：. 题型8 勾股定理的应用 29．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 30．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）风筝起源于中国，又名“纸鸢”，深受人们喜爱．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，，． 在中，， ． （2）解：不能成功．假设能上升12m，如图，延长至点，连接，则， ． 在中，． ． ，余线仅剩7.5m， ， ∴不能上升12m，即不能成功． 31．（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 32．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面3米处被折断 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设米，则米， 由题意得4米， 在中，， ∴， ∴，即米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 33．（25-26八年级下·江西赣州·期中）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 【答案】水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 【分析】设尺，则尺，利用勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设尺，则尺， 由题意得，尺，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 【答案】该船的航行速度为海里时 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， 航行了小时， 船航行的速度海里时． 答：该船的航行速度为海里时． 35．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 36．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 37．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 38．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案； （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴着火点C受洒水影响； （2）解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 39．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 【答案】该自动售货点应该修建在离点处 【分析】连接，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：如图，连接， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， ， 解得， 答：该自动售货点应该修建在离点处． 40．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解． （1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可； （3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 41．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立体图形的平面展开图与最短路径问题，勾股定理，根据题意正确展开立体图形是解题关键． （1）圆柱的侧面展开图是矩形，用勾股定理计算即可； （2）题干没有规定不能从底面通过，因此可以有两种路径，分别按不同的方式展开，计算出结果后比较大小，得到答案． 【详解】（1）解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程． ∵，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁爬行的最短路径是． （2）解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径． 如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开， 此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为， ∴， ∴， 此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小： ， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 题型9 勾股定理的逆定理 42．（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（   ） A．，2， B．2，3，5 C．，， D．4，5，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，计算各选项中最长边的平方与其他两边平方和是否相等，以判断是否能构成直角三角形． 【详解】解：对于选项A：∵，且， ∴ ，能构成直角三角形． 对于选项B：∵，，，∴不能构成直角三角形． 对于选项C：∵、、表示边长为9、16、25，，，，∴不能构成直角三角形． 对于选项D：∵，，，∴不能构成直角三角形． 故选A． 43．（25-26八年级上·四川成都·期中）的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断A、C、D，根据三角形内角和定理可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 又∵， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 44．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，点，，，，均在格点上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可判断，根据勾股定理，可判断，连接，可证，而可判断，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理的逆定理可证，进而可得，即可判断． 【详解】解：如下图所示，连接， 则， 与不平行， 故选项错误，不符合题意； 在中，， ， ， 不成立， 故选项错误，不符合题意； 如图：连接交于F， ， ， ， ， ， ， ， 故选项错误，不符合题意； 如下图所示， ， ， 由勾股定理可知，，， ， ， ， ， ， ， 故选项正确，符合题意； 45．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 46．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在上截取，连接，可证明，得到，则当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 47．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形， ∴最大内角为． 故答案为：． 48．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 先根据等腰直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，最后结合分两种情况求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴如图①：； 如图②：． 故或． 故答案为°或． 49．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可知，利用勾股定理可求出的长，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ， ； 故答案为：． 50．（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出； (2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 51．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理的运用进行解答即可． （1）连接，根据勾股定理的运用，解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，再根据四边形的面积为：，进行解答，即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：． 52．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图1，在四边形中，，连接． (1)试说明：的形状； (2)请计算四边形的面积； (3)如图2，以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点为轴上一点，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)是直角三角形，理由见详解 (2)36 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，平面直角坐标系的特点，掌握以上知识是关键． （1）运用勾股定理得到，再运用勾股定理逆定理判定即可求解； （2）结合（1）的计算，运用面积公式求解即可； （3）根据题意得到，设，结合面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形； （2）解： ； （3）解：， ∵点为轴上一点， ∴设， ∴， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或． 题型10 勾股定理逆定理的实际应用 53．（25-26八年级上·广东河源·月考）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用和三角形面积的计算，关键是根据三边关系确定直角三角形． 通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米， ∴面积（平方千米）． 故选：B． 54．（25-26八年级上·四川雅安·期中）如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 故选：B． 55．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 56．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 【答案】 160 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为；； （2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即直线上被摄像头监控到的公路长度为， 故答案为：160． 57．（25-26八年级下·广东·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作于D，根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：； （2）解：如图，过点A作于D， 设，则， 在中， 在中，， ∴，即， 解得：， 由勾股定理得：（m）， ∴， ∴该实验基地的面积为． 58．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理（期中复习专项训练） 题型导览 题型1 用勾股定理解三角形 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型3 已知两点坐标求两点距离 题型4 勾股数 题型5 勾股定理与网格问题 题型6 勾股定理与折叠问题 题型7 勾股定理的证明方法 题型8 勾股定理的应 题型9 勾股定理的逆定理 题型10 勾股定理逆定理的实际应用 题型汇总 题型1 用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，， （1）______； （2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在中，，点在上，，． (1)请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； (2)请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下的长． (2)如图2，若物体上升到达的高度时， ①求的长． ②滑块水平向左滑动到的距离． 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积_______． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 题型3 已知两点坐标求两点距离 9．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 11．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上． (1)线段__________；线段__________； (2)以某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）． (3)点为轴上的动点，则的最小值为_______． 题型4 勾股数 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）公元前1800年，古巴比伦《普林顿322》中记录了一组勾股数；西汉时期，中国《周髀算经》中首次记载了“勾三股四弦五”这组勾股数；东汉时期，《九章算术》中首次给出生成所有勾股数的通解公式．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．9，40，41 14．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 16．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 题型5 勾股定理与网格问题 17．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，每个小正方形的边长为1，的三边，，中边长是无理数的是________． 19．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是_____． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)画一个一边是有理数，另外两边是无理数的直角三角形； (2)画一个一边长为，面积为6的等腰三角形． 题型6 勾股定理与折叠问题 21．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 22．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 24．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 题型7 勾股定理的证明方法 25．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 28．（25-26八年级上·福建·期中）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 题型8 勾股定理的应用 29．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 30．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）风筝起源于中国，又名“纸鸢”，深受人们喜爱．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 31．（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 32．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 33．（25-26八年级下·江西赣州·期中）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 35．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 36．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 37．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 38．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 39．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 40．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 41．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 题型9 勾股定理的逆定理 42．（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（   ） A．，2， B．2，3，5 C．，， D．4，5，6 43．（25-26八年级上·四川成都·期中）的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，点，，，，均在格点上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 46．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 47．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是___________． 48．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 49．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为______．    50．（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 51．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 52．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图1，在四边形中，，连接． (1)试说明：的形状； (2)请计算四边形的面积； (3)如图2，以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点为轴上一点，且，直接写出点的坐标． 题型10 勾股定理逆定理的实际应用 53．（25-26八年级上·广东河源·月考）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 54．（25-26八年级上·四川雅安·期中）如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 55．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 56．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 57．（25-26八年级下·广东·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 58．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $